第三章 一次函数与反比例函数综合题- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

1．如图，已知A（﹣1，n），B（4，﹣1）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标． 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A（a，2）． （1）求点A的坐标和反比例函数表达式． （2）当时，x的取值范围是 　 　 ． （3）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．． 4．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求函数y＝kx+b和的表达式； （2）已知点C（0，7），试在该反比例函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+b经过点A（﹣6，0），与y轴交于点B，与反比例函数y（x＞0）交于点C，连接OC，且S△AOB＝2S△BOC． （1）求b，k的值； （2）若点D为反比例函数y（x＞0）图象上一点，连接CD，使得CD⊥OC，求点D的坐标． 6．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C（1，4），D（﹣4，a）． （1）求k，a，m，n的值； （2）反比例函数图象上有两点M（t，y1），N（t+2，y2），试比较y1与y2的大小． 7．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）． （1）求m、k的值； （2）把直线向上平移与反比例函数的图象交于点B，与y轴交于点D，连接AB、OB，当OA＝2BD时，求△AOB的面积． 8．如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点D的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长． 10．如图，已知点A（﹣2，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）过点A作直线l：y＝ax+c（a≠0），使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线l的解析式． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝2x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，﹣3），与y轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x＜0时，直接写出y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为﹣1，求t的值． 12．根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y＝100x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． （1）根据上述数学模型计算：当x＝5时，y＝45，求k的值． （2）若依据甲的生理数据显示，当y≥80时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ （3）假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 参考答案 1．如图，已知A（﹣1，n），B（4，﹣1）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 【解答】解：（1）∵反比例函数过点B（4，﹣1）， ∴m＝1×（﹣4）＝﹣4，即； 将x＝﹣1，y＝n代入，得n＝4， ∴点A的坐标为（﹣1，4）， ∴将点A，B的坐标代入一次函数y＝kx+b中，得： ， 解得， ∴y＝﹣x+3； （2）在直线y＝﹣x+3中，当y＝0时，x＝3， ∴点C的坐标为（3，0），即OC＝3， ∴； （3）∵不等式的解集是指一次函数y＝﹣x+3图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量x的取值范围，且A（﹣1，4）、B（4，﹣1）， ∴x＜﹣1或0＜x＜4． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标． 【解答】解：（1）由条件可知m＝8×2＝16， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为﹣4， ∴， ∴B（﹣4，﹣4）， 由题目条件可知，， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞8； （3）对于一次函数，令x＝0，可得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝24， ∴， ∴CD＝4， ∴D（0，2）或D（0，﹣6）． 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A（a，2）． （1）求点A的坐标和反比例函数表达式． （2）当时，x的取值范围是 　x＜﹣3或0＜x＜3　 ． （3）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．． 【解答】解：（1）把A（a，2）的坐标代入yx，即2a， 解得a＝﹣3， ∴A（﹣3，2）， 又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y的图象上， ∴k＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的关系式为y； （2）根据对称性B（3，﹣2）， 观察图象可知，的解集为x＜﹣3或0＜x＜3． （3）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3， ∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3， 当m＝﹣3时，n2，当m＝3时，n2， 由图象可知， 若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2． 4．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求函数y＝kx+b和的表达式； （2）已知点C（0，7），试在该反比例函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴反比例函数的解析式为：， ∵OB＝OA＝5， ∴B（0，﹣5）， 把A（4，3），B（0，﹣5）代入y＝kx+b（k≠0），得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣5； （2）由条件可知M在线段BC的中垂线上， ∵B（0，﹣5），C（0，7）， ∴B，C的中点坐标为：， ∴点M在直线y＝1上， ∴点M的纵坐标为：1， ∴点M的坐标为：（12，1）． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+b经过点A（﹣6，0），与y轴交于点B，与反比例函数y（x＞0）交于点C，连接OC，且S△AOB＝2S△BOC． （1）求b，k的值； （2）若点D为反比例函数y（x＞0）图象上一点，连接CD，使得CD⊥OC，求点D的坐标． 【解答】解：（1）作CE⊥x轴于点E， ∵直线yx+b经过点A（﹣6，0），与y轴交于点B ∴0b， ∴b＝4， ∴B（0，4）， ∴OA＝6，OB＝4， ∵S△AOB＝2S△BOC， ∴AB＝2BC， ∴， ∵CE∥OB， ∴△AOB∽△AEC， ∴， ∴CE＝6，AE＝9， ∴OE＝9﹣6＝3， ∴C（3，6）， ∵反比例函数y（x＞0）过点C， ∴k＝3×6＝18； （2）作DF⊥CE于点F， 由（1）可知反比例函数为y，C（3，6）， 设D（m，），则CF＝6，DF＝m﹣3， ∵CD⊥OC， ∴∠OCE+∠DCF＝90°， ∵∠OCE+∠COE＝90°， ∴∠DCF＝∠COE， ∵∠CEO＝∠DFC＝90°， ∴△CEO∽△DFC， ∴，即， 整理得m2﹣15m+36＝0， 解得m＝12或m＝3（舍去）， ∴D（12，）． 6．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C（1，4），D（﹣4，a）． （1）求k，a，m，n的值； （2）反比例函数图象上有两点M（t，y1），N（t+2，y2），试比较y1与y2的大小． 【解答】解：（1）由条件可得k＝4，a＝﹣1， 把D（﹣4，﹣1），C（1，4）代入y＝mx+n得： ， 解得， ∴k＝4，a＝﹣1，m＝1，n＝3． （2）由题意可知，t＜t+2，且反比例函数在每一象限上y随x增大而减小． ①当t＞0时，点M，N在第一象限反比例函数图象上，故y1＞y2； ②当t+2＜0时，即t＜﹣2，点M，N在第三象限反比例函数图象上，故y1＞y2； ③当t＜0，且t+2＞0时，即﹣2＜t＜0，点M，N分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故y1＜y2． 综上所述，当t＞0或t＜﹣2时，y1＞y2，当﹣2＜t＜0时，y1＜y2． 7．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）． （1）求m、k的值； （2）把直线向上平移与反比例函数的图象交于点B，与y轴交于点D，连接AB、OB，当OA＝2BD时，求△AOB的面积． 【解答】解：（1）把A（m，2）代入，得， m＝4， 再把A（4，2）代入得k＝4×2＝8， ∴m＝4，k＝8； （2）过点B作BC⊥y轴于点C，过点A作AE⊥y轴于点E， ∴∠BCD＝∠AEO＝90°， ∵OA∥BD， ∴∠AOE＝∠BDC， ∴△AOE∽△BDC， ∴， ∵AE＝4，OE＝2， ∴BC＝2，CD＝1， 把xB＝2代入得yB＝4， ∴B（2，4），则D（0，3）， ∴． 8．如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 【解答】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4， ∴AD＝2， ∵四边形OABC是矩形，BC＝8， ∴D（2，8）， ∵反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D， ∴k＝2×8＝16， ∴反比例函数的解析式为y1（x＞0）， 当x＝4时，y＝4， ∴E（4，4）， 把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，， ∴， ∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD， 此时，△PDE的周长最小， ∵点D的坐标为（2，8）， ∴点D′的坐标为（﹣2，8）， 设直线D′E的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴直线D′E的解析式为yx， 令x＝0，得y， ∴点P的坐标为（0，）． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点D的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长． 【解答】解：（1）由条件可得b＝1， ∴直线1的解析式为y＝2x+1， ∵直线1经过双曲线的左端点C， ∴C（1，3）， ∴m＝1×3＝3， ∴双曲线CD的解析式为， 当x＝3时，y＝1， 所以D（3，1）； （2）设直线l′的解析式为y＝2x+n， ∵直线l′经过双曲线的右端点D， ∴把D（3，1）代入得：n＝﹣5， 所以直线l′的解析式为y＝2x﹣5， 当y＝0时，x＝2.5， 即E（2.5，0）， ∵直线l的解析式为y＝2x+1， 当y＝0时，x＝﹣0.5， 即A（﹣0.5，0）， ∴AE＝|﹣0.5|+2.5＝3． 10．如图，已知点A（﹣2，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）过点A作直线l：y＝ax+c（a≠0），使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线l的解析式． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，4）在反比例函数的图象上， ∴m＝﹣2×4＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为：， 又∵点B（n，﹣2）在反比例函数， ∴， 解得n＝4， ∴B（4，﹣2）， ∵点A，B在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+2； （2）根据图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞4时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4； （3）∵直线l：y＝ax+c（a≠0）经过点A（﹣2，4）， ∴4＝﹣2a+c，即c＝2a+4， ∴直线l的解析式为：y＝ax+2a+4， ∴， 整理得：，即ax2+（2a+4）x+8＝0， ∵直线l与反比例函数仅有一个公共点， ∴Δ＝（2a+4）2﹣4a×8＝4a2﹣16a+16＝4（a﹣2）2＝0． ∴a＝2， ∴直线l的解析式为y＝2x+8． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝2x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，﹣3），与y轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x＜0时，直接写出y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为﹣1，求t的值． 【解答】解：（1）由条件可得2×（﹣1）+m＝﹣3， 解得m＝﹣1， ∴一次函数的表达式为y1＝2x﹣1． 将点A（﹣1，﹣3）代入反比例函数解析式得k＝（﹣1）×（﹣3）＝3， ∴反比例函数的表达式为． （2）由图象可知：自变量x的取值范围为：x＜﹣1． （3）将y＝﹣1代入，得x＝3÷（﹣1）＝﹣3， ∴点C的坐标为（﹣3，﹣1）． ∵CD∥AB， ∴设直线CD的表达式为y＝2x+b． 将C（﹣3，﹣1）代入y＝2x+b，得2×（﹣3）+b＝﹣1，解得b＝5， ∴点D的坐标为（0，5）． 又∵B（0，﹣1）， ∴BD＝5﹣（﹣1）＝6， ∴t＝6． 12．根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y＝100x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． （1）根据上述数学模型计算：当x＝5时，y＝45，求k的值． （2）若依据甲的生理数据显示，当y≥80时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ （3）假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）把x＝5，y＝45代入，得：， 解得：k＝225； （2）由（1）知：， ∴当时，； 当y＝100x＝80时，， ∴当y≥80时，肝部被严重损伤持续小时． （3）不能，理由如下： 当第二天早上7：00时，经过了24﹣20+7＝11个小时， ∴， ∵， ∴不能驾车． 13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（﹣6，1）， ∴k1＝﹣6×1＝﹣6， 故反比例函数的表达式为， 把点A（a，6）代入反比例函数得，， 解得a＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，6）， ∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点， ∴，解得， 故一次函数的表达式为y＝x+7； （2）∵， ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴﹣6≤x≤﹣1； （3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7， 解得：y＝﹣4+7＝3， ∴C（﹣4，3）， 当y＝3时，代入，得， 解得：x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， 如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， ∵B（﹣6，1），D（﹣2，3）， ∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4， ∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3， ∴S△BOD＝S梯形BFED（DE+BF）EF（3+1）×4＝8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/6 15:17:05；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 $