2026年中考数学专题特训：反比例函数综合

## 基本信息 聚焦反比例函数与几何、实际问题的综合应用，通过分类题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼待定系数法、k几何意义等核心方法，培养几何直观与推理能力。 ## 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-3、填空10-12|函数图象判断、点坐标比较、解析式求解|定义与性质→简单应用| |几何综合|单选4-9、填空13-15|k几何意义、全等/相似构造、面积转化|函数与几何图形→坐标与面积关系| |实际应用|单选3、5、填空11|模型抽象、公式转化|实际问题→反比例关系建模| |综合探究|解答16-20|多函数综合、动态问题分析|函数与几何综合→推理与计算|

2026年中考数学专题特训：反比例函数综合 一、单选题 1．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 2．（2026·重庆秀山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 6．（2026·吉林长春·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点为线段的中点．若点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·一模）如图，把两个三角板放在平面直角坐标系中，过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 10．（2026·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且）的图象经过点、，若，则k的值为______． 11．（2026·广东江门·一模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________． 12．（2026·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 13．（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________． 14．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 15．（25-26九年级下·广东深圳·月考）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连接与x轴交于点D．若的面积为3，则的值为______． 三、解答题 16．（2026·山东菏泽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 17．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2026·广东江门·一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上． (1)当点C的坐标为时，求a、b的值； (2)当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由； (3)如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）． 19．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 20．（2026·江苏泰州·一模）点，分别为反比例函数、的图象上一点，二次函数的图象经过点，，顶点为，，的横坐标分别为，，．    (1)如图，轴． 若，求的值； 试说明：当时，二次函数的函数值随增大而增大； (2)当，时，求直线与轴的交点坐标； (3)若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学专题特训：反比例函数综合》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C A D C B D D 1．C 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若，反比例函数图象在第一、三象限，若，反比例函数图象在第二、四象限，． 【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 2．B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 3．C 【分析】先根据图象上的已知点求出反比例函数解析式，再将给定的压强值代入解析式求出对应的木板面积 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴． 4．A 【分析】过点作轴、轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形的面积等于正方形面积，进而求出． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于 ， 点在直线上 ， 设 ，则 ，四边形为正方形 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ∵反比例函数的图象在第一三象限，， ． 5．D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 6．C 【分析】设，联立一次函数与反比例函数表达式，消去得到关于的一元二次方程，然后由一元二次方程根与系数关系式、中点坐标公式列式计算即可得到答案． 【详解】解：设， 联立， 消去得，则， ，则， 点为线段的中点， ， 则． 7．B 【分析】过点C作于点D，设，可求出，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，结合点B和点C所在的象限得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 设， 在中，， ∴； 在中，， ∵， ∴， ∵过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象， ∴， 又∵点B在第二象限，点C在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 9．D 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 10． 【分析】利用点在反比例函数图象上的性质，用表示出和，再结合列一元一次方程求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，， 整理得，， ∵， ∴代入得， 合并同类项得， 解得． 11． 【分析】设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，． 12． 【分析】先根据确定k的值，得出函数图像的增减性，即可求解． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 在每一象限内，随的增大而增大， ， ． 13．/ 【分析】设点的坐标为，利用一次函数的解析式求出点，利用的面积求出点，进而求出反比例函数的解析式为，联立方程求出点，最后求出的面积即可． 【详解】解：如图，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 14． 【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果． 【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点， ∴，解得， 令点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， 可得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 15． 【分析】根据反比例函数性质可得，通过证明求出的面积，连接，再根据反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ， 轴， ，， ， 连接， ， ， 则， 即， ． 16．(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（）将点的坐标代入关系式，求出的值，即可得出答案； （）令得到点的坐标，然后分情况根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）知一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴ 当点落在轴的正半轴上， 则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， ∴ ∵， ∴， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 17．(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 18．(1) (2)当时，，理由见解析 (3)点E的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，再根据正方形的性质结合一线三垂直模型证明，得到，，同理可得，当点C的坐标为时，，解得； （2）由顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，可得，， 根据解不等式即可； （3）当时，，解得，则，此时，过作轴于，过作轴于，则，，设，则，，得到，根据当G为的三等分点时，得到，或，分情况讨论分别求出点坐标，代入，求出，再求即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于， ∵正方形的顶点A、B的坐标分别为、， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 当点C的坐标为时，， 解得； （2）解：当时，，理由如下： ∵顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴当时，， ∴，即， ∴， 由图可得，， ∴； （3）解：当时，， 由图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作轴于，过作轴于， ∴，，则 设，则，， ∴， ∵当G为的三等分点时， ∴，或， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过点G， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴； 同理当时，，； 综上所述，当G为的三等分点时，点E的坐标为或． 19．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 20．(1)；见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（）由反比例函数的性质求出，，然后通过待定系数法求解析式即可； 由题意得，，则有，，所以，则，得，从而求证； （）当时，，，所以，求得，再求出解析式为 ，则当时，，从而求解； （）过作轴于，过作轴于，所以，，，则，，求得，又，所以，从而可得． 【详解】（1）解：∵，即的横坐标为， ∴当时，， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标相同，且为， ∴当时，，解得：， ∴， ∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； 由题意得，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴当时，的函数值随的增大而增大； （2）解：当时，，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为，把，代入得， ，解得： ∴解析式为 ， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； （3）解：过作轴于，过作轴于，如图，    ∵，，， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $