精品解析：陕西汉中市镇巴中学等校2025-2026学年高二下学期质量检测数学试卷（二）

2025~2026学年第二学期高二质量检测卷（二）数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：北师大版选择性必修第一册第六章、第七章，选择性必修第二册第一章~第二章2.5． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算公式求得正确答案. 【详解】函数在区间上的平均变化率是. 2. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的知识求得正确答案. 【详解】由等差数列的通项公式知． 故选：A 3. 设，若，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再根据列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得. 4. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为，（ 的单位：m，的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的物理意义，结合物理相关知识即可得解. 【详解】因为，所以， 则时的瞬时速度为. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】， 由可得． 6. 在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ） A. 28 B. 20 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案. 【详解】根据题意得，，解得或（舍）， 则. 故选：A. 7. 已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案. 【详解】由题意得，即 所以数列是以首项为的常数列， 则，得. 故选：A 8. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 【答案】ABD 【解析】 【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项. 【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确； 对于B选项：因为指数为偶数，即， 所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确； 展开式通项为， 对于C选项： 令，解得， 所以展开式中含项，故C错误； 对于D选项：令，可得， 故展开式中常数项为，故D正确. 故选：ABD. 10. 若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. X的数学期望 D. X的方差 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定，即可判断A；由此可计算，即可判断B；利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C，D. 【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数， 知，故A正确； ，故B错误； X的数学期望，故C正确﹔ X的方差，故D正确. 故选：ACD． 11. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 9980是中的一项 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，变形得到，得到A正确；B选项，在A选项基础上求出，故，利用等比数列定义求出B正确；C选项，，显然单调递增，求出，，故C错误；D选项，错位相减法求和得到D错误. 【详解】A选项，， 故为等差数列，公差为1，首项为，A正确； B选项，由A选项可知，， 故，所以，故为等比数列，B正确； C选项，由B选项知，，显然单调递增， ，，故9980不是中的一项，C错误； D选项，①， 故②， 式子①-②得，， 故，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，的导函数为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再令代入计算可得. 【详解】∵，∴， ∴，解得. 故答案为： 13. 设数列是首项为16，公比为的等比数列，则___________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据的通项公式求解 【详解】，. 14. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由导数的几何意义，求出切线方程，得出切线方程与坐标轴的交点坐标，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 因此其在点处的切线斜率为， 所以，在点处的切线方程为：， 令，得；令，得， 因此该切线与坐标轴所围三角形的面积为： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求曲线的切线与坐标轴围成图形的面积问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由基本初等函数的求导公式，根据求导法则，可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）利用切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率可得； （2）构造函数，结合零点存在性定理判断两个函数图象有交点，然后可知.. 【小问1详解】 由，可得， ∴，∴，又，故，， 可知函数的解析式为. 【小问2详解】 记函数，因为，，且的图象在区间上连续，故在区间上有零点，即直线与函数的图象有交点，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值为0. 17. 某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 （1）若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； （2）建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】（1）. 因为（或）， 所以，即身高与体重间是高度相关的； （2），身高为的某同学，体重大概为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由相关系数的公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 所以体重关于身高的回归方程为， 所以当时，. 即某同学身高为时，体重大概为. 18. 已知前项和为的数列的各项均为正数，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若称使得为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和. 【答案】（1） （2）4083 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可得，进而根据等差数列的性质求解， （2）根据对数的运算性质得，即可根据得，由等比数列求和公式，结合分组求和即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，， 整理为,即， 由，有， 可得数列是首项为1，公差为2的等差数列 有， 故数列的通项公式为 【小问2详解】 ， . 若为整数，只需要，又由，可得 则区间内所有“优化数”的和. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴； （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高二质量检测卷（二）数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：北师大版选择性必修第一册第六章、第七章，选择性必修第二册第一章~第二章2.5． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 设，若，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 4. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为，（ 的单位：m，的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 6. 在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ） A. 28 B. 20 C. 18 D. 12 7. 已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 8. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 10. 若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. X的数学期望 D. X的方差 11. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 9980是中的一项 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，的导函数为，则_________. 13. 设数列是首项为16，公比为的等比数列，则___________． 14. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 17. 某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 （1）若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； （2）建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 18. 已知前项和为的数列的各项均为正数，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若称使得为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $