精品解析：陕西宝鸡市某校2025-2026学年高二下学期第二次质量检测数学试卷

凤翔中学2025-2026学年度第二学期高二年级 第二次质量检测数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 2. 林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）. 甲组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74 乙组：76，90，84，82，81，87，86，82，80，83 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 35 B. 15 C. -35 D. -15 7. 将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（ ） A. 36 B. 44 C. 65 D. 72 8. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（ ）. A. 记第 行中从左到右的第 个数为，则数列的通项公式为 B. 第k行各个数的和是 C. n阶“杨辉三角”中共有个数 D. n阶“杨辉三角”的所有数的和是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 12. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 若，则________. 14. 一个知识问答竞赛每题有3个选项.甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答.已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为__________. 15. 秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为_______________. 16. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 四、解答题：（本题共5小题，共66分．17，18，19每题12分，20，21每题15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数有极小值． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 19. 3个男生与3个女生站成一排． （1）若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？ （2）若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？ （3）若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？ 20. 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 21. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品. （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）求抽到A，B两种商品各一件的概率； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年度第二学期高二年级 第二次质量检测数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】构造函数， 在时恒成立， 所以在时单调递增， 所以，即，所以， 故选:C. 2. 林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个 【答案】C 【解析】 【分析】利用先选后排及插空法，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】依题意，从中选2个不同的字母有种，然后从中选3个不同的数字有种，再从选出的2个不同的字母有种排法，最后从选出3个不同的数字插空有种，根据分步乘法计数原理知，满足要求的车牌号有种. 故选：C. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即， 因为函数在上单调递减，故，所以. 5. 甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）. 甲组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74 乙组：76，90，84，82，81，87，86，82，80，83 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可得到 答案. 【详解】由题意知，， 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，， 根据条件概率的计算公式得. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 35 B. 15 C. -35 D. -15 【答案】C 【解析】 【详解】在的展开式中， 含的项为， 所以所求系数为. 7. 将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（ ） A. 36 B. 44 C. 65 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】先将书分为3组，再将这三份书全排列分给3位同学. 【详解】由题可知，有1位同学分得两本书，其他2位同学各得一本， 可以先从4本书中挑出2本，将书分为3份，再将这三份书全排列分给3位同学，故不同分法的种数是． 8. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】两边求导数，赋值令可转化为求被8除的余数，根据二项展开式可转化为求被8除的余数. 【详解】已知， 两边取导数可得，， 令，可得， 而， 所以被8除的余数即为被8除的余数， 而被8除的余数为2， 故选：B 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】利用组合数的计算即可求解 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：BC. 10. 定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（ ）. A. 记第 行中从左到右的第 个数为，则数列的通项公式为 B. 第k行各个数的和是 C. n阶“杨辉三角”中共有个数 D. n阶“杨辉三角”的所有数的和是 【答案】BCD 【解析】 【分析】明确第i行各个数是的展开式的二项式系数，即可判断A; 各行的所有数的和是各行对应的二项式系数和,由此判断B; 根据杨辉三角每行的数的个数，可计算n阶“杨辉三角”中共有个数，判断C; 计算“杨辉三角”的所有数的和，即可判断D. 【详解】第i行各个数是的展开式的二项式系数， 则数列的通项公式为，故A错误； 各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第k行各个数的和是，故B正确； 第k行共有（k+1）个数，从而n阶“杨辉三角”共有个数，故C正确； “杨辉三角”的所有数的和是，故D正确., 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 12. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 若，则________. 【答案】7 【解析】 【分析】结合排列组合公式解方程即可 【详解】因为，故，即，解得 故答案为： 14. 一个知识问答竞赛每题有3个选项.甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答.已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】用表示甲掌握该知识，用表示甲回答正确， 则由题意得，，， 由， 得， 则甲掌握该知识的概率为. 15. 秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式求值. 【详解】用表示这个人患了流感，分别用，，表示这个人来自地区， 则，，. ，，. 所以 . 故答案为： 16. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 四、解答题：（本题共5小题，共66分．17，18，19每题12分，20，21每题15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）243 【解析】 【小问1详解】 令，得，即， 令，得， 则. 【小问2详解】 令，得， 则 . 18. 已知函数有极小值． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间； （2）由的极小值列方程求得的值，比较极值和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 令，解得或，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，的极小值为，解得． ∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为， 的极大值为 又， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 19. 3个男生与3个女生站成一排． （1）若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？ （2）若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？ （3）若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解； （2）顺序一定的排列问题，用倍缩法求解； （3）利用捆绑法，先排小团体，再和其他元素一起全排列. 【小问1详解】 先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有种方法； 【小问2详解】 法一：共有6个位置，先排甲和乙之外的4人，有种方法，剩下的2个位置排甲和乙，有1种排法， 所以共有种方法； 法二：首先6个人全排列，再除以甲和乙全排列的顺序，即种方法； 【小问3详解】 先从甲和乙之外的4人选1人，站在男生甲和男生乙之间，这3人看成一个元素，甲和乙全排列，有种方法， 再和其他的3人，共看成4个元素全排列，有种方法，所以共有种方法. 20. 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【小问1详解】 记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 21. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品. （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）求抽到A，B两种商品各一件的概率； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品，第一次抽到的是商品的概率； （2）抽到两种商品各一件分为两种情况即第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品,再使用全概率公式计算； （3）先使用全概率公式计算出第二次抽到的是B商品的情况，有两种情况第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品，再使用贝叶斯公式计算出在第二次抽到的是商品的情况下，求第一次抽到的是商品概率. 【小问1详解】 设事件:第一次抽到的是A商品，事件:抽到的商品来自于第一个超市， 事件:抽到的商品来自于第二个超市，事件:抽到的商品来自于第三个超市, 那么 【小问2详解】 设事件: 抽到两种商品各一件,那么抽到两种商品各一件分为两种情况， 分类第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品, 则 . 【小问3详解】 设事件:第二次抽到的是B商品，那么 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $