第10章二元一次方程组（必考题型巩固练习）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组核心应用，以“参数-错解-同解-换元”四维题型构建方法体系，渗透方程思想与转化策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数求解|6例|代入法、系数关系分析|从解的定义到方程组解的三种情况（唯一/无解/无数解）| |错解问题|6例|正确解代原方程、错解代未看错方程|基于解的唯一性区分参数对错，强化推理能力| |同解问题|6例|联立不含参方程求公共解|利用解的一致性建立方程联系，培养模型意识| |换元法|6例|整体代入、变量代换|通过结构转化简化运算，发展转化思想与符号意识|

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 第10章二元一次方程组 （必考题型巩固练习） 【题型一】根据方程的解求未知参数 【例1】若是关于x、y的二元一次方程ax﹣5y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．4 D．2 【例2】若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（    ） A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2 【例3】无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【例4】若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 【例5】k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？ 【例6】已知关于，的方程组 （1）请写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ （4）如果方程组有整数解，求整数的值． 【题型二】错解问题 【例1】已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把c看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣3 B．a＝3，b＝﹣1，c＝3 C． D．a＝﹣3，b＝1，c＝3 【例2】甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【例3】一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为 ． 【例4】甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b．解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【例5】在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 【例6】已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【题型三】同解问题 【例1】若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】已知方程组 与 有相同的解，则的值为 ． 【例3】若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【例4】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？ 【例5】关于、方程组和方程组的解相同，求的值． 【例6】若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 【题型四】换元法求解问题 【例1】关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【例3】若方程组的解是，则方程组的解是 【例4】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【例5】阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③， 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得，x＝4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 【例6】［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 答案解析 【题型一】根据方程的解求未知参数 【例1】若是关于x、y的二元一次方程ax﹣5y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．4 D．2 【答案】A 【例2】若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（    ） A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2 【答案】C 【例3】无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【答案】6 【例4】若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 【答案】 【例5】k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？ 【答案】 可得：，化简可得： （1）当时，即，方程有唯一解，即方程组有唯一解； （2）当，时，即，，方程无解，即方程组无解； （3）当，时，即，，方程有无数解，即方程组有无数解； 综上，当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解． 【例6】已知关于，的方程组 （1）请写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ （4）如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y， ∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0， ∴0＜y＜2.5， 又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2， 代入方程得相应x=3、1， ∴方程2x+y=5的正整数解为； (2) ∵x+y=0      ∴x+2y=5变为y=5      ∴x=-5      将代入得. (3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解 ∴方程变为(m+1)x-2y+9=0 ∵这个解和m无关， ∴x=0，y= (4) 将方程组两个方程相加得 ∴ ∵方程组有整数解且m为整数 ∴，， ①m+2=1，计算得：（不符合题意） ②m+2=-1，计算得：（不符合题意） ③m+2=2，计算得：（不符合题意） ④m+2=-2，计算得：（不符合题意） ⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2        ⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6 【题型二】错解问题 【例1】已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把c看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣3 B．a＝3，b＝﹣1，c＝3 C． D．a＝﹣3，b＝1，c＝3 【答案】B 【例2】甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【答案】1 【例3】一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为 ． 【答案】 【例4】甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b．解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得， ∵甲看错了方程①中的a， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得b＝3； ∵乙看错了方程②中的b， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 3a﹣7＝5，解得a＝4； ∴a＝4，b＝3． 【例5】在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 【答案】把代入方程得，， ∴， ∴甲把看成了； 把代入方程得，， ∴， ∴乙把看成了； 把代入方程得，， ∴， 把代入方程得，， ∴， ∴方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的正确解为． 【例6】已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c， ∵这个方程组的解是， ∴， ∴． ∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是， ∴， ∴， 解得：． ∴原方程组为． 【题型三】同解问题 【例1】若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【例2】已知方程组 与 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【例3】若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【答案】 【例4】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？ 【答案】根据题意 是②方程的解， 是①方程的解， ∴ ， 解得：， ∴． 【例5】关于、方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ，解得， ∴． 【例6】若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 【答案】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立可得：      解这个方程组可得相同的解为： （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：      解得 【题型四】换元法求解问题 【例1】关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【例2】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【例3】若方程组的解是，则方程组的解是 【答案】 【例4】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【例5】阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③， 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得，x＝4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 【答案】 将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19． 将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2 把y＝2代入①得 x＝3 ∴方程组的解为． 【例6】［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $