广东佛山市三水区华侨中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段（4月26日）

**基本信息** 以新能源汽车车标、5G基站建设等真实情境为载体，融合代数运算、几何推理、统计分析，梯度设计适配初中数学周测，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|幂运算、中心对称图形、概率计算|结合太阳能电池板网格考几何概率，体现数学眼光| |填空题|5题/15分|立方根、根与系数关系、二次函数平移|无限循环小数化分数考推理能力，落实数学思维| |解答题|8题/55分|函数综合、圆的切线证明、统计决策|23题折叠问题融合矩形性质与方程思想，20题纪念碑高度计算体现数学语言应用|

2026年4月26日初中数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续第11年稳居全球首位．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 4．如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 6．在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 第7题图 第6题图 第5题图 第4题图 9．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，于点，，，则的长是（    ） A． B．6 C． D．12 二、填空题 11．实数8的立方根是_____． 12．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则________． 13．如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-8，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为_________． 14．如图，为的直径，，则______． 15．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，如，设，由可知，，所以，得．于是，得．类比上述方法，无限循环小数化为分数形式为______． 三、解答题 16．（1）计算：； （2）解不等式组：第14题图 第13题图 17．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC． (1)求k的值； (2)线段BC的长． 18.随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，截止到2022年底广东基站的数量约25万座，计划到2024年底，全省基站数量将达到36万座． (1) 按照计划，求2022年底到2024年底，全省基站数量的年平均增长率； (2) 按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量是多少万座？ 19．某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 20．广州起义烈士纪念碑位于广州市，它由底部雕塑和顶部雕塑组成，顶部雕塑的造型是手臂紧握系着标志起义的红布带的汉阳造步枪．同学们来到广州起义烈士陵园，了解广州起义的相关历史背景并用无人机收集到以下数据：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示顶部雕塑的高度，点E为点A正上方一点，（米，米．请根据上述数据，计算广州起义烈士纪念碑的高度（结果精确到1米）． 参考数据：． 21．某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下： (1)学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由． (2)评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 平均分 众数 中位数 方差 王丽 4 8 8 7 8 7 8 8 李英 7 6.9 7 7 7.1 7 7 0.004 ①求表格中与的值。 ②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？ 22．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，BC为半圆的切线，连接OC，过半圆上的点D作AD∥OC，连接BD．、的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的半径． ②将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积 （结果用表示）． 23．在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，四边形是正方形，边长为8，当为的中点时，求的长； (3)如图3，四边形是矩形，连接，当，时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A C B D D A 1．C 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据多项式乘以多项式可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据积的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意， ，故B不符合题意； ，运算正确，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，多项式乘以多项式，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键． 2．C 【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3．D 【分析】统一分母后合并分子，再因式分解约分得到结果． 【详解】解：． 4．C 【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点A作于点C， 在中， ∴车门边缘的点A处与墙的距离为． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握直径所对的圆周角等于是解题的关键． 由直径所对的圆周角等于得到，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为5， ∴直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，首先根据函数图象中点的坐标求出反比例函数的解析式，再根据近视镜的度数的取值范围求出焦距的取值范围． 【详解】解：由题意可知：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 把代入可得：， 解得：， 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 当时，可得， 解得： 焦距的取值范围是． 故选：D． 10．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选A． 11．2 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 12． 【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝－1， 则原式4． 故答案为：－4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 13．16 【分析】先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，以及性质，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 14． 【分析】连接，由为的直径，可得，由圆周角定理可得，结合三角形的内角和定理计算出． 【详解】解：如图， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 15． 【分析】仿照题干中无限循环小数化为分数的方法，循环节为两位，设未知数构造一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设， 由，可知， 因此， 解得． 16．（1）1 （2）x≥3 【分析】对于（1），先根据，，，，再计算即可； 对于（2），分别求出①和②式的解集，再确定公共部分得出答案. 【详解】（1）原式= = =1； （2）， 解不等式①，得x≥3； 解不等式②，得x＞1. 所以不等式组的解集式x≥3. 【点睛】本题主要考查了实数的计算和解一元一次不等式组，掌握解题步骤是解题的关键. 17．(1)32 (2)3 【分析】（1）先根据正比例函数可得点的坐标，再将其代入反比例函数的解析式即可得； （2）先根据点的坐标可得的长，设，则，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：轴于点，且， 可设， 将点代入得：，解得， ， 将点代入得：． （2）解：轴于点，且， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 则线段的长为3． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、勾股定理等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键． 18．(1)全省基站数量的年平均增长率为 (2)全省基站的数量是43.2万座 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设全省基站数量的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设全省基站数量的年平均增长率为， 有：． 解得：，（舍）． ∴全省基站数量的年平均增长率为． （2）按照这个年平均增长率，到2025年底，全省基站的数量为万座， 答：全省基站的数量是43.2万座． 19．(1)ｙ= (2) 7500元 【详解】分析：（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y=260-x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420-3x，80＜x＜140， （2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，将解析式配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 详解：（1）当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x， 当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x． 则y=； （2）当50≤x≤80时，w=﹣x2+300x﹣10400=﹣（x﹣150）2+12100， 当x＜150时，w随x增大而增大， 则当x=80时，w最大=7200； 当80＜x≤140时，w=﹣3x2+540x﹣16800=﹣3（x﹣90）2+7500， 当x=90时，w最大=7500， ∴x=90时，W有最大值7500元， 答：每件商品的售价定为90元时，每个月可获得最大利润是7500元 点睛：本题主要考查二次函数的应用，根据不同自变量的取值范围，利用基本数量关系得出函数解析式是关键． 20．广州起义烈士纪念碑的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，延长交点所在水平线于点，设的长为，在和中，利用正切的定义求出和长，然后根据求出x的值，然后计算长即可． 【详解】解：延长交点所在水平线于点，可得， 设的长为， 在中，， ， 在中，， ， ， 即， ， ， 米． 答：广州起义烈士纪念碑的高度为． 21．(1)不正确，理由见解析 (2)①2.4，7；②选李英参加决赛更合适 【分析】本题主要考查了条形统计图，求中位数，方差，利用方差做决策等知识． （1）结合直方图分析即可． （2）①根据方差的公式以及中位数的定义求解即可． ②根据方差作决策即可． 【详解】（1）解：不正确，分的有3人，分的有6人，小芳6.5分有可能排前7名． （2）解：， ∵从小到大排列为：，7，7，7，7.1，最中间的数为：7 ∴； ②李英方差小，成绩更稳定，选李英参加决赛更合适． 22．(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD=∠COB．则根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO=∠CBO．再根据切线的性质得∠CBO=90°，则∠CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）①设圆O的半径为R，则OD=R，OE=R+4，由勾股定理可求解； ②通过扇形面积的可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ，， 又， ， ． 在和中 ， ． 是的切线， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）①设圆的半径为， 则，， 是圆的切线， ， ，   ， ， 圆的半径为6； ②∵AB=12， 扫过的图形的面积． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，灵活运用这些性质是本题的关键． 23．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，由平行四边形的性质可得，，由折叠的性质可得，．由角的关系可计算出，，命题得证； （2）设，结合正方形的性质和折叠的性质可得，，，使用勾股定理构造方程解出，则．容易证明，则，从而计算出，因此； （3）延长、交于点，连接，设，则，，由平行可判定，则，因此，．由折叠的性质可得，，，进而得到，则，因此，．结合可计算出，利用勾股定理计算出，进一步计算出，，，最后求出的值即可． 【详解】（1）证明：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∵点P为的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，延长、交于点，连接，设， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形由四边形沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $