广东佛山市三水区华侨中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段（4月17日）

**基本信息** 2026年4月初中数学周测试卷，覆盖数与代数、图形与几何模块，以新能源汽车、草莓种植棚等真实情境设计问题，注重运算能力与模型意识考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10题|有理数、绝对值、科学记数法、整式运算|基础概念辨析，如正方体展开图中相反数应用| |填空题|5题|二次根式意义、补角、点坐标、分式方程无解|小综合考查，如点到坐标轴距离相等求坐标| |解答题|10题|方程求解、函数图像、几何探究、实际应用|以草莓种植棚收益、机器人分拣方案考查模型意识，几何探究题培养推理能力|

2026年4月17日初中数学 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．在，，0，四个有理数中，负数为（    ） A． B． C．0 D． 2．如图，数轴上点P表示的数的绝对值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．新能源汽车年产量突破1300万辆，将数据“1300万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．计算的结果为（   ）A．2 B． C． D． 6．如图，若要使平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则x和y的值分别为（    ）A．1， B．1， C．， D．，1 7．如果，那么的值是（　　） A． B． C．6 D．9 8．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 10．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 11．要使代数式有意义，则x的取值范围为______． 12．一个角的补角比它本身的2倍大，则这个角等于________度． 13．点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 14．若，则的值为_______． 15．分式方程无解，则a的值为________． 三、解答题 16．解下列方程：(1)； (2)． 17．(1)计算：；(2)解不等式组． 18．（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 19．在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A、B两点， (1)填空：点A的坐标（______，______），点B的坐标（______，______）； (2)画出函数的图象；(3)求的面积． (4)当时，直接写出x的取值范围______． 20．（1）已知绿萝的单价是多肉单价的倍，用300元购买多肉的数量比购买绿萝的数量多10盆．①求购买每盆多肉和每盆绿萝各需多少元； ②计划两种植物共购买60盆，且购买的总费用不超过800元，则绿萝最多能购买多少盆？ （2）．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． ①求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ ②该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 21．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为，点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接，且．(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出时，x的取值范围； (3)点P从点A出发沿射线移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 22．辽宁丹东某草莓采摘园为扩大优质草莓种植规模，计划搭建一块矩形种植棚．如图，种植棚一面靠墙（墙的最大可用长度为18米），另外三面及棚内一条横向分隔围栏（与墙平行，宽度不计）均使用总长为42米的保温塑料围栏，其中两边各开有一扇1米的小门．为了让种植收益最大化，采摘园邀请同学们参与实践计算． (1)设矩形种植棚与墙垂直的边长为x米，种植棚的总面积为y平方米，请写出y与x之间的函数关系式，并结合实际情况确定自变量x的取值范围． (2)若每平方米草莓年产量为8斤，草莓每斤售价15元，每平方米草莓种植及其他成本（含肥料、人工、围栏等）为50元，则当x取何值时，种植棚的年收益最大？最大年收益是多少？ 23．探究四边形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)【问题提出】 如图1，在四边形中，，连接，，点E是对角线的中点，连接、，若，，则的值为____________； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，点E在上，连接、，已知，，求证：； (3)【问题解决】 如图3，和是某运动场的围栏，出入口A、B分别在、上，且，计划在线段上的点C处修建公共卫生间，、、、、是该运动场内的小路，和分别是健身步道和塑胶跑道（E在线段上），为了满足不同运动人员的需求，要求塑胶跑道尽可能的长．已知，，，，，求塑胶跑道的最大值．（出入口、卫生间的大小和小路、步道、跑道的宽度均忽略不计 25．如图，在中，是直径，延长至点，切于点，且点是的中点，连接，为上一点，连接，延长，交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D C B B B A C 1．A 【分析】先化简题目中各个数，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断即可得到结果． 【详解】解：在，，0，四个有理数中，负数为． 2．C 【分析】观察数轴得：点P表示的数为，再根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：观察数轴得：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的绝对值是． 3．C 【详解】解：1300万． 4．D 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 5．C 【详解】解：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即． 6．B 【分析】根据正方体的展开图得到与相对、与相对，再利用相反数的定义求解即可． 【详解】解：根据正方体的展开图可知：与相对、与相对， 由于相对面上的两个数互为相反数， 则 即 故选：B． 7．B 【分析】本题先利用二次根式有意义的条件求出x的值，再得到y的值，最后代入负整数指数幂计算得到结果． 【详解】解：由题意得 解得 ． 8．B 【分析】直接套用完全平方公式展开计算即可得到结果． 【详解】解： ． 9．A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果. 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中， ∴由根与系数的关系可得 ，， 对所求式子因式分解得 将，代入得 原式． 10．C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数范围，用到分式方程解法和一元一次不等式的知识，先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数、分母不为零两个条件列不等式求解 【详解】解：对分式方程， 方程两边同乘去分母， ， ， 展开整理得， 分式方程的解为正数， ，即， 解得， 又分式方程分母不为零， ， 即， 解得， 综上，的取值范围是且 11． 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数满足， 解得． 12．55 【分析】设这个角为，则这个角的补角为，根据题意列等式求解即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， 由题意得：， 解得， ∴这个角等于55度． 13．或 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据“点到轴和轴的距离相等”得到绝对值方程，求解后即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 14．6 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后代入计算的值． 【详解】解：展开等式左边，得． 由题意得 ． 根据等式两边多项式对应项系数相等，可得． 解得 ， 将代入，得． 15．7 【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值． 【详解】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 16．(1)， (2)， 【分析】（1）方程移项后运用因式分解法解答即可； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ∴，； （2）解：， ， ，， ∴，． 17．(1) (2) 【分析】（1）先算乘方、绝对值、负整数指数幂，再算乘法，然后算加减； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：原式． （2）解：， 解不等式①得，． 解不等式②得，． 所以该不等式组的解集为． 18．； 【分析】根据去括号，合并同类项对整式进行化简，根据绝对值和偶次方的非负性求出m，n的值，代入即可解答． 【详解】解：原式 ． ， ，． 原式． 19．有个班级，学习用品有套． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键． 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解． 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套． 20．(1)； (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据解析式求出交点坐标； （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，画出直线即可； （3）根据三角形的面积公式即可求出三角形的面积； （4）根据解析式求出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：根据点A的坐标为，点B的坐标为，画出图象如下： （3）解：的面积为； （4）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当时，． 21．(1)购买每盆多肉需10元，购买每盆绿萝需15元 (2)绿萝最多能购买40盆． 【分析】（1）设购买每盆多肉需x元，则购买每盆绿萝需元，根据“用300元购买多肉的数量比购买绿萝的数量多10盆”，列方程求解即可． （2）设购买绿萝a盆，则购买多肉盆，根据“购买的总费用不超过800元”，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买每盆多肉需x元，则购买每盆绿萝需元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买每盆多肉需10元，购买每盆绿萝需15元． （2）解：设购买绿萝a盆，则购买多肉盆． 根据题意，得， 解得：． 答：绿萝最多能购买40盆． 22．(1)A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 (2)该物流中心有3种投入方案 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【详解】（1）解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． （2）解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 23．(1)， (2)或 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）由、，即可求出，则，进而即可求出反比例函数解析式；将、代入一次函数，进而即可求出一次函数解析式； （2）联立，得出、，再结合函数图像，反比例函数图像在一次函数下方时，则可求出的取值范围； （3）设、，分两种情况：与为对角线和与为对角线，由中点公式列方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，． ∴， ∴，即， ∵反比例函数过， ∴ 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数过和， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意，联立解析式得 解得，， 当时，， ∴点B为， 由图可得，当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足； 当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足． ∴x的取值范围为或； （3）解：∵点P在射线上，点Q为第三象限双曲线上一点， ∴设，， ∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时， ∴当与为平行四边形的对角线时， ∴ 解得， 解得或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为； 当与为平行四边形的对角线， ∴ 解得， 解得或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为：， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】第3问通过分类讨论对角线的情况，利用中点公式列方程求解，关键是坐标与几何性质的转化． 24．(1)， (2)当时，种植棚的年收益最大，最大年收益是8470元 【分析】（1）根据题意得到与墙平行的边长为米，根据面积公式列式得到函数关系式，由墙的长度与矩形的边长的关系列不等式组并求解得到x的取值范围； （2）根据题意得到，结合二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意与墙平行的边长为米， ∴y与x之间的函数关系式为， 根据题意，得， 解得． （2）解：种植棚的总面积为y平方米，每平方米草莓年产量为8斤，草莓每斤售价15元，设种植棚的年收益为w元， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，且， ∴当时，取最大值，， 答：当时，种植棚的年收益最大，最大年收益是8470元． 25．(1) (2) 【分析】（1）如图，连接交于点，根据切于点，得出，根据点是的中点，利用垂径定理得出，则，根据是的直径，得出，即可得． （2）设半径为，则，证明四边形是矩形，得出，垂径定理得出，结合，得出是的中位线，即可得，则．证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，分别连接、交于点， ∵切于点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． （2）解：设半径为，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 26．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再结合勾股定理，求出，即可得解； （2）根据同角的余角相等，得到，利用“”证明，即可得证； （3）在的延长线上截取，连接，先推导出，得到，进而求出，得到， 设，得到，记，整理得，令，则，得到，解得 ，即y的最大值为，即可解答． 【详解】（1）解：，点E是对角线的中点，， ， ，， ， ； （2）证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：在的延长线上截取，连接，如图 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，由勾股定理，得 ， ∴， 由根号内非负得，即， 记， 移项得 ， 两边平方，得 ， 整理得 ， 令，则 ， 关于u的二次方程有实数根， ∴， 化简得 ， ， 解得 ， 当时，，代入得 ，对应，且满足平方前的等式，因此最大值可达． ∴y的最大值为， 即的最大值为 ． 答案第2页，共16页 答案第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $