广东佛山市三水区华侨中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段自测（4月9日）

**基本信息** 本卷以周测为定位，涵盖初中数学核心知识，通过《算法统宗》古算题、台灯电流电阻关系等情境，融合几何直观、模型意识与数据观念，实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|8题（约60分）|函数综合（反比例+平移）、统计分析、方程与不等式应用、几何证明|18题结合几何平移与反比例函数，体现空间观念；19题通过成绩数据分析，培养数据意识；23题二次函数与三角形面积综合，强化推理能力|

2026年4月9日初中数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示的几何体从上面看到的形状图为（    ） A． B． C． D． 2．年，我省上下深入贯彻落实习近平总书记对辽宁的重要讲话和重要指示批示精神，按照省委、省政府工作要求，加快新旧动能转换，全面提升发展能级，全省经济运行总体平稳．根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，全省地区生产总值为亿元．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，，点C在直线上，，，则的度数为（    ）A． B． C． D． 6．将点向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点B，点B恰好落在直线上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤两）．设共有x两银子，则可列方程（    ） A． B． C． D． 8．关于代数式，下列说法正确的是（　　） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，有意义 D．当时，有意义 9．按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．分解因式：_____________． 12．某公司招聘考试分笔试和面试两部分，小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分．若笔试成绩和面试成绩按计算，结果作为本次考试的成绩，则小明的成绩为____分． 13．若直线向下平移个单位长度后经过点，则的值为______． 14．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 15．图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是___________． 三、解答题 16．计算： (1)．(2) 17．先化简再求值：，在，0，1三个数中选择一个你喜欢的，代入求值． 18．在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． (1)确定反比例函数的关系式； (2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 19．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级 部分信息如下：信息一如右图： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生成绩为C等级为__________人；在扇形统计图中D组所在扇形圆心角的度数为__________ (2)求所抽取的学生成绩的中位数； (3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 20．学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元．(1)求A，B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 21．如图，在▲ABC中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求矩形的面积． 22．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 23．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求t的值． (3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使▲ABC的面积等于▲ABO面积的2倍． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B A D D A C 1．C 【详解】 解：几何体从上面看到的形状图为． 2．C 【详解】解：亿． 3．D 【分析】根据积的乘方、单项式乘法、完全平方公式、单项式除法的法则，逐一计算判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，等式成立，计算正确． 4．D 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，随机选择2个试管，溶液都为紫色的结果数有2种， ∴溶液都为紫色的概率是． 故选：D． 5．B 【分析】根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 6．A 【分析】先根据平移规律得到含参数的点B坐标，再代入直线方程求解，即可得到点B的坐标． 【详解】解：由题意得点的坐标为， ∵点在直线上，将坐标代入方程得： ， 解得：， 将代入得． 7．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设共有x两银子，根据“如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤”列方程即可得解． 【详解】解：设共有x两银子， 依题意得， 故选：D． 8．D 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 9．A 【分析】本题考查代数式的规律探索，分别拆分分子、分母找对应规律即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 依此类推，第个代数式为：． 10．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵是的中线，即点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 12．83 【详解】解：笔试成绩90分对应权重3，面试成绩80分对应权重7，总权重为， 小明的成绩为（分）． 13． 【分析】先求出平移后的解析式，再将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的解析式为， 平移后的直线经过点， 将点代入， 可得：． 14． 【分析】由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由数轴可知：， ∴， ∴a的值为． 15． 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 16．(1) (2)3 【详解】（1）原式． （2）解：原式． 17．； 【分析】先计算除法，再计算减法，最后代入合适的数值计算即可． 【详解】解：原式 ； ，，， ，，， ， 原式． 18．(1) (2) 【分析】（1）过点B作轴于点D，证明，可得，，可求出点B的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了3个单位长度，即C也移动了3个单位长度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴设反比例函数的关系式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A向右移动了3个单位长度， ∴C也向右移动了3个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 19．(1)7， (2)85 (3)估计成绩为A等级的人数约为120人 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可求出C等级人数；用360度乘以D等级人数所占的比例即可求出D组所在扇形圆心角的度数； （2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：； （3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）， ∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）； ． 故答案为：7，； （2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数， ∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数， ∴中位数为：； （3）解：成绩为A等级的人数为：（人）， 答：成绩为A等级的人数为120． 20．(1)A的单价50元，B的单价35元 (2)购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据“购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元”列二元一次方程求解即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买总费用w元，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设A的单价为x元，B的单价为y元． 根据题意得：， 解得， 答：A的单价50元，B的单价35元； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元． 根据题意得： 解得 ∴ ∵， ∴w随m的增大而增大 当时，w取最小值，最小值为2005元． 答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得：， ，是的中位线， ， ， ． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 23．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点和点的坐标，代入抛物线解析式即可解题； （2）将点代入抛物线解析式即可； （3）过点作轴交于点，根据计算． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线的顶点为A， ∴抛物线的解析式为， 代入，可得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由题意知，， 解得或； （3）解：由题意知，， 如图，过点作轴交于点， 设，则，有， ∴ ， ∴， 即， ， 解得（正值舍去）， ∴． 答案第12页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $