四川宜宾市叙州区第二中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

叙州区二中2025一2026学年下期高2025级阶段一考试 数学试题 满分150分考试时间：120分钟 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.下列复数中，是实数的是( A.1+2i B.3i C.5-0i D.2+3i 2.下列各组向量中，能作为基底的是() A.=(1,3),e2=(-2,-6) B.E1=(√2,1)，2=(2，√2) C.e=(1,2),e2=(2,-1) D.E=(-3,-4),e2=(3,4 3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q,b,α之间的关系可记作( A.Q∈b∈ B.Q∈bc& C.Qcbca D.Qcb∈& 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,∠A=30°，则△ABC外接圆的周长为 () A.2元 B.4π C.2 D.1 5.已知向量a、6满足a.6=-3,且|=2，则向量a在向量6上的投影向量为( A.-36 4 B.-6 c.6 D.5 6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半 径为 A.8 B.7 C.5 D.3 7.已知等边三角形ABC的边长为2，A7=1AB+(1-)AC,则M☑·MC的最小值为() A.-号 B.} C.3 D.0 8.在△4BC中，b-2a十4 asinA+B=0,则tanB的最大值为( 2 A.√3 B.2W3 C23 3 D.9 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列选项中，正确的是() A.若向量a,满足d-,则a=或à=-6 B.若非零向量AB与AC相等，则B,C重合 C.在平行四边形ABCD中，AB=DC D.若O7与O是共线向量，且O=2O=2,则M=1 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 2025-2026学年下期高2025级阶段一考试数学试卷第1页共4页 C.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为√5 D.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2 11.已知i为虚数单位，下列说法正确的是() A.若复数z满足z+1=√5，则复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的圆上 B.若复数z满足z+z☑=2+8i,则复数z=-15+8i C.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D.对复数，2，若|%十z=z1-2,则2=0 第I卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 2.是虚数单位，则的值为 13.设△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2√7，b=2,A=2,点D在BC边上，AD为 3 △ABC的角平分线，则AD= 14.如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1,CD=2,AD⊥DC,O是AD的中点，以AD为直径的 半圆O与BC相切于点P.APD与梯形ABCD以AD为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台， 则该圆台的体积与球的体积之比为 B D 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.己知复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i. (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数m的取值范围. 2025-2026学年下期高2025级阶段一考试数学试卷第2页共4页 16.已知向量à，6，满足a=2,同=3，d与6的夹角为写 (1)求2a+的值： (2)若(2a+∥(ka-,求实数k的值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点P到平面ABCD的距离为2，AD=2,E、F分 别是PB和BD的中点. 力 B (1)证明：EF∥平面PAD: (2)求三棱锥C-PBD的体积. 2025-2026学年下期高2025级阶段一考试数学试卷第3页共4页 18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量p=(a,c-2b),g=(cosC,cosA),且pLg (1)求角A的值： 2②若c=3,AD是DC边上的中线，AD=空，求△ABC的面积 19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔.德.费马(1601一1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“己 知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点. 己知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，便得∠APB= ∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB= 2acosA sinB. tanc' 若P是△ABC的费马点”，a=2W5. A B (1)求角A: (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围； (3)若PA·PB+PB.PC+PC.PA=-4,且b<c,求△ABC的周长. 2025-2026学年下期高2025级阶段一考试数学试卷第4页共4页 叙州区二中2025-2026学年下期高2025级阶段一考试 数学答案 题号 1 2 3 ￥ 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A D B D BC ABC 题号 11 答案 BC 12.√13 13. 3 47好 15.(1)7或-2： (2)(-2,3)U(5,7) 【详解】(1)因为复数z是实数，所以m2-5m-14=0,解得m=7或m=-2: 所以实数m的值为7或-2； (2)因为复数z表示的点在第四象限， 所以 m?-8m+15>0,即 f(m-3)(m-5)>0 m2-5m-14<0即1(m-7)(m+2)<0 解得-2<m<3或5<m<7,所以实数m的取值范围为(-2,3)U(5,7). 16.(1)√13 ak=号 (3)k=-2 【详解1①由已知可得，d.6=cs,=2×3×(-分)=-3. 所以(2a+}=42+4d.6+=4×2+4×(-3)+32=13, 所以，2a+=√(2a+}=√13 (2)因为(2a+∥(kd-,所以，31∈R,使得kd--(2a+,整理可得(k-2)d-(a+1)i=0.由d, 可的密世可阳仁，”0解为收一 17.【详解】(1)：在△PBD中，E、F分别是PB和BD的中点，.EF∥PD, 又EF寸平面PAD,PDC平面PAD,.EF∥平面PAD (2):PA⊥平面ABCD,.PA是三棱锥P-BCD的高， :四边形ABCD是正方形，∴SaCD=SE能A四=分×2×2=2， 三棱锥P-BCD的体积为=寸×2×2=专 :三棱锥C-PBD的体积为？-BCD=V%-PBD=3, .4 18.14=写 249 【详解】(1)因为+可=-，所以+=方-，所以方=0， 所以acosC+(c-2b)cosA=0,由正弦定理得sinAcosC+cosAsinC=2 sin BcosA,即sin(A+ C)=sinB=2sin BcosA, 第·1·页共2页 且0<B<x,则sinB>0,可得0sA=分 因为0<A<元，所以A=吾， 2)由思意得Ad=(A店+Ad则AD=士A+Ad+2 ABACCOSA), 即有19=c2+b2+bc,且c=3,解得：(b-2)(b+5)=0,所以b=2, #△MBC省面积为S-csA-子×2×8×9- 19.(①5 (2)(6+2W5,6√5] (3)2W5+6 【详解】(1)因为cosB=2 acosA-sinB tanc 所以由正弦定理得cosB=2sim,4cosA_sinBcos-2 sin AcosA--sinBeosC sinC sinC sinC 所以cosBsinC=2 sin AcosA-sinBcosC,即sin BcosC+cos BsinC=2 sin AcosA, ysinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin(-A)=sinA, 所以sinA=2 2sinAco6A,.由A∈(0，]，得sinA≠0，所以cosA=号则A=号 (②由正弦定理得、b。 0，=2W5 sinB=sing=sinA3 二4： 2 所以b=4sinB.c=4sinC=4sin(F-B), 所以6+e-1 tinB14n(答-m)=4sinB+co+in5j=ws原in(B+吾》 f0<B<号 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<答-B< ,解得否<B<受 6 所以B+吾e(受)则in(B+若)c(1, 所以b+c=4wW3sin(B+若)e(6,4W],则a+b+c∈(6+2V5,6/] 则△ABC周长的取值范围是(6+2,6√]： (3)因为P是△ABC的费马点”，所以∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 又PAPB+PB·PC+PC.PA=-4, 则PA·PBcos120°+|PB·PCcos120°+PC·|PAcos120°=-4， 所以pA·P+PPC+PC·PA=8, 则2p4p它sin120°+2p:Psin120°+2pdp4sin120°=2W5, 即SAPAB+SAPBC十SAPAC=SAABC=2V5,， 则SAWG=-bosinA-=2W5,解得bc=8. 由余弦定理得c0sA=2+e2-a2-b+c2-2×8- 2bc 2×8 2=分解得b+c=6, 所以△ABC的周长a+b+c=2W3+6. 第·2·页共2页