北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三下学期二模前测试一数学试题

**基本信息** 北京八十中高三数学二模前测试卷，以创新情境与核心素养为导向，涵盖集合、函数、概率等知识，通过“可旋转函数”新定义、古代建筑举架结构、带菌粒子采样等真实问题，考查数学抽象、数据处理与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、数列、抛物线、向量等|第10题“可旋转函数”新定义，考查创新意识| |填空题|5/25|复数、双曲线、四面体体积、文化情境|第14题结合古代建筑举架结构，体现文化传承| |解答题|6/85|立体几何、解三角形（条件选择）、概率统计（科研数据）、椭圆、函数导数、数列新定义|第18题带菌粒子采样数据处理，考查数据观念；第21题数列新定义，突出逻辑推理|

北京市第八十中学2025—2026学年第二学期二模前测试一 高 三 数 学2026.4.28 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和是，则（    ） A．9 B．16 C．31 D．33 3．已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“可旋转函数”.若函数为“可旋转函数”，则满足条件的整数k的值有（   ）个. A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知复数满足，则______． 12．已知双曲线C：的焦距为2，则其渐近线方程为______；离心率为______． 13．若一四面体各棱的棱长构成集合，则该四面体的体积可能是_______（只需写出一个可能的值） 14．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则_______． 15．在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，集合M是一条直线； ②，点P到原点O的距离存在最小值，不存在最大值； ③若，则点Q所表示的区域面积为4； ④已知集合，则集合 其中所有正确的结论是_______． 三、解答题（共6小题，共85分） 16．（本小题14分）如图，在直四棱柱中，，，，点分别为的中点，且与平面所成角为45°. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17．（本小题13分）在中，为锐角，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求出的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 18．（本小题13分）大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 A 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 C 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． （1）根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为II级的概率； （2）在A点采集的带菌粒子中随机选出份，在B点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为III级的份数为，求的分布列和数学期望； （3）为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为III级的概率为．试给出的一个值，使得为中的最大值．（结论不要求证明） 19．（本小题15分）已知椭圆的离心率为，且椭圆C的上顶点、右顶点和坐标原点O所构成的三角形面积为． （1）求椭圆C的方程和其短轴长； （2）若点A在椭圆C上，点B在直线上，且，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论. 20．（本小题15分）已知函数的定义域为R，． （1）求函数的单调区间； （2）判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； （3）直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 21．（本小题15分）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． （1）若，求的所有可能取值； （2）求证：数列中存在等于1的项； （3）求证：存在，使得集合为无穷集合． 答案第4页，共16页 （高三数学 第 2 页 共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025—2026学年第二学期二模前测试一 高三数学参考答案2026.4.28 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. B 7. B 8. B 9. B 10. B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 12.； 13. 或或（任写其一即可） 14. 0.9 15. ①②③ 三、解答题（共6小题，共85分） 16．（本小题14分） （1）连接 在中，由余弦定理得：， 所以，所以 因为有直四棱柱 所以 又因为平面 所以 又因为 所以 所以 又因为平面 所以 （2）连接，因为为的中点， 所以有且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为与平面所成角为. 所以为直线与平面所成的角，即， 因为，在直角中，可得， 因为为的中点，所以，即直四棱柱的高为2， 由（1）知，DA，DB，DD1两两垂直 所以以D为原点，以DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建系 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以， 取平面的一个法向量为 设平面与平面所成角为， 可得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．（本小题13分） （1）在中，由正弦定理，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为为锐角，所以； （2）选择条件①：， 由（1）得，所以， 由余弦定理， 得， 所以（舍），的周长为. 选择条件③：， 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 的周长为. 选择条件②：， 由（1）得 由正弦定理得：，此时三角形不存在. 18．（本小题13分） （1）A观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为II级的有：，共份， C观测点采集的带菌粒子中没有粒数中值直径为II级的带菌粒子， 所以在甲地采集的带菌粒子中有份是粒数中值直径为II级的带菌粒子， 用频率估计概率可知， 在甲地空气中随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为II级的概率为； （2）A观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， B观测点的粒数中值直径为III级的有：，共份， 由题意可知，可取， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； （3）可取，理由如下： C观测点采集的带菌粒子中粒数中值直径为III级有：，共份， 用频率估计概率可知， 在C观测点随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为III级的概率为， 因为， 要使得为中的最大值，则一定有， 所以，所以， 所以，化简可得，解得， 不妨取，此时， 所以，且， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 由上可知，，所以是最大值， 故满足条件. 19．（本小题15分） （1）由已知得，所以 所以椭圆的方程为，短轴长为 （2）因为椭圆方程C: 所以设，则满足 由 得 所以设直线AB的方程： 化简得： 所以原点O到直线AB的距离 代入和 经化简得 即原点O到直线AB的距离为 所以直线AB和圆相切. 20．（本小题15分） （1）令，定义域为R，求导得： ， 因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令，求导得： ， 恒成立， ∴时，，单调递增， 时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. （3）切线斜率，切线方程为， 令得： ， 与垂直，斜率，方程为， 令得： ， 代入所求表达式化简， 全部消去： ， 设，则原式， 对求导得，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， 是关于的增函数， ∴ ， ∴的取值范围为取值范围为. 21．（本小题15分） （1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个， ∴或． 当时，；当时，． 所以的所有可能取值为2，3． （2）假设中不存在等于1的项,则． 又，所以． 当时，由，则存在，使得． 所以，与假设矛盾． 当时，由，则存在，使得,且中有且只有一项与相等. ①若中有两项为2，一项为3， 则，与假设矛盾． ②若中有两项为2，一项为， 则，与假设矛盾． ③若中有一项为2，两项为3， 则，与假设矛盾． ④若中有一项为2，两项为， 则，矛盾． 综上，假设不成立，所以中存在等于1的项． （3）假设均为有限集合， 当时，, 则当时，（*） 令,下证当时，. 否则假设，则,与（*）矛盾. ∴当时，, ∵已知数列是无穷正整数数列， 所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾， ∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合． 答案第4页，共16页 （高三数学 参考答案 第 2 页 共 7 页） 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学练习一0428 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1.已知集合A={x|x2+x<0},集合B={x|2*≤1}，则集合AUB= A.(-∞，0] B.(-o,-1) c.(-1,0) D.(-1,0] 2.已知数列{an}的前n项和是2”-1，则a5= A.9 B.16 C.31 D.33 3.已知点(-2，-1)在抛物线C:x2=my上，则抛物线C的准线方程为 A.x=2 B.x=1 C.y=2 D.y=1 4.已知向量a,b满足a⊥b,4=1,a+2bl=2,则bl= A司 B.② c.3 D.1 2 5.已知(x2+二)”的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则n= A.7 B.8 C.9 D.10 6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√5，则圆锥的体积为 A.2N5π B.3√5π C.65π D.9√5元 7.己知函数为f(x)= -x2-2a-a,x<0, e+ln(x+1),x≥0， 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(-o,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+o) 8.已知a∈R,则“sin2u= ”是“tanu=5”的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9.若圆x2+(y+2)2=2(r>0)上到直线y=V3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范 围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+o) 10.在平面直角坐标系中，将函数y=f(9的图象绕坐标原点0逆时针旋转平后，所得曲线仍然是某 个函数的图象，则称函数y=f(x)为“可旋转函数”.若函数g(x)=k(x-1)e(化∈R)为“可旋转函数”， 则满足条件的整数k的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11.已知复数z满足zi=2+i,则川z引= 12.若双曲线C:x2+my2-m=0的焦距为2√，则其渐近线方程为； 离心率为 13.若四面体各棱的棱长构成集合L,2}，则该四面体的体积可能是 ·(只需写出一个可能的值) 14.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离 称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD,CC,BB,A4是举，OD,DC1,CB,BA是相等 的步，相指的*步之比分别为器-05，瓷-，盟-，款-名.已知6成会差为01 OD 的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3= 2 B D 图1 图2 15.在平面直角坐标系xOy中，已知集合M={P(x,y)川OP.OA=2,A(cos0,sin),0eR},给出下列四 个结论： ①当0=1时，集合M是一条直线： ②V0∈R,点P到原点O的距离存在最小值，不存在最大值； ③若9：M,则点2所表示的区域面积为4π； ④已知集合N={(x,y)川x2+y2≥5}，则集合M≤N, 其中所有正确的结论是 三、解答题共6小题，共85分 16.(本小题14分)如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,∠DAB=60°， E,F分别为AB,CC的中点，EF与平面ABCD所成角为45°. D Ci A (1)求证：AD⊥BD; (2)求平面DEF与平面BCE夹角的余弦值. 11111 C E B 17.（本小题13分)在△ABC中，∠B为锐角，a=10,asin B+bsin A=10W3. (1)求∠B; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的 周长 条件①：sin4=55, 条件②：b=7;条件③：c-b=2. 14 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分， 18.（本小题13分)大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为统一体，形成气溶 胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子，科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采 集到24份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径（μm) 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 B 4.2 6.0 7.1 4.6 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 I Ⅱ Ⅲ V I 采集范围(um) >7.0 4.7~7.0 3.34.7 2.1~3.3 1.1~2.1 0.65~1.1 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率， (1)根据上述数据，若在甲地空气中随机采集1份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为Ⅱ级的概率； (2)在A点采集的带菌粒子中随机选出1份，在B点采集的带菌粒子中随机选出2份，记这3份中粒 数中值直径为Ⅲ级的份数为X，求X的分布列和数学期望； (3)为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集n(n≥6)份带菌粒子.记这n份带菌粒子中有 k(0≤k≤n)份的粒数中值直径为Ⅲ级的概率为P().试给出n的一个值，使得P(6)为 P(O,P(①，P(2),,P(n中的最大值.（结论不要求证明) 想5》Ec导号-o6>80点 椭圆C的上顶点、右顶 点和坐标原点O所构成的三角形面积为√2， (1)求椭圆C的方程和短轴长. (2)若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2 的位置关系，并证明你的结论， 20,（本小题15分)已知函数f国的定义域为Rf=三. (1)求函数f'(x)的单调区间； (2)判断曲线y=f"(x)上是否存在两点P,2,使得P,2关于点(1,0)对称，并说明理由； (3)直线l是曲线y=f(x)在A(a,f(a)(a>0)处的切线，过点A作垂直于l的直线2，直线乙，12 与y轴交点的纵坐标分别为片，2，求+，二2@的取值范围. y2-y 21.(本小题15分)已知{an}是无穷正整数数列，且对任意的n≥3，an+1=card{k|a=an,k∈{L,2,·,n}, 其中card S表示有穷集合S的元素个数. (1)若4=2，a2=3,a4=2,求45的所有可能取值； (2)求证：数列{an}中存在等于1的项； (3)求证：存在teN°，使得集合{k∈N|a,=t}为无穷集合.