数学（黑龙江哈尔滨卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学模拟卷以传统文化（刺绣、中国结）、科技前沿（智能机器人）及生活应用（真空压缩袋）为情境，通过基础题（选填1-6/11-14）、能力题（选填7-10/15-20）、创新题（解答25-27）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、对称图形、科学记数法等|以刺绣图案考轴对称与中心对称，体现文化传承| |填空题|10/30|函数取值、因式分解、概率等|中国结规律探究考代数推理，真空压缩袋密度问题考反比例函数模型| |解答题|7/60|化简求值、统计、几何证明等|智能机器人购买问题综合函数与不等式，考查应用意识；正方形与圆综合题（26题）考逻辑推理|

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． 2．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 3．根据国家统计局的数据，2025年中国集成电路产量约484300000000颗，彰显了我国集成电路产业的强大实力．数据484300000000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的值由原数小数点移动的位数确定． 【详解】解：∵将 改写为 时，小数点向左移动了位， ∴． 故选：C． 4．如图所示的几何体，左视图是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的三视图定义，左视图是从左面观察几何体得到的平面图形，需分析几何体的前后排数及每排的最高层数． 【详解】解：观察几何体可知，该几何体由小正方体堆积而成，分为前后两排．从左面看（左视图）：视线方向从左向右，看到的图形列数对应几何体的排数（前后方向）．左视图的左列对应几何体的后排，左视图的右列对应几何体的前排． ∵几何体后排左侧有层小正方体， ∴左视图的左列有个正方形，竖直排列． ∵几何体前排右侧有层小正方体， ∴左视图的右列有个正方形，位于下层． 综上所述，左视图应为左列层、右列层（靠下）的图形，与选项D相符． 5．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 展开整理得： 移项得： 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 6．抛物线的顶点坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解： 故抛物线的顶点坐标是： ． 7．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图是中国结抽象出的平面图形，若第1个图中共有4个小正方形，第2个图中共有7个小正方形，第3个图中共有10个小正方形，…，则第5个图中小正方形的个数为（   ） A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 【答案】B 【分析】观察可知后一个图形比前一个图形多3个小正方形，进行求解即可． 【详解】解：观察可知后一个图形比前一个图形多3个小正方形， ∴第n个图形中小正方形的个数为， ∴第5个图形中小正方形的个数为． 8．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 10．如图，C是以为直径的半圆O的中点，P是直径上的动点，连接，，将射线绕点P顺时针旋转，交于点D，设，，则y与x之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得，，从而，则，设半径为r，则可表示，，，则，可确定函数图象以及开口方向，最后再判断与x轴的交点情况，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， C是半圆O的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 设半径，则，，， ，则， ， 则y是关于x的二次函数，图象为抛物线， ， 函数图象开口向上， 当时，，，方程无实数根， 抛物线与x轴没有交点， 因此y与x之间的函数关系图象大致如选项B所示． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，据此求解自变量的取值范围； 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴在函数中，分母， 解得． 12．分解因式：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解. 【详解】解： ． 13．某校设置了烹饪、茶艺、木工、花卉种植四个项目．小明将这四个项目分别写在四个书签上，且书签除文字描述不同外无其他差别．若小明从这四个书签中随机抽取一个，则他恰好抽中茶艺的概率为_____． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定符合题意的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，随机抽取书签，所有等可能的结果共种，其中恰好抽中茶艺的结果共种， ∴． 14．不等式组，的解集为_____． 【答案】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 15．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 【答案】/度 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 解得：． 16．真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 【答案】10 【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，函数图象经过点， 将代入得， 解得， 函数关系式为， 当时，． 17．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则____________ 【答案】/ 【分析】根据新运算法则进行即可． 【详解】解：∵， ∴． 18．已知中，，，的面积为，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论作答即可． 【详解】作于点D，如图, ∵，的面积为， ∴． ∴, ∴． 作交的延长线于点D，如图, ∵，的面积为， ∴． ∴， ∴． ∴． 19．抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先根据顶点式确定原抛物线的顶点 A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B的坐标．联立两条抛物线方程求出交点C的坐标；过点C作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出的长和点D的坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点A的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B， ∴点B的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，得， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，， 在中，当时，， ∴； 如图所示，过点C作于D， ∵是等边三角形， ∴（向右平移，m是正数）， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为： 20．如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据矩形的性质证明，在根据相似三角形的判定，即可证明结论； 对于②，根据，可证明，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； 对于③，先求出的长，再证明，即可求得的长； 对于④，作点G关于的对称点，连结，，证明，再求出的最小值，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 点M是的中点， ， ， ， ， 故②正确； 当时， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故③错误； 作点G关于的对称点，连结，， ， 由②知，， ， ， 当点F在上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，，， ， 的最小值为， 故④正确； 正确结论的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，将转化为求解是关键． 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据平方差公式和分式的性质化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 由于， 则原式． 22．（本题7分）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）四边相等的四边形是菱形，作出底为5，高为4的菱形即可； （2）作等腰直角三角形即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求． （2）解：如图，即为所求； （3）解：由勾股定理得． 23．（本题8分）阅读有助于提高学生的综合素养．为了解某市初中生周末阅读课外书情况，在全市范围内随机抽取部分初中生进行调查，并将调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 初中生周末阅读时间频数分布表 组别 阅读时间x（时） 频数 初中生周末阅读时间扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在频数分布表中________，抽取的初中生周末阅读时间的中位数在组，所对的扇形圆心角的度数为________； (2)若记组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，求初中生周末阅读时间的平均数； (3)若该市有万名初中生，请你估计该市初中生周末阅读时间不少于小时的人数． 【答案】(1)，， (2)小时 (3)万人 【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图，样本估计总体，加权平均数，中位数； （1）先根据组的扇形统计图的圆心角得到占比，进而得出抽取的人数，即可求得的值，进而求得的值，根据中位数的定义求得中位数的范围，即可求解； （2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可求解； （3）根据样本估计总体，用3万乘以周末阅读时间不少于小时的占比，即可求解． 【详解】（1）组的占比为 抽取总人数为：人， ∴ ∴ ∴所对的扇形圆心角的度数为 ∵中位数为第，和第个数的平均数，而，， ∴中位数在组， 故答案为：，，． （2）解：（小时） 答：初中生周末阅读时间的平均数为小时． （3）解：（万人） 答：估计该市初中生周末阅读时间不少于小时的人数为万人． 24．（本题8分）如图1，点 D 是 的边的中点，点E 在上，过点E作交于点F，连接，若 ． (1)求证：； (2)如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下，图中所有三角形均为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）证明，得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据等边对等角结合全等三角形的性质，分三种情况，结合三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 当时，则：， 由（1）可知：， ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上：或或． 25．（本题10分）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，根据题意，列出分式方程，求解即可得出结果； （2）设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，根据题意得出不等式组，求解得出的取值范围，由费用最少，得出对应结果． 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 26．（本题10分）如图1，在正方形中，边、分别切于、．交于，在上，连接交于． (1)求证：为的直径； (2)如图2，连接并延长交于，交于，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交于，连接和，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接、、、，根据切线长定理得出，根据正方形的性质得出，证明得出，，进而证明，得出，根据圆内接四边形对角互补可得，即可得出，即可得证； （2）过作 于 ， 于，证明得出，从而可得，根据，则，即可求解； （3）连接，交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，四边形 为正方形 ，由（2）可知，，进而得出则，令 ，推导出，，根据，求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）如图，连接、、、 在正方形中 ，边、分别切于、， ， 是正方形的对角线 平分 ， ， ， ， ，               为直径 （2）过作 于 ， 于， ， 四边形为矩形           ，           ， ， ，则， ． （3）如图，连接，交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形， 为的切线               四边形 为正方形   于 ， ， ，           由（2）可知，      ∴ ∴ 则 令      ， ，   ，     ， 又 ∴ 或 （ 舍 ） ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线长定理，正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（本题10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，，． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，为轴正半轴上一点，为的中点，连接，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，直线交轴、轴于点、，交直线于点，，为轴负半轴上一点，连接交轴于点，，过点P作轴交于点，为上一点，连接，为上一点，连接，，且，，为轴负半轴上一点，连接、、，若为的中点，，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数和几何的综合，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，解题关键是正确做出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理． （1）根据已知条件易得点和点的坐标，设出直线的解析式，代入点的坐标计算求解即可； （2）易知点到的距离，用点的横坐标表示的长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可； （3）根据已知条件易得点、点、点、点的坐标，从而可得直线的解析式，易得点的坐标，进而可得线段、、、的长度，根据已知条件可判定和相似，结合已知相似比可得线段的长度，可得点的坐标，作，综合三角形相似的判定和性质可得，进而得出的长度，根据勾股定理可得线段的长度，进而得出点的坐标，设直线的解析式，代入点和点的坐标，计算求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，则 解得，， ∴， 答：直线的解析式为． （2）如图，作轴于点，则， ∵点在轴正半轴上，且横坐标为， ∴， ∴， 答：与的函数关系式为． （3）∵直线交轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于点，交于点，连接，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 如图，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴． 答：直线的解析式为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[X)[][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D] 9.A1[B1[C1[D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.A[B1[C][Dj 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.A][B1[C1ID1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分) 12 13. 15 16 17 18. 19. 20. 三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) (1) (2) B 3) 第22题图 23.(8分) (1)a= (2) (3) 24.(8分) (1) B D D 图1 图2 第24题图 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) (1) (2) 26.(10分) 0 M BN 图1 图2 图3 第26题图 (2) 3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（10分) (1) B MHG 图1 图2 图3 第27题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 U 6 7 8 9 10 C C D 0 A B B C & 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 11.x≠2 B4x-20*2)1. 14.3<x≤5 15.108° 16.10 1.3 18.60°或120°19.2V3 20.①②④ 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23一24题各8分，25一27题各10分，共计60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 21.(本题7分) 解：1-1x2-1 x+1x+1 元+1-1：x+1x-1 ,(1分) X+1 X+1 G X+1 (2分) x+1x+1x-1) X x+1x-1(3分) 由于x=2c0545+255in60°=2×2+2g3x5=2+1,5分) 3 23 2+1 2+1-2+1=1 则原式02+1+12+1-12+2×22+222 (7分) 22.(本题7分) 解：(1)如图，菱形ABEF即为所求. (3分) 1/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 B (2)如图，△CDG即为所求： (6分) (3)由勾股定理得EG=2+3=13. (7分) 23.(本题8分) 72 解：(1)B组的占比为 。×100%=20% 360 100 抽取总人数为： 20% =500人， ∴.a=500×10%=50 ∴.b=500-50-100-160-40=150 ∴.D所对的扇形圆心角的度数 150×360°=108° 500 ,中位数为第250，和第251个数的平均数，而50+150<250,50+100+160>250， .中位数在C组， 故答案为：500，C,108°. (3分) 50 (2)1× +2×100+3×160+4×150+5×40=3.06(小时) 5002500 500 500 500 (4分) 答：初中生周末阅读时间的平均数为3.06小时. (5分) (3)3×150+40=1.14(万人) (7分) 500 答：估计该市初中生周末阅读时间不少于3.5小时的人数为1.14万人.(8分) 24.(本题8分) 证明：(1)，DE=DF, ∴.∠i∠DFE, (1分) ,EF/元BC, ∴.∠BDE=∠，∠CDF=∠DFE, 2/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴∠BDE=∠CDF, (2分) ,D为BC的中点， .'BD=CD, (3分) ∴·△BDE≌△CDF, .∠B=∠C, (4分) ,EFI元BC, ∴.∠B=∠AEF,∠AFE=∠C, .∠AEF=∠AFE, ∴.AE=AF; (5分) (2),∠A=40°， ∠B=∠C=180-∠A=70, 当BD=BE时，则：∠BDE=180°-∠B=550, 由(1)可知：∠DFE=∠些i∠BDE=55°， ∴.∠EDF=180°-2×55°=70°； 当DE=BD时，则：∠BDE=180°-2∠B=40°， .∠DFE=∠些乙∠BDE=40°， .∠EDF=180°-2×40°=100°； 当DE=BE时，∠BDE=∠B=70°， ∴.∠DFE=∠些（∠BDE=70°， ∴.∠EDF=180°-2×70°=40°； 综上：∠EDF=40°或70°或100°. (8分) 25.(本题10分) 5 解：（1)假设乙种机器人单价为x万元，则甲种机器人单价为后×万元， 500_450+5 根据题意，得出方程5 X (2分) X 6 解得x=30, (3分) 坠检验，X=30是方程的解，则名x=23 (4分) 3/10 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 故甲种机器人单价为25万元，乙种机器人单价为30万元. (5分) (2)设购买甲种机器人m个，则购买乙种机器人20-m个， 根据题意，列出不等式组就， (7分) 解得10≤m≤3， .40 由于m取正整数，则m取10,11,12,13，(8分) .'总费用表达式为25m+3020-m=600-5m, 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人13个，乙种机器人7个， 此时费用为25×13+30×7=535（万元）， (9分) 答：购买甲种机器人13个，乙种机器人7个时总费用最少，最少费用为535万元. (10分) 26.（本题10分) 证明：(1)如图，连接CE、CF、ME、MF M BN .在正方形ABCD中，边AD、AB分别切⊙O于E、F, .∴.AE=AF, AC,是正方形的对角线 .AC平分∠BAD ∴.∠BAC=∠DAC, .AC=AC, ∴.△AFC≌△AEC(SAS), ∴.∠FCA=∠ECA,FC=EC(1分) MC=MC .∴.△MFC≌△MEC(SAS) ∴.∠MEC=∠MFC, (2分) .'∠MEC+∠MFC=180° 4/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠MEC=90° ∴.MC为直径(3分) (2)过M作MR⊥AB于R,MS⊥OF于S, E D M ∴.∠MRF=∠MSF=∠RFS=90°， ∴.四边形MRFS为矩形 ∴.MR=FS (4分) .'OM=OC ∴.∠MOS=∠COH,∠MSO=∠CHO .∴.△MOS2△CHO ∴.OS=OH .∴.OF-OS=OT-OH .'FS=HT, ∴.HT=MR, (5分) ·∠RAM=45°，则lsin 4 RAM=RM=2 AM 2 ∴.AM:HT=AM:MR=2 (6分) (3)如图，连接EF,OE,EF,AC交于点L,过点K作KW⊥AC于点W,则△OWK是等腰直角三角形， D M T.AE ⊙0 W BN 为 的切线 ∴.∠OED=90 5/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠AEO=∠EAF=∠AFO=90° ∴.四边形AFOE为正方形 ∴.EF⊥AO于L, ∴.OL=EL=FL, (7分) .PC=BN, ∴.PC=RM ∴.PC=HT ∴.OH=OP 由(2)可知，OS=OH 0s-要0M= 20E=0L ..OH=OP=OL=OS H B N ·EL=OL=OP,则an∠EPL=EL=EL EL=1 LP OL+OP 2EL2 (8分) 令OK=tV2a ∴.OW=WK=a, ..PW=_ WK =2a, tan∠EPL ∴.OP=OW+为=3a, ∴.OF=OM=2OS=3V2a .FK=42a, (9分) 又SN=SM=OS=OH=OP=3a :56x号PK×S=×452ax3a=122 ∴.a=(2或a=-iV2(舍) ..OC=OE=20L=20P=3V2a 6/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴.PC=OC-OF=32-3a, ∴.AM=V2MR=2PC=2(3V2-3)a=62-6. (10分) 27.(本题10分) 解：(14AOB=90°，tan∠BAO三1，AB=20 B0-号AB=16,A0-号AB=12, .A-12,0,B0,16,(1分) 设直线AB的解析式为y=ax+b,则 ( 解得，， 4 y=3x+16, 答：直线AB的解析式为y 3x+16, (2分) (2)如图，作CQ⊥x轴于点H,则CH=号B0=8, (3分) B oo ,点P在x轴正半轴上，且横坐标为t, ..OP=t, ∴S=号A0+0P-CH=}x12+t×8=4t+48, (4分) 答：S与t的函数关系式为S=4t+48. (5分) (3).直线y=kx-12k交x轴于点D, .D12,0, ∴.OP+DP=OD=12, 0pDP=0A,0A=12, 7/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.OP=8, OH=AH,OH+AH-OA=12. Γ17 0H导 o '∠FAD-∠FDA=2∠OED-∠BFE, ∴.∠FAD-∠FDA=290°-∠FDA-∠FAD+∠FDA=180°-3∠FDA-∠FAD, .∠FAD+∠FDA=90°， ∴∠AFD=90°， C-6,8, 直线CH的解析式为y=,3x-L, ∴.G0,-1, (6分) 'OD=12,tan∠ODE=an∠OBA=OA=3 OB 4' .E0,9, ∴.EG=10, PI⊥x轴，EG⊥x轴， .PI儿EG, .∠ELI=∠GEJ, ,∠DIP+∠EJG=180°， .∠EJG=180°-∠DIP=∠LIE, ∴.△EJG一△LIE, ∴.EG:≤iEJ:LI=5:4V2, .8=10×482=82, (7分) 5 如图，作MS⊥EL于点S,交NL于点T,连接NS,则∠LEN+∠EMS=90°， ,点N为EM的中点， :.NS=NM=NE=1EM, 8/10 厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠NSM=∠NMS, ,∠LEN+∠MLN=∠AFD,∠AFD=90°， .∠NLM=∠EMS=∠NSM, 又.∠NTS=∠LTM, .△NST~△MTL, 究 又，∠NTM=∠STL, .△NTM△STL, ∴.∠MNT=∠LST=90, 又.点N为EM的中点， ∴…LM=i=8V2, (8分) 如图，作LK⊥EG于点K,则KL=OP=8, ∴.EK=822-82=8, ∴.LP=KO=1, ∴.L8,1,MP=V822-1=V127 .M8-/127,0, (9分) 设直线ML的解析式为y=mx+n,则 i 解得，d, ∴y= V127 127 +1-8127 127 答：直线ML的解析式为y= V127 (10分) 127 +1-8127 127 9/10 耐学科网·学易金卷 WWw.Zx×k.com 做好卷，就用学易金卷 B K- D 10/10 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．根据国家统计局的数据，2025年中国集成电路产量约484300000000颗，彰显了我国集成电路产业的强大实力．数据484300000000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体，左视图是（  ） A． B． C． D． 第4题图 5．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标为(   ) A． B． C． D． 7．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图是中国结抽象出的平面图形，若第1个图中共有4个小正方形，第2个图中共有7个小正方形，第3个图中共有10个小正方形，…，则第5个图中小正方形的个数为（   ） A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 10．如图，C是以为直径的半圆O的中点，P是直径上的动点，连接，，将射线绕点P顺时针旋转，交于点D，设，，则y与x之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 第10题图 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 12．分解因式：__________． 13．某校设置了烹饪、茶艺、木工、花卉种植四个项目．小明将这四个项目分别写在四个书签上，且书签除文字描述不同外无其他差别．若小明从这四个书签中随机抽取一个，则他恰好抽中茶艺的概率为_____． 14．不等式组，的解集为_____． 15．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 第15题图 第16题图 第20题图 16．真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 17．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则____________ 18．已知中，，，的面积为，则的度数为_________． 19．抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 20．如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题7分）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． 第22题图 23．（本题8分）阅读有助于提高学生的综合素养．为了解某市初中生周末阅读课外书情况，在全市范围内随机抽取部分初中生进行调查，并将调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 初中生周末阅读时间频数分布表 初中生周末阅读时间扇形统计图 组别 阅读时间x（时） 频数 第23题图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在频数分布表中________，抽取的初中生周末阅读时间的中位数在组，所对的扇形圆心角的度数为________； (2)若记组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，求初中生周末阅读时间的平均数； (3)若该市有万名初中生，请你估计该市初中生周末阅读时间不少于小时的人数． 24．（本题8分）如图1，点 D 是 的边的中点，点E 在上，过点E作交于点F，连接，若 ． (1)求证：； (2)如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下， 图中所有三角形均为等腰三角形，请直接写出的度数． 第24题图 25．（本题10分）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 26．（本题10分）如图1，在正方形中，边、分别切于、．交于，在上，连接交于． 第26题图 (1)求证：为的直径； (2)如图2，连接并延长交于，交于，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交于，连接和，当，时，求的长． 27．（本题10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，，． 第27题图 (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，为轴正半轴上一点，为的中点，连接，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，直线交轴、轴于点、，交直线于点，，为轴负半轴上一点，连接交轴于点，，过点P作轴交于点，为上一点，连接，为上一点，连接，，且，，为轴负半轴上一点，连接、、，若为的中点，，求直线的解析式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 11．_______________ 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 15．_______________ 16．_______________ 17．_______________ 18．_______________ 19．_______________ 20．_______________ 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（7分） (1) (2) (3) 第22题图 23．（8分） (1) a=_________； __________； __________. (2) (3) 24．（8分） (1) 第24题图 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） (1) (2) 26．（10分） (1) 第26题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（10分） (1) 第27题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．根据国家统计局的数据，2025年中国集成电路产量约484300000000颗，彰显了我国集成电路产业的强大实力．数据484300000000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体，左视图是（  ） A． B． C． D． 第4题图 5．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标为(   ) A． B． C． D． 7．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图是中国结抽象出的平面图形，若第1个图中共有4个小正方形，第2个图中共有7个小正方形，第3个图中共有10个小正方形，…，则第5个图中小正方形的个数为（   ） A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 10．如图，C是以为直径的半圆O的中点，P是直径上的动点，连接，，将射线绕点P顺时针旋转，交于点D，设，，则y与x之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 第10题图 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 12．分解因式：__________． 13．某校设置了烹饪、茶艺、木工、花卉种植四个项目．小明将这四个项目分别写在四个书签上，且书签除文字描述不同外无其他差别．若小明从这四个书签中随机抽取一个，则他恰好抽中茶艺的概率为_____． 14．不等式组，的解集为_____． 15．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 第15题图 第16题图 第20题图 16．真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 17．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则____________ 18．已知中，，，的面积为，则的度数为_________． 19．抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 20．如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题7分）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． 第22题图 23．（本题8分）阅读有助于提高学生的综合素养．为了解某市初中生周末阅读课外书情况，在全市范围内随机抽取部分初中生进行调查，并将调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 初中生周末阅读时间频数分布表 初中生周末阅读时间扇形统计图 组别 阅读时间x（时） 频数 第23题图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在频数分布表中________，抽取的初中生周末阅读时间的中位数在组，所对的扇形圆心角的度数为________； (2)若记组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，组阅读时间的平均数为，求初中生周末阅读时间的平均数； (3)若该市有万名初中生，请你估计该市初中生周末阅读时间不少于小时的人数． 24．（本题8分）如图1，点 D 是 的边的中点，点E 在上，过点E作交于点F，连接，若 ． (1)求证：； (2)如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下， 图中所有三角形均为等腰三角形，请直接写出的度数． 第24题图 25．（本题10分）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 26．（本题10分）如图1，在正方形中，边、分别切于、．交于，在上，连接交于． 第26题图 (1)求证：为的直径； (2)如图2，连接并延长交于，交于，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交于，连接和，当，时，求的长． 27．（本题10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，，． 第27题图 (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，为轴正半轴上一点，为的中点，连接，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，直线交轴、轴于点、，交直线于点，，为轴负半轴上一点，连接交轴于点，，过点P作轴交于点，为上一点，连接，为上一点，连接，，且，，为轴负半轴上一点，连接、、，若为的中点，，求直线的解析式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $