甘肃兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一年级数学期中试卷以福建舰零部件质量调查等真实情境为载体，通过统计分析、向量运算、解三角形等问题设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|统计（普查、分层抽样）、向量（共线）、三角函数（诱导公式）|第1题结合福建舰科技情境，考查全面调查适用场景，体现数学眼光| |多选题|3题/15分|数据特征（标准差、极差）、向量（平行、夹角）、三角函数（性质）|第9题通过数据变换考查统计量不变性，培养数学思维严谨性| |填空题|3题/15分|百分位数、三角求值、投影向量|第14题考查投影向量概念，强化数学语言表达| |解答题|5题/70分|频率分布直方图（13分）、向量夹角（15分）、解三角形（17分）等|第15题分析考试成绩分布，第19题探究三角函数单调性与最值，综合考查数据意识与推理能力|

2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷答案 一.单选题 1.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.了解兰州白兰瓜的甜度情况 B.了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C.了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D.对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 2.已知a=(1,2),b=（-2,t),若a∥b,则实数t的值为() A.-4 B.-1 C.2 D.4 【答案】A 3.已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动 小学生 初中生 的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生， 2400人 1800人 则小学与初中共需抽取的人数为 高中生 1200人 A.30 B.40 C.70 D.90 【答案】C 4.己知角x∈ 42 且sin2au= ， 则cos=() B. 5 4 C. 5 D. 2W5 5 5 【答案】B 5.已知tano, tamB是方程x2-4x-3=0的两根，且，B∈(0，π)，则a+B的值为() A哥 B.3n C.5n π 4 4 D.4 【答案】C 6.如图，在平行四边形ABCD中，点B满足BE=EC,点F为CD的中点，则DE+AF= () A. B. 3 4 C. D. 4 【答案】B 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-2c=c2+4-b2,a=2,则角B= () B. 父 D 2π 4 3 【答案】D 8.若M为△ABC所在平面内一点，且满足|MB-MC=HMB+MC-2MA|,则△ABC为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 二、多选题 9.有一组样本数据x,x2,,x,由这组数据得到新样本数据乃，2，，，其中 y=x+c位=1,2，，)，c为非零常数，则两组样本数据的样本() A.平均数相同 B.中位数相同 C.标准差相同 D.极差相同 【答案】CD 10.己知向量=(-4,3)，万=(7,1)，下列说法正确的是（) A.(a+b)La B.a-=55 43 C.与向量a平行的单位向量仅有 5'5 D.向量a与向量的夹角为135 【答案】ABD 1.已知函数fy= sin 2x -cos2x+ 2 1(x∈R),则下列说法正确的是() A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小正周期为π 2 C. 点。0为函数)图象的一个对称中心 D.函数f(x)的最大值为1 【答案】BD 三、填空题 12.数据2,4,5,8,4,10,11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为 【答案】9 13.cos70°sin40°-sin110°sin50°的值为 【答案】月 14.已知d-3,=√5，向量ā在向量五上的投影向量为26，则a与i夹角的余弦值为 【答案】6 四、解答题 15.（13分)某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： 频率/组距 7a 6a 3a 2a 506070 8090100成绩（分） (1)求频率分布直方图中a的值： (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数： (3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数. 【详解】(1)(2a+3a+7a+6a+2×10=1→a=0.005 3分 (2)P,=10×2×0.005=0.1,h=1002=10 P2=10×3×0.005=0.15,h2=100p2=15 .7分 (3)众数：75分： .8分 平均数：76.5分 11分 3 p=80-78 7×0.005×10+6×0.005×10+2×0.005×10=0.47 10 n=100p=47 15分 16(15分)已知向量a5满足园-2，同-1，且与5的夹角为号 (1)若(2a+b)1(a-乃)，求实数元的值： (2)求与a+2b的夹角的大小 【详解】(1)由思意可得a.万=eo号2x1*了1， 因为(2a+b)1(a-),所以(2a+)a-)=0, 即2-2a.b+ā.b-b2=2×4-21x1+1-1×1=9-31=0, 解得1=3， .7分 (2)设6与ā+2b的夹角为0，由(1)可知，āb=1, 由题意可得6.(a+2b)=a6+2b2=1+2×1=3, 由la+2=a2+4ā.万+4仍2=4+4+4=12，得a+2万=23， 所以cos0= 万a,西125兰，所以0 i-(a+5)35 6 15分 17.(15分)已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上， 且=B,设AM与CN相交于点P.记AB=m,AC=. (1)请用m,n表示向量AM: 回诺月-2网，设m,元的夹角为0若cas0-音求证：1丽. 【详解】(1)BC=AC-AB=n-m,由题意得， 所议=西丽=--列-， .6分 (2)由题意，示=a+成=-4c+}B=m-n. 明2网，o0子∴ma园月o0。 .CN⊥AB 15分 18.(17分)已知△4BC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且csin B+ -a 3 2 (1)求角C的大小： (2)若△ABC的面积为6√3，中线CD=√19，求C. 【详解】(1)在△4BC中，A=π-(B+C),则sinA=sin(B+C), 肉为8引 则c sin B+√3 c cos B=√3a, 3分 由正弦定理得：sinCsin B+V3 sinC cos B=V3sin(B+C), 所以sin C sin B+√3 sinC cos B=√5 sin B cosC+√5 cos Bsin C, 所以sinCsin B=√3 sin B cosC, 5分 又0<B<元，得sinB>0,所以sinC=√3cosC,即tanC=√3， 由0<C<π，解得C=亚 8分 (2)因为△4BC的面积为6√3， 所以山nc=65, 由①)知c=于故b=21, 10分 因为CD为中线，即D为AB中点， 则cD=@+c),又CD=i9, 则c可-(C@+C西°-19，所以d2+b2+b=76, 解得a2+b2=52, 由余弦定理得c2=42+6-2bc0sC=52-2×24×号=28， 2 所以c=2√万 17分 5 19《17分)已知向最a-(m引 B=(cosx,-1). (1)当a/b时，求2cos2x-sin2.x的值； ②求了-位+)6在[受0的单调递增区间。 ®求函数在受0的最小白及相应的取值。 3 【详解】(1)解：由向量a= 五=(cosx,-1), 因为a/万，可得cosx+mx=0,所以anx- 3 2 3分 2cos-sin 2x=2cos2sim x cosx2-2tam.x20 sin2 x+cos2x 1+tan2x 13 8分 ②解：由函数了国)=a+D)b=mx+Cs.)os子im2x+》 22 令-受+2加s2x+牙经2c0,可得-+加货+低e2. 4-2 P P 函数单调递增， 所以函数∫(x)的单调递增区间为 3 80 .12分 6)因为晋0，眉以x牙芹所以m+子号 44 所以9e安拟当2骨会年经时 √2 8 2 .17分 6 2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷答案 一．单选题 1．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 2．已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 3.已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为 A．30 B．40 C．70 D．90 【答案】C 4. 已知角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 7.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 8.若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 二、多选题 9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（    ） A．平均数相同 B．中位数相同 C．标准差相同 D．极差相同 【答案】CD 10.已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 11.已知函数（），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小正周期为 C．点为函数图象的一个对称中心 D．函数的最大值为1 【答案】BD 三、填空题 12．数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______． 【答案】9 13.的值为______． 【答案】 14．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 四、解答题 15．（13分）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 【详解】（1） …………….3分 （2） …………….7分 （3）众数：75 分； …………….8分 平均数：76.5 分 …………….11分 …………….15分 16. （15分）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的大小． 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． …………….7分 （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以，所以 . …………….15分 17．（15分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：．. 【详解】（1），由题意得， 所以． …………….6分 （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． …………….15分 18. （17分）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【详解】（1）在中，，则， 因为， 则， …………….3分 由正弦定理得：， 所以， 所以， …………….5分 又，得，所以，即， 由，解得. .…………………………………….…8分 （2）因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， .…………………………………….…10分 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. .…………………………………….…17分 19. （17分）已知向量，． (1)当时，求的值； (2)求在的单调递增区间． (3)求函数在的最小值及相应的取值。 【详解】（1）解：由向量，， 因为，可得，所以， …………….3分 则. …………….8分 （2）解：由函数， 令，可得， 因为，当时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为. …………….12分 （3）因为，所以，所以， 所以，所以当，即时，， …………….17分 ( 2 ) ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $型气紫 成绩报告查询： 1扫描二维码下载APP ■ 可 2.应用商店搜索【好分数】下载安装 2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学答题卡 准考证号 姓名： 学校： [o] [0] [0] [0] [0][0][0] [0][0][0][0] [ [1] [1] C1] [1] C1] [1] [1] [] [] [1] 班级： [2] [2] [2] [2] [2] C2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] C3] C3] [3] [3] [3] [3] 座号： [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 47 [4] [5] C5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 考场： [7] [7] [7] [7] [7] [7] [] [7] [7] [ [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] .选择题(40分) 1[A][B][C][]3[A][B][c][J5[A][B][c][D]7[A][B][C][D] 2[A][B][c][D]4[A][B][c][D]6[A][B][c][D]8[A][B][cJ[D] ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 二选择题(18分) 9CA][B][c][D]10[A][B][c][D]11LA][B][c][D] ■■■■■ ■ 三填空题(15分) 12 13 14 四解答题(77分) 15(13分) 可游回 ID:4062116 第1页共 ■ 16(15分) 17(15分) 2页 ■ 清使用2B铅笔填涂选择题 18(17分) 回回 ▣ 回 ▣ ID:4062116 第2页共 答案等选项及考号 19(17分) 2页 ■ 2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 （    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 2．已知，，若，则实数的值为 （    ） A． B． C．2 D．4 3．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为 （    ） A．30 B．40 C．70 D．90 4．已知角，且，则 （    ） A． B． C． D． 5. 已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 1. 如图，在平行四边形中，点满足， 点为的中点，则 （    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，且，， 则角 （    ） A． B． C． D． 8. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．） 9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本 （    ） A．平均数相同 B．中位数相同 C．标准差相同 D．极差相同 10．已知向量，，下列说法正确的是 （ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 11．已知函数（），则下列说法正确的是 （    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小正周期为 C．点为函数图象的一个对称中心 D．函数的最大值为1 三、填空题 12. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______． 13. 的值为______． 14．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 16．（15分）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的大小． 17．（15分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 18. （17分）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 19．（17分）已知向量，． (1)当时，求的值； (2)求在的单调递增区间； (3)求函数在的最小值及相应的取值． ( 高一年级数学第 1 页 共 4 页 ◎ 高一年级数学第 2 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 () A.了解兰州白兰瓜的甜度情况 B.了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C.了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D.对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 2.已知a=(1,2),五=(-2，t),若a/b,则实数t的值为 () A.-4 B.-1 C.2 D.4 3.已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动 小学生 初中生 2400人 、1800人 的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生， 高中生 1200人 则小学与初中共需抽取的人数为 () A.30 B.40 C.70 D.90 已角a-(仔》且m2a号则ca= () A B. 5 c. D.25 5.已知tana,tanB是方程x2-4x-3=0的两根，且，B∈(0，兀)，则ox+B的值为() A哥 8. 4 C. D.7π 4 6.如图，在平行四边形ABCD中，点B满足正=C, 3 F 点F为CD的中点，则D+AF= () A.+ADB.丽+D C.3+ 3 2 B 高一年级数学第1页共4页 @ 7.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-2c=c2+4-b2,a=2, 则角B= () A.君 c. p. 2π 8.若M为△ABC所在平面内一点，且满足|MB-MC=MB+MC-2MA,则△ABC为() A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.) 9.有一组样本数据x,x2,,xn,由这组数据得到新样本数据y,y2,,yn,其中 y,=x+c(i=1,2,,),c为非零常数，则两组样本数据的样本 () A.平均数相同 B.中位数相同 C.标准差相同 D.极差相同 10.已知向量ā=(-4,3)，b=(7,1),下列说法正确的是 () A.(a+b)La B.a-=55 C.与向量a平行的单位向量仅有 号）D.向量a与向量6的夹角为135 1.已知函数fm)=3、 sin2x-cos2x+】(xeR),则下列说法正确的是 ( A.函数(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小正周期为π C.点[后0为函数f)图象的一个对称中心 D.函数f(x)的最大值为1 三、填空题 12.数据2,4,5,8，a,10,11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为 13.cos70°in40°-sin110°sin50°的值为 14.已知d=3,=5,向量a在向量五上的投影向量为√6，则a与6夹角的余弦值为 高一年级数学第2页共4页 四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： 频率/组距 Ta 6a-- 3a 2a 5060708090100成绩（分） (1)求频率分布直方图中a的值： (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数： (3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数. 16.(15分)已知向量ā，五满足=2，=1，且ā与5的夹角为 (1)若(2a+b)1(a-历)，求实数2的值： (2)求6与ā+2b的夹角的大小. 17.(15分)已知在△4BC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且 AN=,设AM与CN相交于点P.记AB=L,AC= (1)请用m,n表示向量AM: 2)若-2网，设m,n的夹角为0，若co6=求证：1孤。 高一年级数学第3页共4页 ◎ 18.(17分)已ABC的内角4民C所对的边分别为a,6,6,且cm+胃到a. (1)求角c的大小： (2)若△4BC的面积为6√3，中线CD=√19，求c. 19.(17分)已知向量a=sm》 i=(cos.x,-1). (1)当a/b时，求2cos2x-sin2x的值； 2)求f(x)-(a+列6在20的单调递增区间： (3)求函数/（✉在-0的最小值及相应x的取值. 高一年级数学第4页共4页