精品解析：安徽桐城市实验中学2025-2026学年度第二学期八年级期中检测数学试题

桐城市实验中学20252026学年度第二学期八年级期中检测 数学试题 时间120分钟满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式的定义，满足根指数为2，且被开方数为非负数的根式是二次根式，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．∵，∴，满足二次根式的定义，符合要求； B．的根指数为3，是三次根式，不符合要求． C．中未说明，当时无意义，不符合要求． D．中被开方数，无意义，不符合要求． 2. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程），逐一分析各选项，进而选出符合条件的方程． 【详解】解：选项中的未知数最高次数为， 不是一元二次方程； 选项中满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程， 是一元二次方程； 选项中整理方程得，未知数最高次数为， 不是一元二次方程； 选项中的未知数最高次数为， 不是一元二次方程． 故选：． 4. 一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 5. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 7. 实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出的值，再分情况结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解． 【详解】解：∵绝对值和算术平方根都是非负数，且满足， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论： ① 当为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； ② 当第三边长为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； 综上，第三边长为或． 8. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A 9. 如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如图3， ∴， ∴； ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：B． 10. 如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数为非负数，且分式的分母不等于零，可得： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是且． 12. 已知不相等的实数a、b满足，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意可得a、b可看作关于x的方程的两实数解，则由根与系数的关系可得，再把原式可变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵不相等的实数a、b，且满足， ∴a、b可看作关于x的方程的两实数解， ∴， ∴ ， 故答案为： 13. 中，，，高，则______ 【答案】14或4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 14. 如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接． （1）的度数为______； （2）若，，则的长为______． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，因为，，所以，，可根据“”证明，得，于是得到问题的答案； （2）作于点F，于点E，由，求得，由，求得，，因为，所以，由角平分线的性质得，则，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为： （2）作于点F，于点E， ∵， ∴， ，， ， ∵， ∴， ，， ， ， ∴， 平分，于点F，于点E， ， ∴， ， 故答案为： 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式推导线段之间的数量关系等知识与方法，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15. （1）计算：； （2）解下列方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简以及计算二次根式的乘法和化简绝对值，再计算加减即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】（1）这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）不能实现目标． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 四、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17. 如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）线段的长度为_________； （2）请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【答案】（1）5 （2）角平分线即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出线段的长度即可； （2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可． 【小问1详解】 解：， 即线段的长度为5． 【小问2详解】 解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 18.  如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及翻折的性质进行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 五、解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数，满足，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【小问1详解】 解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）试求的取值范围． （2）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的性质，掌握利用判别式确定参数范围，结合韦达定理和绝对值性质求解参数，注意结果需满足初始条件是解题的关键． （1）根据方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求的取值范围； （2）先根据，得到，则由可得，进而得到，由此可得到，进而求出的值，最后根据（1）的范围确定的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得． 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ，． ， ． ， ， ． ， ， ， ，解得，． 由（1）可知，， ． 六、解答题 21. 阅读并解答问题： 第一个等式：1 第二个等式： 第三个等式：2 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第四个等式：＝　； （2）利用以上规律计算：； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据所给的式子找出规律，进而可得第四个等式； （2）把所给式子相加，根据二次根式的加减运算法则进行计算； （3）先进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：由题意得，第n个等式左边的分子是1，分母为，等式右边是， ∴第四个等式：＝， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的规律问题，二次根式的加减运算，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 七、解答题 22. 按要求解答下列各题： （1）问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 （2）类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】（1）13； （2）17． 【解析】 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 【小问2详解】 解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 八、解答题 23. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． （1）________（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． （4）点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】（1） （2） （3）11，12 （4）可以 【解析】 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【小问1详解】 点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． 【小问2详解】 点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． 【小问3详解】 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 【小问4详解】 周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城市实验中学20252026学年度第二学期八年级期中检测 数学试题 时间120分钟满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 4 8. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 9. 如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）． A. 5 B. C. D. 10. 如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 12. 已知不相等的实数a、b满足，则__． 13. 中，，，高，则______ 14. 如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接． （1）的度数为______； （2）若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15. （1）计算：； （2）解下列方程：． 16. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 四、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17. 如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）线段的长度为_________； （2）请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 18.  如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． （1）求证：； （2）求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数，满足，求的值． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）试求的取值范围． （2）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 六、解答题 21. 阅读并解答问题： 第一个等式：1 第二个等式： 第三个等式：2 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第四个等式：＝　； （2）利用以上规律计算：； （3）求的值． 七、解答题 22. 按要求解答下列各题： （1）问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 （2）类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 八、解答题 23. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． （1）________（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． （4）点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $