精品解析：安徽省安庆市桐城市第二中学2024—2025学年八年级下学期4月期中数学试题

桐城二中2024-2025学年度第二学期期中学情调研 八年级数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（4分×10） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 4. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ） 4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 5. 方程根的符号是（ ） A. 两根一正一负 B. 两根都是负数 C. 两根都是正数 D. 无法确定 6. 如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（ ） A. m B. 6m C. 4m D. 2m 7. 如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 10. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（5分×4） 11. 在实数范围内分解因式________ 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 13. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 14. 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则_____． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是_____． 三、解答题（共9题，60分） 15. 解方程：． 16. 计算：． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在图1同格中画出长为的线段AB； （2）在图2网格中画出一个腰长为且面积为3的等腰． 19. 观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 21. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠： 问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 23. （）如图①，平分，，若，则 ． （）探究：如图②，四边形，平分，，求证：． （）应用：如图③，四边形，平分，，，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城二中2024-2025学年度第二学期期中学情调研 八年级数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（4分×10） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、=，不是最简二次根式，错误； C、=，不是最简二次根式，错误； D、=，不是最简二次根式，错误； 故选A. 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 3. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ） 4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，掌握它是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：最长边为4，验证 ，而 ， ，故不能构成直角三角形． 最长边为2，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 最长边为5，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 最长边为1.3，验证 ，与 相等，满足条件，能构成直角三角形． 综上，符合条件的有，共3组， 故选C． 5. 方程根的符号是（ ） A. 两根一正一负 B. 两根都是负数 C. 两根都是正数 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解． 【详解】解：的两根分别为，，则，， ∴方程的两根同号，且两根都是正数， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键． 6. 如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（ ） A. m B. 6m C. 4m D. 2m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：m，m， ∴m， ∵m，m， ∴m， ∴梯子底端B向左移动了： 故选：D 7. 如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM=∠CBM， ∵AB∥CD， ∴∠ABM=∠BMC， ∴∠BMC=∠CBM， ∴BC=MC=2， ∵▱ABCD的周长是14， ∴BC+CD=7， ∴CD=5， ∴DM=CD﹣MC=3， 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义．掌握等腰三角形等角对等边是解题关键． 8. 如图，，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和数轴的定义，根据数轴知，点B所表示的数为，由勾股定理得，进而得，即可确定A的值． 【详解】解：由数轴知，点B所表示的数为， 由勾股定理知， ∵， ∴， ∴A到原点的距离为， 又∵点A在点的左侧， ∴点A所表示的数为， 故选：C． 9. 如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决． 【详解】 解：过点B作于点F，过点D作于点E， ∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°， ∴AC=4，， ∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高， ∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°， ∴，， ∴AB=BC=， ∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高， ∵，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为， ∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上， 即满足条件的点P有3处． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条件的点P所在的位置． 10. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵， ∴B的结论正确； ∵， ∴C的结论不正确； ∵， ∴D的结论不正确， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的意义等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 二、填空题（5分×4） 11. 在实数范围内分解因式________ 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式2，然后再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】原式=2(-5)=2(x+)(x-)． 故答案为：2(x+)(x-)． 考点：因式分解 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】使代数式有意义的条件是：分母不能为0，二次根式中的被开方数不能为负数． 【详解】解：根据题意得：x-1>0， 解得：x＞1． 故答案为：x＞1． 【点睛】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 13. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【详解】∵， ∴c2－a2－b2=0，且a－b=0． 由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2， ∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形． 又由a－b=0得a=b， ∴△ABC为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 14. 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则_____． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用正方形的性质证明，然后利用勾股定理即可求解； （2）根据平行得出四边形为矩形，然后根据相等的角得出，最后根据对应线段成比例和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ， 由直角三角形和正方形组合可知，点在同一条直线上， ∴由勾股定理得，， ， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，, ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即， 由勾股定理得，， 所以，正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，60分） 15. 解方程：． 【答案】=-1，=2． 【解析】 【分析】利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴x+1=0或x-2=0， 解得：=-1，=2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先根据完全平方公式去括号，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在图1同格中画出长为的线段AB； （2）在图2网格中画出一个腰长为且面积为3的等腰． 【答案】（1） 如图所示为所作线段AB（答案不唯一）； （2） 如图所示为所求作（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为； （2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为3确定△DEF． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计，二次根式的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2） 第个等式：． 证明： ， ∵左边=右边， 故该等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出第6个等式； （2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论． 【小问1详解】 第6个等式：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 21. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠： 问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，利用勾股定理解决几何问题，菱形的判定和性质，利用菱形的面积求对角线的长度等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据翻折的性质得出相等的边长，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可得出结果； （2）连接，根据条件证明四边形为菱形，利用菱形的面积即可求出对角线的长度． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得： （400﹣x﹣240）（200+×40）=41600． 化简，得：x2﹣110x+2400=0． 解得：x1=30，x2=80． 答：每千克茶叶应降价30元或80元． （2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元． 此时，售价为：400﹣80=320（元），． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 23. （）如图①，平分，，若，则 ． （）探究：如图②，四边形，平分，，求证：． （）应用：如图③，四边形，平分，，，，．求的长． 【答案】（）； （）证明：如图②，过作于，过作延长线于， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （） 【解析】 【分析】（）根据角平分线的性质即可求解； （）过作于，过作延长线于，由补角性质可得，又由角平分线的性质得，进而可得，即可求证； （）过点分别作于，延长线于，同理（）可得，由是等腰直角三角形得，进而由是等腰直角三角形得到，即得，最后利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 又∵平分， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图③，过点分别作于，延长线于， 同理（）可得， 在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $