微专题02 正方形常考几何模型 （专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

微专题02 正方形高频几何模型 题型一 正方形中的中点四边形基础判定与计算 1.正方形的中点四边形仍是正方形； 2.中点四边形边长为原正方形对角线的½； 3.用三角形中位线定理证明平行、相等，结合对角线垂直且相等判定正方形。 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东威海·月考）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边 (2) (3) (4)且 【分析】连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形； （3）解：， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； （4）解：且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，可知平行四边形为矩形， 根据，可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)， (2)； (3)四边形为正方形，证明见解析 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； （2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 题型二 正方形十字模型 1.正方形内，端点在边上的两条线段，满足垂直⇔相等； 2.平移、延长后的十字线段仍成立，通过构造Rt△全等证明； 3.用ASA或SAS证全等，结合勾股定理计算线段长。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 4．（2024·河南·一模）综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）的长为或或或． 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ③当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； ④当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； 综上，的长为或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型三 正方形45°半角模型 1. 正方形内角或外角含45°半角，均用旋转90°构造全等三角形； 2. 内部半角满足，外部半角满足； 3. 用SAS证明全等，统一处理线段和差问题。 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键． 本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上． 由旋转的性质，得，，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴在中，，即． 解得． 故选： C． 2．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 3．（25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 4．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【分析】（1），由折叠得到，，，从而推出，，，，得到，推出点三点共线，即可说明； （2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转可得，，得到，，，，推出，证得，得到，再利用勾股定理即可说明； （3）将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点，得到，，，，，，从而可得，，可证明四边形是正方形，设，则，，，利用勾股定理，可得到，解得，（舍去），得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 题型四 正方形对角互补模型 1.正方形内对角互补+邻边相等，必构造全等； 2.过顶点作垂线，得双直角全等三角形； 3.用AAS/ASA证明，转化线段与面积。 1．（25-26八年级下·上海青浦·月考）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【答案】(1)；证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质和勾股定理可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 2．（25-26九年级上·江西南昌·月考）背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①等边；② 【分析】（1）根据正方形，得到，，证，得到，由图形得，相加可得，故，根据勾股定理，即可求解． （2）①过点P作于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质，得到，由得，故是等边三角形；②设，先证，得到，再结合，，，列方程，求得，再求出和的长度，运用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）①如图，过点P作于点E，于点F，连接， 平分， ， ， ， 是等边三角形； ②设， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，解得， ， ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． (1)问题：求证：； (2)问题：求证：； (3)问题：求证：； (4)问题：求证：； (5)问题：下列结论：； ； ；．其中结论正确的有．（填序号） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； (4)证明见解析； (5)． 【分析】（1）连接，证明，所以，，可证，从而求证； （2）连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，所以，则； （3）延长至，使，连接，证明，则，所以； （4）由问题知，又，，然后通过和差即可求证； （5）连接，，证，即可； 过点作交的延长线于点，过点作于点，证即可； 在上截取，易证，为等腰直角三角形，则有； 同的辅助线可证，，则． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， ∴； （4）证明：由问题知， 又∵，， ∴​； （5）解：连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴，故正确， 综上可得：正确． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 题型五 正方形中的垂美四边形模型 1.定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形； 2.正方形是特殊垂美四边形，满足垂美四边形所有性质； 3.垂美四边形面积=对角线乘积的½，可用于计算。 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 2．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 3．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）①连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可； ②当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；当时，同理可得． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 正方形高频几何模型 题型一 正方形中的中点四边形基础判定与计算 1.正方形的中点四边形仍是正方形； 2.中点四边形边长为原正方形对角线的½； 3.用三角形中位线定理证明平行、相等，结合对角线垂直且相等判定正方形。 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 2．（24-25八年级下·山东威海·月考）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 3．（2026八年级下·全国·专题练习）解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 题型二 正方形十字模型 1.正方形内，端点在边上的两条线段，满足垂直⇔相等； 2.平移、延长后的十字线段仍成立，通过构造Rt△全等证明； 3.用ASA或SAS证全等，结合勾股定理计算线段长。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______．    3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 4．（2024·河南·一模）综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 题型三 正方形45°半角模型 1. 正方形内角或外角含45°半角，均用旋转90°构造全等三角形； 2. 内部半角满足，外部半角满足； 3. 用SAS证明全等，统一处理线段和差问题。 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 3．（25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 4．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 题型四 正方形对角互补模型 1.正方形内对角互补+邻边相等，必构造全等； 2.过顶点作垂线，得双直角全等三角形； 3.用AAS/ASA证明，转化线段与面积。 1．（25-26八年级下·上海青浦·月考）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 2．（25-26九年级上·江西南昌·月考）背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 3．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 4．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． (1)问题：求证：； (2)问题：求证：； (3)问题：求证：； (4)问题：求证：； (5)问题：下列结论：； ； ；．其中结论正确的有．（填序号） 题型五 正方形中的垂美四边形模型 1.定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形； 2.正方形是特殊垂美四边形，满足垂美四边形所有性质； 3.垂美四边形面积=对角线乘积的½，可用于计算。 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 3．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $