7.2复数的四则运算（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算 题型一 复数的四则运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)； (6). (7)； (8). 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算：； 题型二 根据运算结果求参数 1．设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 2．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 4．已知复数，i是虚数单位），是实数. (1)求b的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 题型三 共轭复数的应用 1．已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2． ，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 题型四 复数加、减法的几何意义及其应用 1．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 题型五 的几何意义 1．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 2．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 3．已知复数z满足，则的取值范围为 ． 题型六 复数的三角不等式 1．已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 2．若复数z满足，则|z|的最大值为 ． 3．已知，，则的取值范围为 . 题型七 解复数方程 1．在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 2．若是方程的一个虚数根，则（    ） A．0 B．-1 C． D．-1或 3．在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．或2 1．若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 3．已知，且，则复数 ． 4.已知复数满足（是虚数单位），则的值为 ． 5．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 6．已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 7．设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 8．已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 9．已知复数满足，虚数满足. (1)求； (2)若，求的值. 10．已知关于的二次方程． (1)当为何值时，这个方程有一个实根？ (2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 复数的四则运算 题型一 复数的四则运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)； (6). (7)； (8). 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） . （6） . （7）； （8）. 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 根据复数的乘法运算法则逐个计算即可得出（1）~（4）的结果. 【详解】（1）； （2） （3） （4） 3．计算：； 【答案】0；． 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算. 【详解】原式． 题型二 根据运算结果求参数 1．设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 2．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案. 【详解】，所以且，解得. 故选：B 3．已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果. 【详解】由， 可得，， 因此． 故选：B． 4．已知复数，i是虚数单位），是实数. (1)求b的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求； （2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围. 【详解】（1）∵，∴ ∵是实数，∴，解得. （2）由（1）知, ∴， ∵复数在复平面内对应的点在第二象限， ∴，解得， 故实数m的取值范围是. 题型三 共轭复数的应用 1．已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，求得，根据题意求得的值，即可求解. 【详解】 设，可得 因为，所以 解得，所以. 故选：A. 2． ，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，化简得到，解得答案. 【详解】设，则，故， 故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3．已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 【答案】A 【分析】 设，则，由，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设，则， 所以， 即，所以或， 即或， 所以复数的虚部为或. 故选：A. 题型四 复数加、减法的几何意义及其应用 1．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 3．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）. 【分析】(1)平行四边形ABCD中，有且与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，即对应的复数为－2＋2i (2)同(1)，由于，而与对应的复数分别是3＋2i与－2＋2i，即对应的复数为5 (3) 平行四边形ABCD中，根据向量的关系得到、，由向量数量积的坐标公式和几何意义有，解得cos∠APB＝进而得到sin∠APB＝，再由三角形面积公式求得面积为5 【详解】由题意，画出平行四边形如下图示      （1）在平行四边形ABCD中，有 ∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i 即对应的复数是－2＋2i （2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5 即对应的复数是5 （3）∵ ∴，而， 即 ∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝ 故 即的面积为 【点睛】本题考查了复数加减运算并结合向量在几何中的应用，向量数量积的几何意义和坐标公式，三角形的面积公式；综合运用复数和向量的关系及在几何中的应用，应用向量的数量积及三角形面积公式求值 题型五 的几何意义 1．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 2．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可. 【详解】解：因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 3．已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    题型六 复数的三角不等式 1．已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】 由复数减法的几何意义得即可得出答案. 【详解】 因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 2．若复数z满足，则|z|的最大值为 ． 【答案】14 【分析】利用复数的三角不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 所以|z|的最大值为14. 故答案为：14 3．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】 根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解. 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 题型七 解复数方程 1．在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】由，则方程的根为.故选：C 2．若是方程的一个虚数根，则（    ） A．0 B．-1 C． D．-1或 【答案】A 【分析】求出方程的虚数根，再代入计算即得. 【详解】方程化为：，依题意，或， 显然，又，即， 所以. 故选：A 3．在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】D 【分析】分解因式解方程,再求模长即可求解. 【详解】 由， 得. 因为，所以或， 当或，； 当或，. 故选：D 1．若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出、，再由复数的运算和共轭复数可得结果． 【分析】若是关于的实系数方程的一个复数根， 则另一个复数根为， 由韦达定理可得得，解得， 则，所以， 故有. 故选：A． 2．（多选）已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可； B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可； C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确； 复数，所以复数，故B正确； 设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径， 表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即. 而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 3．已知，且，则复数 ． 【答案】/ 【分析】设，由，可得，再结合可得，所以，进而求解. 【详解】设，则，即， 又， 所以，即，所以. 所以. 故答案为：. 4.已知复数满足（是虚数单位），则的值为 ． 【答案】 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】由复数的运算求解即可. 【详解】由于，所以， 所以， 故答案为： 5．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 【答案】16 【分析】由已知可得，，，再求出复数的模，从而可得的周长 【详解】因为，，， 所以，，. 所以的周长为. 故答案为：16 【点睛】此题考查复数的模的运算，属于基础题 6．已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义以及复数加减法的几何意义进行求解. 【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 7．设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 8．已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得 （2）由（1）得到，又， 则，即有， 所以. 9．已知复数满足，虚数满足. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解； （2）先化简，再根据可求解. 【详解】（1）易解得，所以； （2）由（1）可知，， 所以， 又，所以. 10．已知关于的二次方程． (1)当为何值时，这个方程有一个实根？ (2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 （1）设方程的一个实根为，带入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得； （2）设方程有纯虚数根（，且），代入原方程，再复数相等意义得出，此方程无解，即可判定不存在. 【详解】（1） 设是方程的一个实根，则 即 根据复数相等的意义知 解得：． 所以，当时，原方程有一实根． （2） 假定方程有纯虚数根（，且），代入原方程得 即 由复数相等意义知 但方程即无实数解，即实数不存在． 所以，对任何实数，原方程不可能有纯虚数根． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$