精品解析：江苏苏州大学附属中学2025-2026学年高一第二学期期中检测数学试卷

苏大附中2025-2026学年第二学期期中检测高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分150分） 试题范围：三角函数、平面向量及其应用、复数、立体几何8.1，8.2和8.3 命题人：姜建海 审卷人：王嘉 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （其中为虚数单位）的实部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -4 D. -16 3. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 7. 已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则（其中为虚数单位）的最大值为 D. 若，则 11. 梯形中，，，，与交于点，点是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z与都是纯虚数，则__________． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求实数的值； （2）求和夹角的余弦值. 16. 已知，，，. （1）求； （2）求的值. 17. 已知，，函数，其中. （1）若函数在区间有且仅有2个零点，求的取值范围； （2）若函数的最小正周期为. ①求函数在区间上的单调递增区间； ②解不等式. 18. 已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为． （1）若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离； （2）若，求作业协同区的最小值． 19. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的大小； （2）设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2025-2026学年第二学期期中检测高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分150分） 试题范围：三角函数、平面向量及其应用、复数、立体几何8.1，8.2和8.3 命题人：姜建海 审卷人：王嘉 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （其中为虚数单位）的实部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因，所以该复数的实部为． 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -4 D. -16 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求. 【详解】，. 故选：B. 3. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 4. 如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法和余弦定理计算可得. 【详解】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 所以. 故选：A. 6. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 7. 已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得且，根据已知投影向量可得，进而有，再由即可求得结果． 【详解】由，故为中点，又O是的外心， 所以，且， 由在上的投影向量，即， 所以， 所以． 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即， 所以， 因为，所以，所以， 所以等式两边同时除以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式计算可得A；借助二倍角正切公式计算可得B；逆用两角差的正切公式计算可得C；借助平方差公式与降幂公式计算可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D： ，故D错误. 10. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则（其中为虚数单位）的最大值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】设，其中，利用复数的运算法则和几何意义依次对各个选项分析即可. 【详解】设，其中， 对A：因为， 故，并不能推出， 比如满足该方程组，但、不为，故A错误； 对B：，， 由，则，又，， 故，故B正确； 对C：由复数的几何意义可知，表示在复平面上复数所代表的点在单位圆上， 表示在复平面上复数所代表的点到复数所代表的点的距离， 由复数所代表的点到原点距离为， 故复数所代表的点到复数所代表的点的距离的最大值为， 即的最大值为，故C正确； 对D：由，即， 故，化简得， 而，并不能得到， 比如取，满足前提条件，但，故D错误. 11. 梯形中，，，，与交于点，点是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由题意可得梯形为等腰梯形，则可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，结合相似性质可得，即可得；对B：借助平面向量线性运算法则计算即可得；对C：设，利用平面向量基本定理结合模长与数量积关系计算即可得；对D：利用平面向量基本定理计算可得，再利用基本不等式中“1”的活用即可得解. 【详解】对A：由题意可得梯形为等腰梯形，则， 由，可得与相似，由，则， 由， 则 ，故，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：设，，则 ， 由，则， 则 ，故C正确； 对D：由C得， 则 ， 则，，有， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z与都是纯虚数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设复数，利用复数乘方，结合纯虚数的意义求解即得. 【详解】设复数，则， 由是纯虚数，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及辅助角公式即可求解；由平面向量的线性运算用表示出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】， 由正弦定理得，， 因为， 所以， 整理得，， 因为，所以， 所以， 所以，即； 因为线段为的中线，所以， 又，， 所以． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求实数的值； （2）求和夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 ，解得， 由，则，解得； 【小问2详解】 由，则，， ，则，， 故. 16. 已知，，，. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 则， 则 ； 【小问2详解】 由，， 则， 则， ， 又，故. 17. 已知，，函数，其中. （1）若函数在区间有且仅有2个零点，求的取值范围； （2）若函数的最小正周期为. ①求函数在区间上的单调递增区间； ②解不等式. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）借助数量积坐标公式及三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用三角函数性质计算即可得的取值范围； （2）①利用函数周期可计算出的值，再求出函数单调递增区间后即可得其在上的单调递增区间；②结合正弦型函数图象解出不等式即可得. 【小问1详解】 ， 当时，， 由函数在区间有且仅有2个零点， 则有，解得； 【小问2详解】 ①由函数的最小正周期为，则，解得， 故， 令， 解得， 即的单调递增区间为， 则函数在区间上的单调递增区间为、； ②令，则， 则， 解得， 即不等式的解集为. 18. 已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为． （1）若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离； （2）若，求作业协同区的最小值． 【答案】（1）2 （2）当时，取到最小值 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及三角形面积公式得出的值，即可求解巡检车与检修点的距离； （2）利用正弦定理及三角形面积公式得出，再结合三角恒等变换和正弦函数的性质即可求解最小值． 【小问1详解】 因为，则，， 若，则， 在中，由正弦定理， 可得， 在中，由正弦定理， 可得， 则， 由已知得，得，则或， 所以或， 又因为，解得，所以， 所以，即为等边三角形，所以． 【小问2详解】 与（1）同理可得，， 在中，由正弦定理， 可得， 由（1）得，， 则， ， 因为，解得，则， 则， 所以当时，取到最小值． 19. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的大小； （2）设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解； （2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解. 【小问1详解】 ，则， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 故， 即，又，则， 故，又，则； 【小问2详解】 ①由正弦定理，可得， 则 ， 由，则，故， 则，故； ②由，则， 即，则， 即，由（2）①知， 故，则，故， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $