江苏苏州市昆山震川高级中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷2

江苏苏州震川中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷2一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.复数的虚部是(    ) A. 4 B. 3 C. D. 2.在中，角A，B，C的对边分别为若，，，则     A. B. C. D. 或 3.的值是     A. B. 0 C. 1 D. 4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，向量，若，则角C的大小为    A. B. C. D. 5.在中，且D为AC的中点，，BD与AE交于点若，则实数的值为    A. B. C. D. 6.若M为所在平面内一点，且满足，则为    A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7.已知向量与的夹角为，且，则     A. B. C. D. 8.如图，在中，已知，，，E，F分别是AB，AC边上的点，且，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为     A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是     A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 10.下列关于平面向量的说法中正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则，可以作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 11.已知O为坐标原点，点，，，，则      A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为        . 13.函数的最小值为          . 14.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，，，求边c和的面积. 16.本小题15分 已知复数 若复数z是实数，求实数m的值； 若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 在中，，，，D为BC的三等分点靠近C点 求的值； 若点P满足，求的最小值，并求此时的 18.本小题17分 已知， 求的值； 若，，求的值． 19.本小题17分 在中，角对应的边分别为，已知向量，且 求 著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式： ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，M是内一点，过M作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：复数的虚部是 故选： 根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解． 本题主要考查虚部的定义，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：由正弦定理可得， 即， 因为， 所以B为锐角，则 3.【答案】B  【解析】【分析】根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了向量平行的坐标运算和余弦定理，属于基础题． 先根据向量平行得到，再根据余弦定理，即可求出角 【解答】 解：，，， ， 即， 根据余弦定理，， 的三个内角A，B，C，则， 故选 5.【答案】C  【解析】【分析】由向量共线定理，结合D为AC的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值， 【详解】由图象可得，B，F，D三点共线，且D为AC的中点， 故存在实数k使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得 故选： 6.【答案】A  【解析】解：由， 得， 它的几何意义：以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线相等， 所以，是直角三角形. 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，且，可得， 则， 所以 故选： 8.【答案】B  【解析】【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合且，可得关于x的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】解：在中，，则，分别是边的点，线段的中点分别为 ，， ， 两边平方得： ， ， ， 又， 当时，最小值为，即的最小值为 故选： 【点睛】运用平面向量线性运算法则，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于x的二次函数，再求最值. 9.【答案】AD  【解析】【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 10.【答案】BD  【解析】【分析】举反例即可判断A；由基底的概念即可判断B；根据向量夹角为锐角列出不等式即可判断C；根据向量加减法运算法则即可判断 【详解】对于A，若，则与不一定平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不共线， 所以，可以作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C，因为与的夹角为锐角，所以， 又与不共线，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为 ， 所以，故D正确． 11.【答案】AC  【解析】【分析】先根据向量模长公式和数量积公式分别计算各选项，对于恒成立问题利用三角恒等变换证明，对于不恒成立问题通过取特殊值举反例排除即可. 【详解】由题可知，，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，， 当时，，故B错误； 因为，，所以，故C正确； 因为，， 取，，则，，所以，故D错误． 故选： 12.【答案】  【解析】解：非零向量，满足， 所以在方向上的投影向量为 故答案为： 根据投影向量公式计算即可． 本题主要考查了向量投影向量的求解，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为， 所以， 设，则， 则函数化为：， 因为对称轴， 所以当时， 函数取得最小值： 14.【答案】  【解析】【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可得：，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得   ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为 15.【答案】解：由余弦定理得， ，即 解得或 当时，为等腰三角形，，BC边上高， 当时，，是直角三角形， 综上，，或，  【解析】【分析】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，及三角形面积公式，属于中档题. 直接利用正弦定理求解即可； 利用，判断三角形形状，进而求面积； 16.【答案】或    【解析】解：复数为实数， 则，解得或； 复数表示的点在第四象限， 则，解得或 则实数m的取值范围为 由虚部为0求解； 由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解． 本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 17.【答案】解：因为 D 为 BC 的三等分点靠近 C 点，所以  ， 所以   ， 所以      . 因为  ，所以  ， 因为   ， 所以       ， 所以当  时，  取得最小值  .   【解析】本题考查了向量的线性运算及向量的数量积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 将  化为  和  表示，利用  和  的长度和夹角计算可得结果； 用  、  表示  ，求出  关于  的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 18.【答案】解：因为，， 又，所以， 所以 解：因为， ， 又因为，所以， 由知，， 所以 因为，，则，所以   【解析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； 利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 19.【答案】解：由向量， 因为，可得， 由正弦定理得，即， 所以，由，得 ①证明：设，由，得， 即，两边平方得； ②， 又由， 所以， 根据三维分式型柯西不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由余弦定理，得， 所以，即， 则， 令，则 由，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，则，令 令，其图象的对称轴方程为，则y在上单调递减， 当，即，即时，， 所以   【解析】由，结合正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解； ①设，得到，即，即可得证； ②由，结合的面积公式，得到，根据三维分式型柯西不等式，得到，再由余弦定理，得到，得到，令，得到，结合，令得到，结合函数的单调性，即可求解. 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $