第18章矩形、菱形、正方形（单元复习课件）数学新教材华东师大版八年级下册

单元复习课件 第18章 矩形、菱形、正方形 华师版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，能准确区分三者与平行四边形的从属关系，熟练运用性质进行边长、角度、对角线及面积的计算。 3.提升几何直观、逻辑推理及综合应用能力，能结合勾股定理、全等三角形等知识解决中考高频题型，培养分类讨论、转化化归的数学思想，规避常见易错点。 2.理解矩形、菱形、正方形之间的内在联系（一般到特殊），掌握折叠、动点等几何变换中的图形性质转化，能规范完成几何证明的逻辑推导。 单元学习目标 一组邻边相等 且有一个角是直角 一个角是直角 对角线相等 一组邻边相等 一个角是直角 两组对边分别平行 一组邻边相等 对角线互相 垂直 三个角是直角 四条边都相等 四 边 形 平行四 边 形 正方形 矩形 菱形 单元知识图谱 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 四边形 单元知识图谱 考点一 矩形的性质与判定 1. 矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 两个关键条件： ① 是平行四边形； ② 有一个角是直角 提示 缺一不可 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 考点串讲 考点一 矩形的性质与判定 2.矩形的性质（平行四边形性质+自身特殊性质） 边：与平行四边形一致，对边平行且相等 角：自身特殊性质——四个角都是直角 对角线：自身特殊性质——对角线相等且互相平分 对称性： 既是中心对称图形（对称中心为对角线交点O）， 也是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线） 过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分。 AB∥CD，AB=CD； AD∥BC，AD=BC ∠A=∠B=∠C=∠D=90° AC=BD， OA=OC，OB=OD 图示 考点串讲 考点一 矩形的性质与判定 3. 矩形的判定方法 定义法（最基础）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 步骤：先证明是平行四边形，再证明一个角为90° 对角线法（最常用）：对角线相等的平行四边形是矩形。 步骤：先证明是平行四边形，再证明对角线相等； 注意：对角线相等的四边形不是矩形， 直角法：有三个角是直角的四边形是矩形。 （无需先证明平行四边形） 考点串讲 考点二 菱形的性质与判定 1.菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 两个关键条件： ① 是平行四边形；② 有一组邻边相等 A B C D O   性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 缺一不可 2.菱形的性质： 考点串讲 考点二 菱形的性质与判定 2.菱形性质说明（平行四边形性质+自身特殊性质） 边：自身特殊性质——四条边都相等 角：与平行四边形一致，对角相等、邻角互补 对角线：自身特殊性质——互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 区别于其他平行四边形的关键 对称性： 既是中心对称图形（对称中心为对角线交点O）， 也是轴对称图形，有2条对称轴（对角线所在直线）。 考点串讲 考点二 菱形的性质与判定 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ①菱形的面积=底×高， 即： S=a•h ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半， 即： S= m•n 补充 4）菱形的面积公式： 适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算 考点串讲 考点二 菱形的性质与判定 3.判定方法 定义法（最基础）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 步骤：先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等 对角线法（最常用）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 步骤：先证明是平行四边形，再证明对角线互相垂直； 注意：单独“对角线互相垂直的四边形”不是菱形， 如筝形对角线互相垂直，但不是菱形 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 （无需先证明平行四边形） 考点串讲 12 考点三 正方形的性质与判定 1.正方形定义：正方形是最特殊的平行四边形， 核心：同时具备矩形（角特殊）和菱形（边、对角线特殊）的所有性质。 A B C D O ① 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ② 有一组邻边相等的矩形是正方形； ③ 有一个角是直角的菱形是正方形。 考点串讲 考点三 正方形的性质与判定 2.正方形性质（矩形性质+菱形性质） 边：四条边都相等（菱形性质）， 对边平行（平行四边形性质）。 角：四个角都是直角（矩形性质）， 对角相等、邻角互补（平行四边形性质）。 对角线：相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 （矩形对角线相等+菱形对角线垂直平分、平分对角）， 对称性： 既是中心对称图形（对称中心为对角线交点O）， 也是轴对称图形，有4条对称轴 （过对边中点的直线、对角线所在直线） A B C D O 考点串讲 4）正方形的面积公式 ① 边长的平方（S=a²）； ② 对角线乘积的一半（S=对角线长平方的一半）， 两种公式可灵活选用，中考常结合勾股定理（对角线=边长×）求解。 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 考点三 正方形的性质与判定 A B C D O 补充 考点串讲 考点三 正方形的性质与判定 3.判定方法 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 步骤：先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等+一个角是直角 矩形推导法：有一组邻边相等的矩形是正方形。 步骤：先证明是矩形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂直 菱形推导法：有一个角是直角的菱形是正方形。 步骤：先证明是菱形，再证明一个角是直角或对角线相等 对角线法：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 步骤：先证明是平行四边形，再证明对角线相等+互相垂直； 或直接证明：对角线相等、互相垂直、互相平分的四边形是正方形 考点串讲 考点四 三者与平行四边形的性质关系 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 考点串讲 17 考点四 三者与平行四边形的判定关系 任意 四边形 平行 四边形 正方形 矩形 菱形 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角且一组邻边相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 考点串讲 考点五 中考高频综合考点 本章知识点的综合应用，核心是“区分性质与判定、灵活转化图形关系”，常结合以下知识点考查： 图形转化： 矩形、菱形、正方形与平行四边形的转化，正方形与矩形、菱形的转化，解题时需明确“已知图形→可运用的性质”“求证图形→需满足的判定条件”。 与三角形结合： 对角线将矩形、菱形、正方形分成全等三角形（如矩形对角线分成两个全等的直角三角形，菱形对角线分成四个全等的直角三角形，正方形对角线分成四个全等的等腰直角三角形），常结合勾股定理求边长、对角线长、面积。 折叠问题： 矩形、正方形的折叠是中考高频题型，折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，解题关键是利用折叠性质找到相等关系，结合勾股定理列方程求解。 考点串讲 考点五 中考高频综合考点 易错点提醒： ① 混淆性质与判定（性质是“已知图形→推结论”，判定是“已知条件→推图形”）； ② 忽略平行四边形的前提，直接用“对角线相等”“对角线垂直”判定矩形、菱形； ③ 菱形面积公式记错，忘记“对角线乘积的一半”； ④ 正方形的对称轴数量记错（4条，不是2条）。 多图形综合： 矩形、菱形、正方形与三角形、平行四边形的组合证明、计算，核心是提炼图形中的特殊条件（直角、相等的边、垂直的对角线），灵活运用性质和判定。动点问题： 分析动点运动过程中图形形状变化，结合性质求最值或特殊位置； 中点四边形： 任意四边形中点连线为平行四边形； 对角线相等→矩形；对角线垂直→菱形； 对角线垂直且相等→正方形； 考点串讲 例1.（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． 证明：． （1）证明：∵四边形是菱形， ∴ ， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点F为BC的中点， ∴AF⊥BC， 题型一、图形性质的运用 ∵AF⊥BC，AC⊥BD， ∴CG⊥AB， ∴∠AGE=∠BGE=90° ∵△ABC是等边三角形， ∴AG=BG， 在△BEG和△AEG中， ∴△BEG≌△AEG(SAS)． 题型剖析 题型一、图形性质的运用 例2．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型剖析 例3.（2022·四川达州·中考真题）如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是 ． 解：在菱形的两条对角线相交于点 若，， ，， 在中利用勾股定理得到 ， 菱形的周长是， 题型一、图形的性质运用 题型剖析 例4（2024·广东·中考真题）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 解：连接 ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴， ， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴，∴， ∴， ∴， ∴， 题型一、图形性质的运用 题型剖析 例5（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵是边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 题型二、图形的判定 题型剖析 例6（2023·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ （1）四边形是平行四边形．理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 题型二、图形的判定 题型剖析 例7.（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明为菱形． ① （2）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴为菱形． ③ （2）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴为菱形． 题型二、图形的判定 题型剖析 例8（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　） A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 C 解：由题知，第1个正方形的边长， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长， 根据勾股定理得，第5个正方形的边长， 根据勾股定理得，第6个正方形的边长． 题型三、图形中的规律探究 题型剖析 例9（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由 （1）证明：∵， ∴，∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 题型四、图形的性质与判定综合 题型剖析 例9（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由 题型四、图形的性质与判定综合 （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， 题型剖析 题型四、图形的性质与判定综合 例10（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点． (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． （1）解：在正方形中， ∴，∴∠DAG=∠EGH． （2）AH与EF垂直，理由如下． 连接GC交EF于点O． ∵BD为正方形ABCD的对角线 ∴∠ADG=∠CDG=45°， 又∵DG=DG,AD=CD， ∴△ADG≌△CDG， ∴∠DAG=∠DCG． 在正方形ABCD中，∠ECF=90°， 又∵GE⊥CD,GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形，∴OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE， ∴∠DAG=∠OEC． 又∵∠DAG=∠EGH， ∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH =∠GEC=90°， ∴∠GHE=90°， ∴AH⊥EF． O 题型剖析 例11（2025·河北秦皇岛·一模）小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（    ） A． B． C． D． C 解：由题意可知，， ∴四边形是菱形（图1）， 当时， 四边形是正方形（图2）， ∴图2中，， ∴在中，， ∴， 在图1中，连接，交于，如图所示： ∵，四边形是菱形， ∴ ， ∴， ， ∴； 题型四、图形中的计算 题型剖析 例12.（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． C 解：∵正方形的边长为4， 为边的中点， ∴， ，， 当P与A，B重合时，最长， 此时， 运动路程为0或4， 结合函数图象可得， 题型四、图形中的计算 题型剖析 例13.（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ． 解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边，， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点，是的中位线， ，同理， ，， ，四边形是平行四边形， ，，四边形是矩形， 在中，， ，的最小值为，的最小值为． ． 题型二、图形中的计算 题型剖析 例14.（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点分别在反比例函数 与的图象上，则的值为 ． 解：由题意设，如图，过作轴于，过作轴于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 题型四、图形中的计算 题型剖析 ∴∠CMF=∠CNF=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCM=∠ABC=90°，AB=CD=2， ∴四边形CMFN是矩形， ∵CF平分∠BCD， ∴FM=FN，∠DCF=∠BCF=45°， ∴四边形CMFN是正方形， 由折叠性质可知：AB=BF=2，∠ABE=FBE=30°， ∴MF=1， ∴CN=NF=MF=CM=1，DN=CD-CN=1， 在Rt△DNF中，由勾股定理得 例15（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ． 解：如图，过作于点，于点， ∟ ∟ 题型五、图形中的翻折与旋转 题型剖析 例16（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ） A． B． C． D． A 解：正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长：， 题型五、图形中的翻折与旋转 题型剖析 例17（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径，交于点G，半径，交于点H，则图中阴影面积等于（    ） A． B． C．D． 解：∵两个直角扇形的半径长均为， ∴两个扇形面积和半圆， 过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N， 连接EC，则四边形CMEN是矩形， ∵C是的中点， ∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB， ∴CM=CN，∴四边形CMEN是正方形， ∴∠CMG=∠MCN=∠CNH， ∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90° ∴∠MCG=∠NCH，∴△CMG≌△CNH（ASA）， M ∟ N ∟ ∴白色部分的面积等于对角线为的正方形CMEN的面积， ∴S空白部分=， ∴S阴影部分=， 题型五、图形中的翻折与旋转 题型剖析 复习题 A 组 1. 在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. （1）如果∠ABO + ∠ADO = 90°，那么 □ ABCD 一定是_____形； （2）如果∠AOB = ∠AOD，那么 □ ABCD 一定是____形； （3）如果 AB = BC， AC = BD，那么 □ ABCD 一定是______形. 矩 菱 正方 针对训练 2. 如图，在矩形 ABCD 中，相邻两边 AB、AD 的长分别为 15 cm 和 25 cm，∠BAD 的平分线与边 BC 相交于点 E . 求 BE 和 CE 的长. 解: 在矩形 ABCD 中，AD∥BC， ∴ ∠DAE ＝∠AEB，BC ＝AD ＝25 cm. ∵ AE 是∠BAD 的平分线， ∴ ∠BAE ＝∠DAE，∴ ∠BAE ＝∠AEB， ∴ BE ＝AB ＝15 cm， ∴ CE ＝BC－BE ＝ 25－15 ＝10 (cm). A B D C E 针对训练 3. 已知正方形纸片 ABCD 的一条对角线 AC 的长为 4 cm， 求该正方形的边长和面积.（长度精确到 0.1 cm） 解:设正方形的边长为 x cm，则 x2 + x2 ＝ 42， ∴ x ＝ ≈ 2.8， ∴ S正方形 ＝x2 ＝ 8 (cm2). 即正方形的边长约为 2.8 cm，面积为 8 cm2 . 针对训练 4. 已知菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度数之比 为 1 ∶ 2，求较短的对角线长. 解:如图，在菱形 ABCD 中，AB ＝BC，AD∥BC. ∴ ∠BAD + ∠B ＝180°. 又∵ ∠B ∶ ∠BAD ＝1 ∶ 2， ∴ ∠B ＝ 60°，∠BAD ＝ 120°. 连结 AC，则△ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝AB ＝ ＝5 (cm)， 即菱形较短的对角线长为 5 cm. 针对训练 5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AB = CD. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明:如图，连结 AC. 在 Rt△ABC 和 Rt△CDA中， ∵ AC ＝CA，AB ＝ CD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△CDA， ∴ BC ＝ DA， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 又∵ ∠B ＝ 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). A B D C 针对训练 6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为边 AD 的中点，菱形 ABCD 的周长为 28，求 OH 的长. 解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝BC ＝CD ＝AD，AC ⊥ BD. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 28， ∴ AD ＝ ×28 ＝ 7. ∵ H 为边 AD 的中点， ∴ OH 为 Rt△AOD 斜边上的中线， ∴ OH ＝ AD ＝ . A C B D O H 针对训练 7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，四边形 ABDE、 AGFC 都是正方形，求证：BG = EC. 证明: ∵ 四边形 ABDE、AGFC 都是正方形， ∴ AB ＝AE，AG ＝AC， ∠BAE ＝∠CAG ＝ 90°， ∴ ∠CAE ＝ 90°－∠BAC， ∠GAB ＝ 90°－∠BAC， ∴ ∠CAE ＝∠GAB， ∴ △ABG≌△AEC， ∴ BG ＝ EC. A B E D G C F 针对训练 8. 如图，在 □ ABCD 中，∠DAB = 60°，AB = 2AD，点 E、 F 分别是 AB、CD 的中点. 求证：四边形 DEBF 是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB ＝ CD. ∵ 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， ∴ AE ＝BE ＝ AB，DF ＝ CD，∴ BE ＝ DF . 又∵ BE∥DF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形. ∵ AB ＝ 2AD，∴ AD ＝ AE. 又∵ ∠DAB ＝60°，∴ △ADE 是等边三角形，∴ DE ＝ AE. ∴ DE ＝BE， ∴ 四边形 DEBF 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). A B C D F E 针对训练 B 组 9. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点，以 BD 为边作等边三角形 BDE，连结点 A、E，求证：四边形 AEBF 是矩形. A E B C D F 证明:在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点， ∴ AF 和 BD 是等边三角形 ABC 的两条高，∠ABC ＝ 60°， ∴ AF ＝ BD，且 AF ⊥ BC，BD平分∠ABC，∠CBD ＝ 30°. 又∵ △BDE 是等边三角形， ∴ BE ＝ BD，∠DBE ＝ 60°， ∴ BE ＝ AF， ∠EBF ＝∠DBF + ∠CBD ＝ 60°+ 30° ＝ 90°， ∴ EB ⊥ BC. 又∵ AF ⊥ BC，∴ BE∥AF， ∴ 四边形 AEBF 是平行四边形. 又∵ ∠EBF ＝ 90°， ∴ 四边形 AEBF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 针对训练 10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为边 AB 的中点，AE//CD，CE//AB，试判断四边形 ADCE 的形状， 并证明你的结论. A C B E D 解:四边形 ADCE 是菱形. 证明如下: ∵ AE∥CD，CE∥AB， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°， 点 D 为边 AB 的中点， ∴ CD ＝ AB，AD ＝ BD ＝ AB . ∴ AD ＝ CD. ∴ 四边形 ADCE 是菱形(有一组邻边相等的 平行四边形是菱形). 针对训练 11. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE//CA，AE//BD. （1）求证：四边形 AODE 是菱形； （2）若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改为“菱形 ABCD”， 其余条件不变，则四边形 AODE 是怎样的四边形？请给出证明. E A B C D O （1）证明:∵ DE∥CA，AE∥BD， ∴ 四边形 AODE 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OA ＝OD， ∴ 四边形 AODE 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). （2）解: 四边形 AODE 是矩形. 证明如下: ∵ DE∥CA，AE∥BD， ∴ 四边形 AODE 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD，∴ ∠AOD ＝ 90°， ∴ 四边形 AODE 是矩形 (有一个角是直角的平行四边形是矩形). 针对训练 12. 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点 D，DE ⊥ BC 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F. （1）求证：四边形 CFDE 是矩形； （2）求证：四边形 CFDE 是菱形. A B C E F D 证明:（1）∵ DE ⊥ BC，DF ⊥ AC， ∴ ∠DEC ＝∠DFC ＝ 90°. 又∵ ∠C ＝ 90°，∴ 四边形 CFDE 是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形). （2）如图，过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G. 由（1）知四边形 CFDE 是矩形， ∴ CF ＝ DE，DF ＝ CE. ∵ AD 平分∠CAB， DF ⊥ AC，DG ⊥ AB， ∴ DF ＝ DG. 同理，DE ＝ DG，∴ DE ＝ DF， ∴ CF ＝DE ＝DF ＝ CE， ∴ 四边形 CFDE 是菱形 (四条边都相等的四边形是菱形). G ∟ 针对训练 50 13. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是另一个正方形 A'B'C'O 的一个顶点，如果这两个正方形的边长相等，那么正方形 A'B'C'O 绕点 O 无论怎样旋转，这两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，想一想，这是为什么？ B A D C A′ B′ C′ O 解: 如图，设 A′O、C′O 分别交 AB、BC 于点 E、F . ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ OA ＝ OB，∠OAE ＝∠OBF ＝ 45°，∠AOB ＝ 90°. 又∵ ∠A′OC′ ＝ 90°， ∴ ∠AOE + ∠BOE ＝ ∠BOF + ∠BOE ＝ 90°， ∴ ∠AOE ＝∠BOF，∴ △AOE ≌ △BOF， ∴ S△AOE ＝S△BOF . ∴ S四边形 OEBF ＝S△BOE + S△BOF ＝ S△BOE + S△AOE ＝S△AOB ＝ S正方形ABCD . ∵ 正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′O 的边长相等， ∴ S正方形ABCD ＝S正方形A′B′C′O ， ∴ S四边形OEBF ＝ S正方形ABCD ＝ S正方形A′B′C′O ， ∴ 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一. 针对训练 C 组 15. 如图，在△ABC 中，边 BC 上是否存在点 P，过点 P 分别 作 AB、AC 的平行线，交 AC 和 AB 于点 D、E，使四边形 ADPE 为菱形？请说明理由. 解: 存在.如图，作∠BAC 的平分线交 BC 于点 P， 过点 P 作 PD∥AB，PE∥AC， 分别交 AC、AB 于点 D、E， 则四边形 ADPE 为菱形. 理由: ∵ PD∥AB，PE∥AC， ∴ 四边形 ADPE 为平行四边形，∠1＝∠2. ∵ AP 平分∠BAC， ∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3， ∴ PD ＝ AD， ∴ 四边形 ADPE 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). P D 1 2 3 A B C E 针对训练 16. 如图，根据图形解答下列问题： （1）以 △ABC 的三边为边分别作等边三角形 ACD、等边三角形 ABE 和等边三角形 BCF，判断四边形 ADFE 的形状. 解:（1）四边形 ADFE 为平行四边形. 理由如下: ∵ △BCF 和△ABE 都是等边三角形， ∴ BC ＝ BF，BA ＝ BE，∠CBF ＝∠ABE ＝ 60°. ∴ ∠ABC ＝ 60°－∠FBA，∠EBF ＝ 60°－∠FBA， ∴ ∠ABC ＝∠EBF， ∴ △ABC≌△EBF，∴ AC ＝EF. 同理得△ABC≌△DFC，∴ AB ＝ DF. ∵ AC ＝AD，AB ＝AE，∴ EF ＝AD，DF ＝AE. ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形. A B C D E F 针对训练 （2）不一定存在□ ADFE. 理由如下: 当∠BAC ≠ 60°时， 由（1）知，四边形 ADFE 是平行四边形， 此时存在 □ ADFE. A B C D E F （2）在小题（1）中，是否一定存在 □ ADFE？若存在，写出 △ABC 应满足的条件；若不一定存在，请说明理由· （3）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是矩形？ （4）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是菱形？ （5）△ABC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是正方形？ （3）当∠BAC ＝150°时，四边形 ADFE 是矩形. （4）当AB ＝AC ≠ BC 时，四边形 ADFE 是菱形. （5）当∠BAC ＝150°，AB ＝AC 时， 四边形 ADFE 是正方形. 针对训练 17. 如图，已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG，连结 DE， 以 DE 为边作正方形 EDHI. 试用该图形证明勾股定理： CD² + CE² = DE².（提示：运用面积割补法） A B C D H I E F G 证明: 如图，过点 I 作 IY ⊥ BC 于点 Y， 设 HI 与 BC 相交于点 N， DE 与 GF 相交于点 M. ∵ AB ⊥ BC，IY ⊥ BC， ∴ AB∥IY，∴ ∠1＝∠2. ∵ ∠1 + ∠4 ＝90°，∠2 + ∠3＝90°， ∴ ∠3＝∠4. 又∵ ∠A ＝∠IYE ＝90°，DH ＝EI， ∴ △ADH ≌ △YEI， ∴ S△ADH ＝ S△YEI ，AH ＝ YI. 针对训练 ∵ ∠9 +∠11＝90°，∠10 + ∠11＝90°， ∴ ∠9 ＝ ∠10. 又∵ ∠A ＝∠DCE ＝90°，DA ＝ DC， ∴ △ADH ≌ △CDE，∴ AH ＝ CE. ∵ CG ＝CE，∴ AH ＝ CG. ∵ IY ＝AH，CE ＝EF，∴ IY ＝ EF. ∵ HI∥DE，∴ ∠5＝∠7. ∵ ∠5 + ∠1＝90°，∠7 + ∠8＝90°， ∴ ∠1＝∠8. ∵ ∠IYN ＝∠F ＝90°， ∴ △IYN≌△EFM，∴ S△IYN ＝S△EFM . 针对训练 ∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠8，∴ ∠2＝∠8. ∵ EF∥CD，∴ ∠8＝∠9，∴ ∠2＝∠9. ∵ AB ＝CD，AH ＝CG，∴ BH ＝GD. 又∵ ∠B ＝∠DGM ＝90°， ∴ △BHN ≌ △GDM， ∴ S△BHN ＝S△GDM ， ∴ S正方形ABCD + S正方形CEFG ＝S正方形EDHI ， ∴ CD2 + CE2 ＝DE2 . 针对训练 矩形：角特殊化的平行四边形， 性质四角均为直角、对角线相等，兼具中心对称与轴对称性（2条对称轴）； 判定方法包括：平行四边形中一个角为直角或对角线相等，或四边形中三个角为直角。 2. 菱形：边特殊化的平行四边形， 性质为四边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，兼具中心对称与轴对称性（2条对称轴）； 判定方法包括：平行四边形中一组邻边相等或对角线垂直，或四边形四边相等。 3. 正方形：特殊的矩形与菱形，兼具两者所有性质，有4条对称轴； 判定核心为“先定性再特殊化”，可先证矩形加邻边相等（或对角线垂直），或先证菱形加直角（或对角线相等）。 4. 应用技巧： 矩形面积=长×宽、菱形面积=底×高（或对角线乘积的一半）、正方形面积=边长的平方； 常用辅助线为连接对角线，将图形转化为直角三角形、全等三角形求解。 （一）核心知识点梳理 课堂总结 （二）思想与方法 类比思想： 以平行四边形为基础，对比三种特殊平行四边形的异同，通过边、角、对角线、对称性四个维度，实现从一般到特殊的知识迁移，避免知识点混淆。 2. 分类讨论与转化思想： 判定图形、分析对角线问题时需分类讨论；解题时连接对角线，将特殊平行四边形转化为直角三角形、全等三角形，简化复杂问题，适用于折叠、动点题型。 课堂总结 （三）易错点 1. 性质与判定混淆：误将图形性质作为判定方法，如用矩形“对角线相等”判定任意四边形为矩形。 2. 忽略判定前提：遗漏“平行四边形”这一关键条件，错误认为“对角线相等/垂直的四边形是矩形/菱形”。 3. 综合应用不灵活：已知图形类型后，无法灵活调用对应性质，如正方形问题中未结合矩形与菱形的性质解题。 课堂总结 感谢聆听! $