专题04 一次函数与实际问题五大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题04 一次函数与实际问题 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 1 题型二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 5 题型三 梯度计价问题 9 题型四 其他问题（一次函数的实际应用） 14 题型五 一次函数与几何综合 18 B综合攻坚 能力跃升 23 题型一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【规范解答】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 【答案】(1)，； (2)当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 【思路引导】（1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出函数表达式，即可解答； （2）分三种情况进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵设李老师带领名“三好学生”去旅游， ∴由题意得：， ， 即，； （2）解：当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， ∴当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【思路引导】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【规范解答】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 题型二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【规范解答】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 6．（2022·广东深圳·二模）冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个 (2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可； 对于（2），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少． 【规范解答】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得：， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个； （2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元， 由题意可得：． ∵， 随的增大而增大． 网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 7．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】(1) 每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2) 购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【思路引导】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元． (3) 【思路引导】本题主要考查了列一次函数，一元一次不等式组的应用，一次函数图象的性质， 对于（1），先分别表示出甲，乙仓库运往A，B两地物资的吨数，再分别根据运费的单价得出总费用的关系式，列不等式组得出自变量取值范围； 对于（2），根据一次函数图象的性质，并结合自变量取值范围，当时，的值最小，进而求出最小值即可； 对于（3），先根据题意得出含有a的一次函数关系式，再分三种情况根据总费用最低等于23100得出方程，并求出符合题意的答案． 【规范解答】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 题型三 梯度计价问题 9．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可. 【规范解答】解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故选：C． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【规范解答】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 12．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 【答案】(1)一次函数，图象见解析 (2) (3)当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜 【思路引导】题目主要考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意画图判断即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意先得出甲厂的函数解析式，然后再分情况分析，结合图象即可求解． 【规范解答】（1）解：根据图象得：乙印刷厂关于的函数为一次函数； （2）根据图象观察乙印刷厂提出的费用方案，其函数图象过，． 设，分别将，代入得： ，解得， ∴； （3）根据题意，当在甲厂印刷时，份， ∴当时，； ∴， 解得：， ∴当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜； 当时，； ∴， 解得：， 结合图象得：当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 综上可得：时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 题型四 其他问题（一次函数的实际应用） 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为x． (1)观察图形，填写下表： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … (2)上表的两个变量中，自变量是_______； (3)请写出y与x之间的函数解析式； (4)如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 【答案】(1)， (2)链条节数x (3) (4)这根链条安装到自行车上后，总长度为 【思路引导】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出y与x之间的函数解析式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【规范解答】（1）解：每增加一节链条长度增加：， ， ， 填表如下： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … （2）解：上表的两个变量中，自变量是链条节数x； （3）解：根据题意得：y与x之间的函数解析式为： ． （4）解：， 答：这根链条安装到自行车上后，总长度为． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）某超市购进了一些食品，出售时要在进价的基础上加一定的利润．若其数量（单位：）与售价（单位：元）之间的关系如下表，则关于的函数解析式为____________． 数量 1 2 3 4 5 … 售价/元 … 【答案】 【思路引导】先观察表格中售价与数量的对应关系，发现售价由两部分组成，可分别提取规律，再合并得到函数解析式． 【规范解答】解：由表格可知： 当时，； 当时，； 当时，； …… 可以看出，售价可拆分为两部分： 第一部分：； 第二部分：； 因此，． ∴关于的函数解析式为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了知识点根据实际问题列一次函数解析式，解题关键是从表格数据中提取数量与售价的线性关系，通过拆分与合并得到函数表达式． 15．（2025·陕西西安·一模）2026年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示： 产品数量x（件） … 10 12 16 20 … 生产成本y（元） … 450 460 480 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？ 【答案】(1)（为正整数） (2)当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为1200元 【思路引导】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数值求自变量的值，即可作答． 【规范解答】（1）解：设， 代入，得， ∴， ∴（为正整数）； （2）解：将，代入，得， 解得， 那么总售价为（元）， 答：所生产的产品总售价为1200元． 16．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 【答案】(1)银卡消费：，普通票消费： (2)，，， (3)当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算 【思路引导】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别求解即可； （3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为， 选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式； （2）解：由题意可得： 当，时，得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，得：， ∴； （3）解：如图所示：由，，的坐标可得： 当时，普通票消费更划算； 当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当时，银卡消费更划算； 当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当时，金卡消费更划算． 题型五 一次函数与几何综合 17．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【思路引导】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【规范解答】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上， ； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 18．（24-25八年级下·全国·月考）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【思路引导】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含t的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 【规范解答】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 19．（25-26八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【思路引导】（1）把点代入，可得到点C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①求出点M，N的坐标即可；②根据四边形的面积为，可得，从而得到或3，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①根据题意得：，， ∴； ②如图， 根据题意得：轴，轴，轴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得：或3， 当时，， 此时四边形的周长为； 当时，， 此时四边形的周长为； 综上所述，四边形的周长为或． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【思路引导】（1）联立解析式求出交点坐标，通过交点坐标确定不等式的解集； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴， 由图形可知，当时，； （2）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 【考点剖析】掌握数形结合的思想． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则下列关于油箱中剩余油量（升）与时间（时）之间的函数图象正确的是选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据题意列出P与t之间的函数关系式，再结合实际求出t的取值范围，即可得解．本题主要考查了列一次函数关系式，以及一次函数的图像，解答实际问题时要注意自变量的取值范围，这是解题的关键． 【规范解答】解： ∵油箱中有油25升，每小时耗油5升， ∴剩余油量P（升）与耗油时间t（小时）之间的函数关系式为． 当时，； 当时，． ∴t的范围为． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．该植物最高长到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用待定系数法求出段的函数表达式，再求出时的函数值即可求解． 【规范解答】解：根据函数图象，设段函数表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴段函数表达式为， 当时，， 当时，轴，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 【答案】C 【思路引导】先根据图象分三段讨论，再根据销售收入和销售成本之间的关系得出答案． 【规范解答】解：由函数图象可知随着销售量的增加，当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入小于销售成本，此时该公司亏损；当时，销售收入和销售成本相等，此时该公司不亏损，也不盈利；当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入大于销售成本，此时该公司盈利，即该公司盈利时销售量大于4件，C符合题意． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知某品牌养生壶内装有1.5升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾（），然后自动启动保温模式，当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温随时间的变化而变化的图像，下列说法正确的是（   ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．从启动烧水开始两小时内，养生壶只有一次显示温度为 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解函数图象，求出函数解析式． 求出时的函数解析式即可判断A；求出时的函数解析式即可判断B；把代入时的函数解析式即可判断C；再根据函数图象即可判断D． 【规范解答】解：A、由函数图象可得，时，图象是一条线段为直线的一部分，那么烧水状态下，水温y是x的一次函数，设烧水状态下函数解析式为，代入，得，，解得，而通过图象可得每分钟水温升高，因此一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高，故A正确； B、当时，设，代入点，，则，解得，则养生壶水温下降阶段满足关系式，故B错误； C、当时，代入得，故C错误； D、由图象可得，从启动烧水开始两小时内，养生壶至少有两次显示温度为，故D错误， 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【规范解答】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期末）某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 【答案】100 【思路引导】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式，可求出弹簧的原长，从而得到此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长，即可求解． 【规范解答】解：设弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 当时，， ∴弹簧的原长为5厘米， ∵此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍， ∴此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为15厘米， 当时，， 解得：， 即该弹簧能称量的最大质量为100克． 故答案为：100 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）某种商品的销售额y（单位：万元）与广告投入x（单位：万元）是一次函数关系，当投入10万元时，销售额是1000万元；当投入90万元时，销售额是5000万元．当销售额为4500万元，则需投入_______万元． 【答案】80 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，先设一次函数解析式，利用已知的两组广告投入与销售额的对应值求出函数解析式，再将销售额代入解析式求解对应的广告投入金额即可． 【规范解答】解：设该一次函数的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 所以该一次函数的解析式为， 当时，即， 解得， 故需投入80万元． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【答案】 或 【思路引导】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式； （1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 【规范解答】解：（1）令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【规范解答】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）小王和小赵原有存款分别为800元和1800元，从本月开始小王每月存款400元，小赵每月存款200元．设两人存款时间为个月，小王的存款为元，小赵的存款为元．至少存款__________个月，小王的存款可以超过小赵的存款． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用，一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是求出，的函数关系式． 根据题意列出不等式，求解的取值范围，并考虑为整数的条件． 【规范解答】解：设存款时间为个月，则小王的存款为，小赵的存款为． 由，得． 解得：． 为整数， ∴最小取， 故存款个月，小王的存款可以超过小赵的存款． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点，点E是直线上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线交x轴于点H，当为直角时，则线段______． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的相关知识．设点的坐标为，根据点是点，的“和谐点”，表示出点的坐标，进而根据为直角可得点和点的横坐标相同得到的值，即可求得点和点的坐标；求得直线的解析式，进而求得点的坐标，即可得出结果． 【规范解答】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”， 点的坐标为， ∵， 点的横坐标和点的横坐标相同． ∴． 解得：． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为． ∴． 解得：． 直线的解析式为． 当时，． 点的坐标为． ∴． 故答案为：． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可． 【规范解答】解：设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， 同上可得直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； …… 以此类推，直线的解析式为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 14．（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)10天 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，结合工作量除以工作时间等于工作效率，进行列式计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等，列方程计算即可． 【规范解答】（1）解：由图象得，甲组每天挖（米）， 甲乙合作每天挖（米）， ∴乙组每天挖（米）， ∴甲组每天挖掘3米，乙组每天挖掘4米； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入， 可得， 解得， ∴； （3）解：由（1）得甲组每天挖米，乙组每天挖米， 则乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 15．（23-24八年级下·四川眉山·期中）正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】或． 【思路引导】此题考查了一次函数的性质．设点P的坐标为，根据的面积为4得到，解得或，即可求出答案． 【规范解答】解：设点P的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴， ∵的面积为4， ∴，即 解得或， ∴点P的坐标为或． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)A图书标价27元，B图书标价25元 (2) (3)购进A图书40本，B图书160本，利润最大，为元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书m本，图书本，利润为W元．根据题意得出W关于的关系式； （3）根据一次函数的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：设图书标价x元/本，图书标价y元/本． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元/本，图书标价25元/本； （2）解：依题意，设购进图书本，图书本，利润为元． 则 ， ∵A图书不少于40本．不多于60本， ∴； （3）解：依题意，； 随的增大而减小， ， 当时，W有最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大，为元． 17．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）河南不仅有深厚的文化底蕴和秀美的山川，还有各种美食让游客流连忘返．“五一”期间，甲、乙两家饭店分别推出以下两种优惠方式． 甲店：按消费总额的九折付款； 乙店：消费总额不超过300元的按原价付款，超过300元的部分打六折． (1)用x（单位：元）表示消费总额，y（单位：元）表示应付款金额，分别就甲、乙两家饭店的优惠方式，求y关于x的函数表达式； (2)小明一家4口人，小亮一家7口人，若甲、乙两家饭店人均消费均为50元，求两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省多少钱？ 【答案】(1)，； (2)两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省45元． 【思路引导】本题考查的是列函数关系式，一次函数的应用． （1）根据甲、乙两家饭店的优惠方式列函数关系即可． （2）分别根据两家人的数量先计算按各自的最优惠的方式付款的金额，再计算在同一家店拼单的总金额，进一步分析即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 当时，， 当时，， ∴． （2）解：∵小明一家4口人，人均消费50元， ∴小明家消费（元）， 此时选择甲店需要付款（元），选择乙店需要付款200元， ∴不拼单时，选择甲店消费更优惠，此时元， ∵小亮一家7口人，人均消费50元， ∴小亮家原价消费（元）， 此时选择甲店需要付款（元），选择乙店需要付款（元）， ∴不拼单时，选择甲店消费更优惠，此时元， 若两家在同一家店拼单，则一共消费（元）， 此时选择甲店需要付款（元），选择乙店需要付款（元）， ∴选择乙店拼单更优惠，此时元， ∴（元）， 答：两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省45元． 18．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元 (2)与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元 【思路引导】（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：设每个毛绒玩具价格为元，每个编程玩具价格为元， 由题意得，， 解得， 答：每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元． （2）解：由题意得编程玩具有个， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值为， 答：与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元． 19．（24-25八年级下·海南海口·期中）已知直线：与直线：交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当点的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【思路引导】（1）将点坐标代入即可求得； （2）将两直线解析式联立方程组即可； （3）①以为底，点到的距离为高求解三角形面积即可； ②分四种情况画出图形求解即可. 【规范解答】（1）解：将点代入直线可得， ∴直线解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， ∴； （3）解：①∵点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，点的坐标是， ∴当时，，， ∴， ∴，且， ∴点到的距离为， ∴ ； ②点的坐标为或或或．理由如下： 直线：的图象交轴于点A，交轴于点， ∴当时，，当时，， ∴， 当， 如图，，，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图，，，过点作轴于点，过点作延长线于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与轴交于点， ∴， ∴； 如图，，，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得：， ∴， ∴； 如图，，，过点作轴于点，过点作延长线于点，同理可得：， ∴， ∴， ∴ 综上所述，点的坐标为或或或． 20．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与实际问题 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 1 题型二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 3 题型三 梯度计价问题 5 题型四 其他问题（一次函数的实际应用） 8 题型五 一次函数与几何综合 10 B综合攻坚 能力跃升 12 题型一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 2．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 题型二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 6．（2022·广东深圳·二模）冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 7．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 题型三 梯度计价问题 9．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 12．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 题型四 其他问题（一次函数的实际应用） 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为x． (1)观察图形，填写下表： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … (2)上表的两个变量中，自变量是_______； (3)请写出y与x之间的函数解析式； (4)如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）某超市购进了一些食品，出售时要在进价的基础上加一定的利润．若其数量（单位：）与售价（单位：元）之间的关系如下表，则关于的函数解析式为____________． 数量 1 2 3 4 5 … 售价/元 … 15．（2025·陕西西安·一模）2026年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示： 产品数量x（件） … 10 12 16 20 … 生产成本y（元） … 450 460 480 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？ 16．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 题型五 一次函数与几何综合 17．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 18．（24-25八年级下·全国·月考）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 19．（25-26八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则下列关于油箱中剩余油量（升）与时间（时）之间的函数图象正确的是选项中的（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．该植物最高长到（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知某品牌养生壶内装有1.5升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾（），然后自动启动保温模式，当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温随时间的变化而变化的图像，下列说法正确的是（   ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．从启动烧水开始两小时内，养生壶只有一次显示温度为 5．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 6．（25-26八年级上·浙江温州·期末）某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）某种商品的销售额y（单位：万元）与广告投入x（单位：万元）是一次函数关系，当投入10万元时，销售额是1000万元；当投入90万元时，销售额是5000万元．当销售额为4500万元，则需投入_______万元． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）小王和小赵原有存款分别为800元和1800元，从本月开始小王每月存款400元，小赵每月存款200元．设两人存款时间为个月，小王的存款为元，小赵的存款为元．至少存款__________个月，小王的存款可以超过小赵的存款． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点，点E是直线上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线交x轴于点H，当为直角时，则线段______． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为_______． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 14．（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 15．（23-24八年级下·四川眉山·期中）正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 17．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）河南不仅有深厚的文化底蕴和秀美的山川，还有各种美食让游客流连忘返．“五一”期间，甲、乙两家饭店分别推出以下两种优惠方式． 甲店：按消费总额的九折付款； 乙店：消费总额不超过300元的按原价付款，超过300元的部分打六折． (1)用x（单位：元）表示消费总额，y（单位：元）表示应付款金额，分别就甲、乙两家饭店的优惠方式，求y关于x的函数表达式； (2)小明一家4口人，小亮一家7口人，若甲、乙两家饭店人均消费均为50元，求两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省多少钱？ 18．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 19．（24-25八年级下·海南海口·期中）已知直线：与直线：交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当点的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 20．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $