3.6 一次函数的应用（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.6一次函数的应用 (5大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练) 基础达标练 题型一分配方案问题 题型二最大利润问题 题型三行程问题 题型四梯度计价问题 题型五其他问题 能力提升题 题型一现实生活相关问题 题型二一次函数与几何综合 基础达标题 题型一分配方案问题 1.某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足 球数量不少于甲足球数量的名 则最省钱的购买方案是() A.甲25个，乙25个 B.甲26个，乙24个 C.甲27个，乙23个 D.甲28个，乙22个 2.随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元， 且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息判断，下列说法错误的是() 元个 甲 200 100 5 10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.消费次数为10时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B.消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C.消费次数为15时，选择乙种消费卡划算 D.消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为150元 3.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆 游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为() A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡 C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡 4.已知某租车公司有A,B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米0.5元收费： B方案直接按每千米1元收费，己知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案， 则他的行驶里程是() A.600千米 B.700千米 C.800千米 D.900千米 5.某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买11件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念 品每件标价均为40元.各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 前10件按原价销售， 甲商店 其余每件享受七折优 惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买30件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 6.2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 大实力.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企 业为提高工作效率，拟购买A,B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 3 340 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件： B型机器人每台每天可分拣快递20万件. A型 B型 (1)求A,B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A,B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种 购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 题型二最大利润问题 7.某超市以10元/千克的价格购进A种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间 的关系如图所示，则该超市以12元/千克零售这种水果所获得的利润为() 零售质量/千克 2000 1000 售价/（元/千克） 10 20 A.1800元 B.2400元 C.3600元 D.4800元 8.某商场在促销活动中，计划销售A型和B型两种饮水机共20台.若每台A型饮水机可盈 利150元，每台B型饮水机可盈利200元，A型饮水机的销售量不小于B型饮水机的3倍.则 3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是() A.3400元 B.3250元 C.4600元 D.4750元 9.如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y(件)与 日期t(日)的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w(元)与日期：t(日)的函数图 象.下列结论错误的是( ) y(件) 个w(元) 25 200---- 150- 100 5--- 25307(日) 2030(日) 图① 图② A.第25天的销售量为200件 B.第6天销售一件产品的利润是19元 C.第20天和第30天的日销售利润相等D.第18天的日销售利润高于第25天的日销 售利润 10.2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品.上 半年，该公司A,B两款打印机的墨盒销量表现突出.己知用400毫升墨水量可灌满甲型墨 盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且 甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水。 (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水： (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数 打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专实的 为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 11.某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球 拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元.乒乓 球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元： (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进 货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 题型三行程问题 12.在一条笔直的公路上A、B两地相距120km,甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A 地，甲车比乙车先出发.设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时， y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是() 个/km 12 60 3 x/h A.甲车行驶3小时时两车相遇 B.甲车的速度为20km/h,乙车的速度为30km/h C.甲车出发1小时后乙车才出发 D.当甲、乙两车相距10km时，乙车行驶了1.8小时 13.为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A,B两地增加一条快速公交线（即中 途停站的站点少)，一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A,B两地同时出发相向 而行.快速公交车、普通公交车两车离A地的距离片，2（单位：k)与出发时间x(单 位：h)之间的函数关系如图所示.已知两地相距120km,普通公交车的速度为30km/h.则 点P的坐标为() y/km 120 P 4 3 B. c.(1,90j D.1,100 14.一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到 达目的地后停止.两车之间的距离y（km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示， 下列结论错误的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/km 630 7/h A. 两车出发3h后相遇 B.行驶5h时，两车相距420km C.快车比慢车早1.5h到达目的地 D.快车的速度为120km/h,慢车的速度为 90km/h 15.赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗.某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，己知甲、 乙两队参加比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的关系如图所示，请根据图象，回 答下列问题： (终点)心/米 甲 1000 300 66.25t(分钟) (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为 米 ②龙舟比赛先到达终点的是 队. (填“甲”或“乙”) (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 16.汽车出发前油箱内有油50L,行驶一段时间在加油站加油若干升.汽车出发后，油箱中 的剩余油量y(单位：L)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示. Ay/L 50 45 14 t/h (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式： (2)如果加油前、加油后汽车都以70km/h的速度匀速行驶，加油站距离目的地210km,那么 6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 17.已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家1.6km,书店离小华家 3km,小华从家骑车匀速骑行10min到书店，在那里停留了60min,之后又匀速步行15min 到超市，在超市停留了20min后，用了16min匀速散步返回家.下图中x表示时间，y表示 离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信 息，回答下列问题： y/km 3 1.6 10 7085 105121x/min (1)①填表： 小华离开家的时间 10 55 90 /min 小华离开家的距离 3 /km ②填空；书店到超市的距离为 km ③当85≤x≤121时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式： (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以0.05km/min的速度匀 速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为片，小华的哥 哥离家的距离为，当y,<,时，求x的取值范围（直接写出结果即可）， 题型四梯度计价问题 18.超市某种散装糖果的价格为10元kg,如果一次购买4kg以上的糖果，超过4kg部分的 糖果价格打7折，设购买糖果的质量为xkg,付款金额为y元，则y与x的函数关系图象大 致是() A以元 以元 Ay元 A以元 40-- 40 40叶… 40 A. 20 D.20 024 6认g 2 4 2 4 246g 7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.某市出租车收费标准：起步价10元(3km内)，超过3公里后每公里加收2元.小明 乘坐出租车行驶了x公里(x≥3)，费用为y元，则y与x的函数关系式为() A.y=2x+4 B.y=2x+10 C.y=2x+16 D.y=2x+6 20.某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收 费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）·小华骑行了t分钟(t>15且为整数)，需要支付 的总费用y元，则y与t的函数关系式为() A.y=(1.8+1.5)t B.y=1.8+1.5t C.y=1.8+1.5t-15) D.y=1.8×15+1.5(t-15) 21.某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上22：00~次 0.3 日6：00) 峰段（白天6：00~ 1.2 22:00) 某小型加工厂白天总用电量为100千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将 谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间 的电量.每月按30天计算，设每晚谷段储电x千瓦时(0≤x<100),每月总电费为y元. (1)写出y与x之间的函数解析式： (2)若该加工厂每晚储电50千瓦时，求每月总电费. 22.为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用.下表是家 庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3) 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 (1)当300<x≤600时，求出燃气费y(单位：元)与x之间的关系式： (2)某户一年用气量是400m3,求该户这一年的燃气费； 8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量， 题型五其他问题 23.学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度y(cm)与 观察时间x（天)的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是() y/cm◆ B 12 3050 x/天 A.14cm B.16cm C.18cm D.20cm 24.3名教师和若干名学生到某景区春游.该景区成人票每张20元，学生票每张12元.师 生总票款y(单位：元)与学生人数x之间的函数关系式是() A.y=20x+12B.y=12x+20 C.y=20x+36 D.y=12x+60 25.小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境 时说，海拔每增加100m,气温下降0.6℃.小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为 34℃.当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为29.2℃，则山高() A.600m B.700m c.800m D.900m 26.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程 中，弹簧测力计的示数拉力F(W)与石块下降的高度x(c)之间的关系如图所示，则以下说 法正确的是() 9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个F拉N 石块、 2.5 16cm O246810121416xcm A.当石块下降3cm时，此时石块在水里 B.石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是N 4 C.当6<x<10时，拉力F与xcm)之间的函数表达式为F=+25 X+ 8 4 D.当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 26 3.cm 27.受持续降雨影响，某水库的水位在最近5h内持续上涨.下表记录了这5h内6个时间点 的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度。 t/h 0 2 3 y/m 3.00 3.05 3.10 3.1 y/m个 3.30 3.25 3.20 3.15 3.10 3.05 3.00 123456t/ (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并写出符合表中数据的y与t的函数解析式： (2)据估计这种上涨规律还会持续2h,请预测再过2h后水位的高度. B 能力提升题 题型一现实生活相关问题 28.随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感 10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷.己知购买 3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号 的帐篷共需6400元. (1)求A,B两种型号的帐篷的单价： (2)据统计，该景区需购买A,B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型 号的帐篷数量的子请你设计测买成本最少的方案，并求出该方案的费用。 29.根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 某学校在校园内建成 素 了一处劳动实践基 材 地，2026年计划将其 1 中100m2的土地全部 种植甲、乙两种蔬菜。 甲种蔬菜种植总成本y (单位：元)与其种植 y/元个 素 面积x(单位：m2)的 2400 衫 函数关系如图所示，其 1000 2 中20≤x≤80；乙种蔬 菜的每平方米种植成 20 6080x/m2 本为36元. 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬 菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少α元(a是常数且 4≤a≤8)，问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含α的代数式表 示) 30.根据以下素材，探究完成任务1和任务2. 11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购 买甲、乙两种型号的新型垃圾桶， 素 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元. 材1 务 己知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元. 材2 素 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾 材3 桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半. 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价。 (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 31.某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补 贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐x单(x>500),所得工资y元，求y与x的函数关系式. (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 题型二一次函数与几何综合 32.小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为6的等腰RtaA0B; ②小球撞击桌边后反弹角等于入射角.如图建立平面直角坐标系，球从点P(3,0)出发，撞 击AB边上的M点后反弹，再撞击OB边上的点N反弹，最后回到点P,则M点的坐标为 () 12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y A.(3,3 c别 33.如图，A-1,0),B(4,0),D0,2),四边形0BCD是矩形.直线1经过点A,D,直线 I,∥(，直线l2:y=x+b将矩形OBCD分成面积相等的两部分，则b的值为() B A.-2 B.-3 C.-4 D.2 34.如图，ABC位于第二象限，已知AC=BC,∠C=90°，点A的坐标为-4,1，点C的 坐标为-1,1.若直线y=-x+b与ABC有交点，则b的取值范围是() y=-x+b 0 A.-5≤b≤5 B.-5<b<5 C.-3<b<3 D.-3≤b≤3 35.如图，已知四边形ABC0是矩形，点B的坐标为5,4)，点D为边A0上一点，连接BD ,现将△ABD沿BD折叠，点A落在x轴上的点E处，直线BE交y轴于点P,则点P的坐标 为() 13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.(0,-3 D.-3,0 拓展培优题 36.数学来源于生活，生活中处处有数学.用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现 一些数学结论。 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有b克糖水，其中含有a克糖(b>a>0),则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量 比)为分加入mm>0)克水，则糖水的浓度为一： ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式 我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写 出一个新的“糖水不等式”二； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 糖的质量 果汁：糖的浓度为8%（糖的浓度=果汁的质量）： 果汁：糖的浓度为24%； 8+24 3)若取相同质量的果汁A和果汁8进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为( (4)饮料公司需要生产一批280kg的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元/kg和 13元kg,要求混合果汁的糖的浓度不高于14%，如何生产能获得最大利润？最大利润是多 少？ 14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动. 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动， 首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1.踏步面宽(bcm)：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求： 25≤b≤30且每级踏步面宽相等； 2.踏步高度(hcm)：每级楼梯的垂直高度，规范要求：14≤h≤16.5且踏步高度一致； 3.歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4.总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为390cm: 5.总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为195cm; 脚 5 195 390 (1)活动一：设踏步总级数为n(n为正整数)，根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度h=一： ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量m=一： ③用n,b表示歇脚台宽度s= (2)活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏 步宽b和高度h,并求出歇脚台此时的宽度s值. 15 3.6 一次函数的应用 （5大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 分配方案问题 题型二 最大利润问题 题型三 行程问题 题型四 梯度计价问题 题型五 其他问题 能力提升题 题型一 现实生活相关问题 题型二 一次函数与几何综合 题型一 分配方案问题 1．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 2．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 3．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 4．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 5．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 6．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 题型二 最大利润问题 7．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 8．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 9．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 10．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 11．某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) 每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元 (2) 购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套时获利最大，最大利润为2990元 【分析】（1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．再建立方程组解题即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可． 【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得， 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． （2）解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套． 根据题意，得且 解得：， 设获利W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵且m为非负整数， ∴当时W值最大，最大利润为（元）， （套）． 答：购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套才能使这批体育用品全部售完时获利最大，最大利润为元． 题型三 行程问题 12．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 13．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 14．一辆快车从地匀速驶向地，一辆慢车从地匀速驶向地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．两车出发后相遇 B．行驶时，两车相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】先从图像中提取两车相遇时间与慢车全程行驶时间，结合总路程求出两车速度，再根据各选项对应的时间点进行判断． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 据图可知，当行驶时间为时，两车相遇，当行驶时间为时，慢车到达地， 可得，， 解得，， 则， 选项：当行驶时间为时，，可知两车相遇，故正确； 选项：当，两车从相遇点又分别行驶了，则两车的距离为，故正确； 选项：快车到达目的地需用时：，慢车到达目的地需用时：， 则快车比慢车早到，故错误； 选项：快车的速度为，慢车的速度为，故正确． 15．赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【答案】(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【分析】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 16．汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出每小时消耗的油量，再求出加油后可行驶的路程，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：油箱中的油够用，理由如下： 每小时消耗的油量为， 加油后可行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油够用． 17．已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，由书店离小华家的距离减去超市离小华家的距离即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 题型四 梯度计价问题 18．超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分两种情况推导函数式：当购买质量不超过时，是正比例函数；当超过时，是斜率更小的一次函数，由此对应图象的两段不同倾斜程度． 【详解】解：①当时，糖果单价为元/， ∴，这是过原点的正比例函数，当时，，即该段图象是从原点到点的直线，倾斜程度较大． ②当时，超过的部分单价为元/， ∴， 这是一次函数，该段图象的倾斜程度比前一段更平缓． 故选：C． 19．某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 20．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 21．某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 【答案】(1) (2)每月总电费为元 【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时， ∴每天的电费为（元）， ∴每月总电费； （2）解：当时，（元）． 答：每月总电费为元． 22．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 题型五 其他问题 23．学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间x（天）的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出y关于x的解析式，再代入求出y即可． 【详解】设解析式为 ， 将和代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 所以橘树苗在第50天的高度是． 24．名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目给出的人数和票价，分别计算教师总票款和学生总票款，相加即可得到与的函数关系式． 【详解】解：根据题意， ∵学生人数为，学生票每张元， ∴学生总票款为元， ∵共有名教师，成人票每张元， ∴教师总票款为元， ∴师生总票款． 25．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，则山高（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设海拔高度为，气温为，根据题意列出y与x之间的函数关系式，再求出时x的值，即可得解．本题考查利用一次函数解决实际问题，列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设海拔高度为，气温为，根据题意得 ， 当时，， 解得， ∴山高． 26．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力F与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 C．当时，拉力F与之间的函数表达式为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】B 【分析】观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设段的函数解析式为：，代入，得： ， 解得：， ，故C不符合题意； C、将，代入， 此时石块所受浮力是：，故B符合题意； D、将代入，得， 此时石块距离水底，故D不符合题意． 27．受持续降雨影响，某水库的水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度． t/h 0 1 2 3 4 5 … y/m 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并写出符合表中数据的y与t的函数解析式； (2)据估计这种上涨规律还会持续，请预测再过后水位的高度． 【答案】(1)图见解析， (2)预测再过水位高度为． 【分析】（1）根据表格中的数据描点再连线，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入求出函数值即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设， 把，代入，得：， 解得：， ∴符合表中数据的函数解析式为； （2）解：把代入中，得． ∴预测再过水位高度为． ． 题型一 现实生活相关问题 28．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 29．根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2)种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 (3)当时，总费用最少，最少费用元 【分析】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． （3）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 30．根据以下素材，探究完成任务1和任务2． 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶． 素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元． 素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元． 素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半． 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价． (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元 (2)购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用为7360元 【分析】（1）利用二元一次方程组求解单价，根据两个购买总费用的条件列出方程组，解方程组即可得到结果； （2）利用一次函数性质解决方案最值问题，先根据乙数量的限制条件得到甲数量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性得到最小值及对应方案． 【详解】（1）解：设甲型号新型垃圾桶单价为元，乙型号新型垃圾桶单价为元． 根据题意可得 解得 答：甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元． （2）解：设购买甲型号垃圾桶个，总购买费用为元，则购买乙型号垃圾桶个． 由题意得 解不等式得 因为是非负整数， 所以的最大取值为66． 总费用 因为， 所以随的增大而减小． 当时，最小， 此时，（元） 答：购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用是7360元． 31．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 题型二 一次函数与几何综合 32．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，可证明，则可证明，得到，，即可得到；同理可证明，可得垂直平分，则，推出，得到；求出直线和直线的解析式，进而可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接， 由题意得，，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ； 同理可证明， ， 垂直平分， ； 是等腰直角三角形， ； ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 33．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 34．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 35．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 36．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3)200， (4)该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． （2）解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． （4）解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 37．数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； (1)活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． (2)活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 【答案】(1)①；②；③ (2)踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为 【分析】（1）①②③根据题意列代数式即可； （2）根据题意得出，确定n可以取12或13，然后分两种情况利用一次函数的性质求解确定最大值即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：高度； ②， ③歇脚台宽度； （2）解：由题意得 解得 ， ∵n为正整数， ∴n可以取12或13， 当时，      ， 此时， s随b的增大而减小，且 ， ∴当时，s取得最大值， ， 当时， ， 此时， 同理，当时，s取得最大值， ， ∵， ∴踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $