易错10 相似三角形（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 相似三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 找错相似三角形的对应边、对应角 易错点 2 平行线分线段成比例 易错点 3 相似三角形的判定方法 易错点 4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 易错点 5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 易错点 6 位似与相似的区别 易错点 7 网格背景下无刻度直尺作图 易错点 8 相似三角形的实际应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 找错相似三角形的对应边、对应角 错因剖析 概念混淆：对应关系认知模糊，书写时，顶点不一一对应。 认知偏差：识图能力不足，对应边关系混乱。 基础薄弱：比例性质不熟练，导致变形错误。 【例1】已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】书写规范： 字母严格一一对应： 【知识链接】 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 如图：， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， 变式迁移 【变式1-1】如图，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，相似比为．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点2 平行线分线段成比例 概念混淆：一组平行线截两条直线，对应线段成比例，对 “对应” 二字理解偏差。 认知偏差：解题中没有先找平行线，直接找比例。 基础薄弱：比例关系列错，不会解比例等式。 【例2】（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____． 避错秘籍 【防错指南】解题三步避坑 ① 找平行：先圈出所有平行线，确定平行组； ② 定截线：找出被截取的两条相交直线； ③ 对线段：按从上到下、从左到右顺序，一一对应列比例。 【知识链接】平行线分线段成比例 定理或基本事实 1.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 当，且时，有。 2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 当时，有， 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比例。 当时，有,等。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏南京·二模）如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4.5 D．5 【变式2-2】如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式2-3】（2025·江苏扬州·二模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 易错点3 相似三角形的判定方法 错因剖析 概念混淆：对相似判定的必要条件理解不透彻，不清楚每种判定方法的限定要求，概念边界模糊。 认知偏差：缺乏先找等角、再凑边比例的审题习惯，几何识图与条件提取能力不足。 基础薄弱：几何证明逻辑薄弱，答题规范欠缺，不会择优选用最简判定方法。 【例3】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 避错秘籍 【防错指南】解题固定步骤 ① 找等角：优先找公共角、对顶角、平行等角、互余等角； ② 选方法：有两组等角直接用 AA；有边比例优先 SAS/SSS； ③ 写规范：顶点对应书写，条件罗列完整，再下相似结论。 【知识链接】 1.判定三角形相似的思路 2.常见的相似模型 （1）平行线型 （2）斜交型 （3）一线三等角型 变式迁移 【变式3-1】如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在和中，、分别是、上一点，． (1)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． (2)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． 易错点4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 错因剖析 概念混淆：误认为相似三角形面积比也等于相似比；与同高三角形面积比等于底的比混淆。 认知偏差：不理解：一维长度比、二维面积比的维度区别。 基础薄弱：比例运算、平方开方基础薄弱，几何性质综合运用不熟练。 【例4】（2026·江苏扬州·一模）如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形中， 只要是长度类（边、高、中线、角平分线、周长），全部等于相似比； 只要是面积类，一定是相似比的平方； 做题先标注：谁是大三角形、谁是小三角形，防止比颠倒。 【知识链接】 若两个三角形相似，相似比为 对应边之比 对应高、对应中线、对应角平分线之比 周长之比 面积之比 变式迁移 【变式4-1】已知，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（2025·江苏扬州·二模）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·江苏徐州·二模）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 易错点5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 错因剖析 概念混淆：混淆 “△ABC∽△DEF（顺序固定）” 与 “△ABC 与△DEF 相似（无顺序、多解）” 两种题型区别。 认知偏差：审题不抓关键提示词：相似（无顺序）、是否存在、动点、在直线上，缺少多解预判。 基础薄弱：比例建模能力不足，范围检验意识薄弱，复杂题型综合分析能力不足。 【例5】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形只要内角分别相等即可， 顶点顺序不固定，无字母约束时，边角可自由搭配对应。 【知识链接】两种相似表述 ① 有序书写： 顶点一一对应，唯一解，不需分类。 ② 无序表述：与相似 无固定顺序，必须分类讨论，有多解。 变式迁移 【变式5-1】如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________． 易错点6 位似与相似的区别 错因剖析 概念混淆：混淆两者从属关系：位似一定相似，相似不一定位似。 认知偏差：忽视位似中心的存在，不会找位似中心，不会区分内位似、外位似。 基础薄弱：位似性质与坐标规律运用混乱。 【例6】（2025·江苏·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（  ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 ① 相似无交点要求，位似必交于一点； ② 随意摆放、翻转、交错相似图形，一律不是位似； ③ 位似作图先定中心，再连点延长，最后缩放取点。 【知识链接】 1. 位似图形两大必备判定条件（缺一不可） 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于同一点（位似中心）； 对应边互相平行或在同一直线上。 2. 相似与位似核心区别 相似：只要求形状相同、对应角相等、对应边成比例，位置无要求； 位似：不仅相似，还要满足共中心点、对应边平行，是特殊的相似。 3. 坐标系位似口诀 原点为位似中心，位似比为： 横纵同乘，同向正、反向负，整体同缩放。 变式迁移 【变式6-1】（2025·江苏扬州·二模）如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为_____． 【变式6-2】如图，与是位似图形，则位似中心为点______． 【变式6-3】（2026·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； (2)以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 易错点7 网格背景下无刻度直尺作图 错因剖析 概念混淆：不理解网格作图核心：利用格点矩形、相似三角形、勾股逆定理、矩形性质构图，只会盲目连线。 认知偏差：不会利用网格天然直角、等距线段、平行横线竖线，不会构造全等与相似。 基础薄弱：无刻度直尺只允许连线、延长，擅自标注刻度、量长度，违规作图。 【例7】（2025·江苏无锡·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，作出一个满足条件的格点，使得射线平分； (2)在图中，画一个与面积相等，且以为边的，、均在格点上； (3)在图中，在边上找一点，连接，使面积是面积的倍． 避错秘籍 【防错指南】 牢记作图限制 无刻度直尺：只能连接两点、延长线段，不能度量、不能截取长度。 解题步骤 ① 分析要画的线条：平行 / 垂直 / 平分 / 高 / 中线； ② 匹配对应网格模型，寻找合适格点； ③ 用直尺连线、延长，保留全部辅助作图痕迹； ④ 标注关键点、作答。 【知识链接】 网格万能核心模型 ① 作平行线：利用同方向等比例格点、矩形对边平行； ② 作垂线：横纵比互倒，如 与 线段互相垂直； ③ 作线段中点 / 等分点：借助矩形对角线、8 字型相似； ④ 作角平分线：构造菱形、轴对称格点、等距线段； ⑤ 作三角形的高：先构网格直角，利用勾股逆定理定垂直。 变式迁移 【变式7-1】 51．（2023·江苏盐城·三模）如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出边上的点，使得； (2)在图2中作出边上的点（不与点重合），连接，使得； (3)在图3中作出边上的点，使得． 【变式7-2】（2025·江苏无锡·二模）（1）如图，在的正方形网格中，点，B，C均在格点上，请按要求作图． ①在图1中画一个格点，使（相似比不为1）． ②在图2中画一条格点线段，交于点Q，使． （2）如图3，点A为上一点． ①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和劣弧于点、，若的半径为，则的长为 ． 【变式7-3】（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 易错点8 相似三角形的实际应用 错因剖析 概念混淆：不会将生活场景抽象为几何图形，不理解不同测量方式下相似的成立条件。 认知偏差：缺少 “实际问题→几何图形→找等角→证相似” 的转化思维，识图建模薄弱。 基础薄弱：相似性质应用不熟练，比例运算薄弱，应用题答题规范意识差。 【例8】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 避错秘籍 【防错指南】基本解题步骤： ① 建模：根据题意画图，标出垂直、平行、已知长度； ② 证形：利用平行、直角、等角，证明三角形相似； ③ 列式：严格按对应边成比例列方程； ④ 求解：统一单位、计算、检验线段为正，规范写答。 【知识链接】 标杆测高：垂直地面 + 平行光线，两角对应相等证相似； 镜面反射：反射角 = 入射角，构造两组等角，证相似； 盲区 / 测距：利用平行线，构造 A 字型、8 字型相似。 变式迁移 【变式8-1】（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【变式8-2】（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【变式8-3】（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 1. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，若，则图中一定相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 3. （2026·江苏苏州·一模）如图，菱形的对角线，交点为，点在上，且，过点作交于点．则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 4. （2025·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，，，，若面积为10，则的面积为________． 6. （2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为位似中心，把按相似比缩小，得到，则点的坐标是______． 7. （2025·江苏南通·二模）如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 8. （2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 9. （2026·江苏南通·一模）如图，中，是中线，是高，，交于点． （1）__________°； （2）过点作交于点，若，则__________． 10. 已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 11. （2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 12. （2026·江苏无锡·一模）如图1，在中，，． (1)尺规作图：作正方形，使得点E，G分别在，上，点F，H在上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2） 13. （2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 14. （2026·江苏泰州·一模）综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折得到； 步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： (1)在方案1中，求证：点为的三等分点； (2)在方案2中，求与的比值； (3)在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 找错相似三角形的对应边、对应角 易错点 2 平行线分线段成比例 易错点 3 相似三角形的判定方法 易错点 4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 易错点 5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 易错点 6 位似与相似的区别 易错点 7 网格背景下无刻度直尺作图 易错点 8 相似三角形的实际应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 找错相似三角形的对应边、对应角 错因剖析 概念混淆：对应关系认知模糊，书写时，顶点不一一对应。 认知偏差：识图能力不足，对应边关系混乱。 基础薄弱：比例性质不熟练，导致变形错误。 【例1】已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴的第三边长应该是． 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】书写规范： 字母严格一一对应： 【知识链接】 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 如图：， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， 变式迁移 【变式1-1】如图，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，，相似比为．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形的相似比等于边长之比． 根据，得，进而可以解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 易错点2 平行线分线段成比例 概念混淆：一组平行线截两条直线，对应线段成比例，对 “对应” 二字理解偏差。 认知偏差：解题中没有先找平行线，直接找比例。 基础薄弱：比例关系列错，不会解比例等式。 【例2】（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____． 【答案】 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 避错秘籍 【防错指南】解题三步避坑 ① 找平行：先圈出所有平行线，确定平行组； ② 定截线：找出被截取的两条相交直线； ③ 对线段：按从上到下、从左到右顺序，一一对应列比例。 【知识链接】平行线分线段成比例 定理或基本事实 1.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 当，且时，有。 2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 当时，有， 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比例。 当时，有,等。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏南京·二模）如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式2-2】如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意可得，代入数据求出，即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（2025·江苏扬州·二模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 易错点3 相似三角形的判定方法 错因剖析 概念混淆：对相似判定的必要条件理解不透彻，不清楚每种判定方法的限定要求，概念边界模糊。 认知偏差：缺乏先找等角、再凑边比例的审题习惯，几何识图与条件提取能力不足。 基础薄弱：几何证明逻辑薄弱，答题规范欠缺，不会择优选用最简判定方法。 【例3】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 避错秘籍 【防错指南】解题固定步骤 ① 找等角：优先找公共角、对顶角、平行等角、互余等角； ② 选方法：有两组等角直接用 AA；有边比例优先 SAS/SSS； ③ 写规范：顶点对应书写，条件罗列完整，再下相似结论。 【知识链接】 1.判定三角形相似的思路 2.常见的相似模型 （1）平行线型 （2）斜交型 （3）一线三等角型 变式迁移 【变式3-1】如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，不符合题意； B、∵，，∴，不符合题意； C、，，不能得出，符合题意； D、∵，，∴，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在和中，、分别是、上一点，． (1)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． (2)当，时，判断与是否相似，如果相似请证明，不相似请举反例说明． 【答案】(1)相似，证明见解析 (2)与不相似，说明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，得，即得，，进而得，即可求证； （）画出图形举出反例即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，但不是对应边的夹角， ∴与不相似， 反例如图所示： 易错点4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 错因剖析 概念混淆：误认为相似三角形面积比也等于相似比；与同高三角形面积比等于底的比混淆。 认知偏差：不理解：一维长度比、二维面积比的维度区别。 基础薄弱：比例运算、平方开方基础薄弱，几何性质综合运用不熟练。 【例4】（2026·江苏扬州·一模）如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形中， 只要是长度类（边、高、中线、角平分线、周长），全部等于相似比； 只要是面积类，一定是相似比的平方； 做题先标注：谁是大三角形、谁是小三角形，防止比颠倒。 【知识链接】 若两个三角形相似，相似比为 对应边之比 对应高、对应中线、对应角平分线之比 周长之比 面积之比 变式迁移 【变式4-1】已知，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是和的角平分线，且， ∴，，故①②正确； ④错误； ，故③错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2025·江苏扬州·二模）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为． 故选：C． 【变式4-3】（2024·江苏徐州·二模）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握三角形的判定和相似三角形的性质是解题的关键．先利用比例性质得出，结合，判定，再利用相似三角形的性质得出，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 易错点5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 错因剖析 概念混淆：混淆 “△ABC∽△DEF（顺序固定）” 与 “△ABC 与△DEF 相似（无顺序、多解）” 两种题型区别。 认知偏差：审题不抓关键提示词：相似（无顺序）、是否存在、动点、在直线上，缺少多解预判。 基础薄弱：比例建模能力不足，范围检验意识薄弱，复杂题型综合分析能力不足。 【例5】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形只要内角分别相等即可， 顶点顺序不固定，无字母约束时，边角可自由搭配对应。 【知识链接】两种相似表述 ① 有序书写： 顶点一一对应，唯一解，不需分类。 ② 无序表述：与相似 无固定顺序，必须分类讨论，有多解。 变式迁移 【变式5-1】如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 【变式5-2】将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 易错点6 位似与相似的区别 错因剖析 概念混淆：混淆两者从属关系：位似一定相似，相似不一定位似。 认知偏差：忽视位似中心的存在，不会找位似中心，不会区分内位似、外位似。 基础薄弱：位似性质与坐标规律运用混乱。 【例6】（2025·江苏·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 则和的面积之比为． 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】 ① 相似无交点要求，位似必交于一点； ② 随意摆放、翻转、交错相似图形，一律不是位似； ③ 位似作图先定中心，再连点延长，最后缩放取点。 【知识链接】 1. 位似图形两大必备判定条件（缺一不可） 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于同一点（位似中心）； 对应边互相平行或在同一直线上。 2. 相似与位似核心区别 相似：只要求形状相同、对应角相等、对应边成比例，位置无要求； 位似：不仅相似，还要满足共中心点、对应边平行，是特殊的相似。 3. 坐标系位似口诀 原点为位似中心，位似比为： 横纵同乘，同向正、反向负，整体同缩放。 变式迁移 【变式6-1】（2025·江苏扬州·二模）如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】12 【分析】本题考查的是位似图形的性质，先证明，，再代入数据可得答案． 【详解】解∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，m ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：12． 【变式6-2】如图，与是位似图形，则位似中心为点______． 【答案】P 【分析】本题考查确定位似中心，根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：如图所示，连接，，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：． 【变式6-3】（2026·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； (2)以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换，关于轴，轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标． 故答案为：； （2）解：如图，，即为所求，点的坐标． 故答案为：． 易错点7 网格背景下无刻度直尺作图 错因剖析 概念混淆：不理解网格作图核心：利用格点矩形、相似三角形、勾股逆定理、矩形性质构图，只会盲目连线。 认知偏差：不会利用网格天然直角、等距线段、平行横线竖线，不会构造全等与相似。 基础薄弱：无刻度直尺只允许连线、延长，擅自标注刻度、量长度，违规作图。 【例7】（2025·江苏无锡·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，作出一个满足条件的格点，使得射线平分； (2)在图中，画一个与面积相等，且以为边的，、均在格点上； (3)在图中，在边上找一点，连接，使面积是面积的倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以、为边作菱形，连接，由菱形性质即可； （2）在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点，由平行四边形的性质即可； （3）在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点，连接交于点，连接，由相似三角形的性质即可． 【详解】（1）解：如图，在点右侧个单位格点处取点，则点为所求， 由题得， 以、为边作菱形，连接， 由菱形性质可得，平分角． （2）解：由图得，如图， 在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点， ，， 四边形为平行四边形， 且， 故四边形为所求． （3）解：如图，在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点， 连接交于点，连接，则点为所求， ， ， ， ． 【点睛】此题考查全了菱形的性质和判定、平行线边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、利用网格作图等知识与方法，本题的关键是灵活应用以上知识解题，此题综合性强，难度较大． 避错秘籍 【防错指南】 牢记作图限制 无刻度直尺：只能连接两点、延长线段，不能度量、不能截取长度。 解题步骤 ① 分析要画的线条：平行 / 垂直 / 平分 / 高 / 中线； ② 匹配对应网格模型，寻找合适格点； ③ 用直尺连线、延长，保留全部辅助作图痕迹； ④ 标注关键点、作答。 【知识链接】 网格万能核心模型 ① 作平行线：利用同方向等比例格点、矩形对边平行； ② 作垂线：横纵比互倒，如 与 线段互相垂直； ③ 作线段中点 / 等分点：借助矩形对角线、8 字型相似； ④ 作角平分线：构造菱形、轴对称格点、等距线段； ⑤ 作三角形的高：先构网格直角，利用勾股逆定理定垂直。 变式迁移 【变式7-1】 51．（2023·江苏盐城·三模）如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出边上的点，使得； (2)在图2中作出边上的点（不与点重合），连接，使得； (3)在图3中作出边上的点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键． （1）构造线段，且使，连接，交于点．利用相似三角形的性质即可证明点是符合条件的点； （2）取格点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取格点，连接，交网格线于点，连接，取格点，，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点是符合条件的点． 【详解】（1）解：如图所示，取，，连接，交于点E．    ， ， ， 点E就是所求作的符合条件的点； （2）解：如图所示，分别取格点、、，使得，，连接交于点，连接， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点， ， 点就是所求作的符合条件的点； （3）解：如图所示，取格点，连接，交网格线于点，连接，取格点，，    ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ． 【变式7-2】（2025·江苏无锡·二模）（1）如图，在的正方形网格中，点，B，C均在格点上，请按要求作图． ①在图1中画一个格点，使（相似比不为1）． ②在图2中画一条格点线段，交于点Q，使． （2）如图3，点A为上一点． ①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和劣弧于点、，若的半径为，则的长为 ． 【答案】（1）①图见解析；②图见解析；（2）①图见解析；②； 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定即性质，圆的性质，正方形的判定，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）利用相似的性质作图即可； （2）①：连接并延长，交于，过点作的垂线，分别交于，，即可． ②：利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）①解：如图1所示，即为所求： ②：如图2所示，线段即为所求： （2）①连接并延长，交于，过点作的垂线，分别交于，，则四边形即为所求如图3所示： ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式7-3】（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，得出，再利用三角形的中位线定理，得出，进而得出，即可得出结论； （2）根据对称性和相似即可作出图形； （3）根据对称性和相似作出图形，再用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，为斜边的中点， ， ， ． ，分别为，的中点， ， ， ， 点为，在直线上的投射点． （2）解：如图③， 作法：1、在格点上取点，点，连接交于点，则；（理由：，，，．） 2、作点关于的对称点，连接并延长交于点，即点就是所求作的点．（理由：由对称得，，又，，即点为，在上的投射点．） （3）解：存在， 如图， 作点关于的对称点，连接，，则四边形为正方形， 作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ，，，在同一直线上，，，，， 又， ， ， ． ， ， ， ． 易错点8 相似三角形的实际应用 错因剖析 概念混淆：不会将生活场景抽象为几何图形，不理解不同测量方式下相似的成立条件。 认知偏差：缺少 “实际问题→几何图形→找等角→证相似” 的转化思维，识图建模薄弱。 基础薄弱：相似性质应用不熟练，比例运算薄弱，应用题答题规范意识差。 【例8】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 避错秘籍 【防错指南】基本解题步骤： ① 建模：根据题意画图，标出垂直、平行、已知长度； ② 证形：利用平行、直角、等角，证明三角形相似； ③ 列式：严格按对应边成比例列方程； ④ 求解：统一单位、计算、检验线段为正，规范写答。 【知识链接】 标杆测高：垂直地面 + 平行光线，两角对应相等证相似； 镜面反射：反射角 = 入射角，构造两组等角，证相似； 盲区 / 测距：利用平行线，构造 A 字型、8 字型相似。 变式迁移 【变式8-1】（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 【变式8-2】（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为． 【变式8-3】（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 1. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 2. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，若，则图中一定相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3. （2026·江苏苏州·一模）如图，菱形的对角线，交点为，点在上，且，过点作交于点．则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出菱形的面积及的面积，由及菱形对角线互相平分求出与的比值，再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4. （2025·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，在平面直角坐标系中，位似图形是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比为k或，据此解答即可． 【详解】解：∵正与正是以原点O为位似中心，且面积比为， ∴，且相似比为． ∵点C的坐标为， ∴点E的坐标为，即． 故选：C． 5. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，，，，若面积为10，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 6. （2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为位似中心，把按相似比缩小，得到，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，根据位似图形的性质，将点的横纵坐标分别乘以位似比，即可得到对应点的坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心把缩小得到，其相似比， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或． 7. （2025·江苏南通·二模）如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，从而可利用线段差求得，再利用点B关于的对称点为F，求出，然后可求出，再根据平行线分线段成比例求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点B关于的对称点为F， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平行四边形的性质求解，根据成轴对称图形的特征进行求解，由平行截线求相关线段的长或比值，勾股定理，解题关键是根据平行截线求相关线段的长． 8. （2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】连接交于点，延长交于点，证明和以及，分别求得，，，据此计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，延长交于点，如图， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. （2026·江苏南通·一模）如图，中，是中线，是高，，交于点． （1）__________°； （2）过点作交于点，若，则__________． 【答案】 60 【分析】（1）首先，取的中点G， 连接，根据是的中线，是的高， 得到，， 是的中位线，，  再根据， 得到，进而得，即可得出的度数； （2）由(1)知，， 设，则，， 再证得， 得到，即， 解方程并检验即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，取的中点G， 连接， ∵是的中线，是的高， ∴，， ∴， ∵的中点为G，是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，由（1）知，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，(舍去)， 经检验，是原方程的解， ∴． 10. 已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 【答案】或 【分析】分当在上时， 当在上时，不符合题意，当在上时，当在上时，不符合题意，再进一步分析求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在长方形中，，， ∴，，， ∵， ∴， 当在上时，， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 当在上时，如图， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 综上：t的值为或． 11. （2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12. （2026·江苏无锡·一模）如图1，在中，，． (1)尺规作图：作正方形，使得点E，G分别在，上，点F，H在上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，分别交、于点、，与交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点、，连接，则四边形是正方形，即为所求； （2）过点作于点，求得，；过点作，交的延长线于点，则，证明，得，，，，过点作于点，分别证明，，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； 过点作于点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，； ∵，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. （2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】(1)点到的距离约为 (2)点在竖直方向上升了 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）过作于，在根据代入计算即可； （2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【详解】（1）解：过作于， 中，，， ∴， ∴， 即点到的距离约为； （2）解：过作于， 由旋转可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 14. （2026·江苏泰州·一模）综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折得到； 步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： (1)在方案1中，求证：点为的三等分点； (2)在方案2中，求与的比值； (3)在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在，点是线段的三等分点，理由见详解 【分析】（1）由正方形性质，结合三角形相似的判定与性质求证即可； （2）设正方形的边长为，，表示出，再由折叠性质及勾股定理列式得到，表示出与的比值求解即可； （3）令正方形的边长为，由折叠性质及勾股定理求出的直角边长度，再由相似三角形的判定与性质求出长度，最后得到长度，得出即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，则， ， ， ， ， 即， 在正方形中，，则， 点为的三等分点； （2）解：如图所示： 设正方形的边长为，， 则，， 沿翻折得到，沿翻折，使得D与重合， ， 在正方形中，，则由勾股定理可得， ， 则， ； （3）解：存在，理由如下： 如图所示： 不妨令正方形的边长为，则， 沿翻折，使得点与点重合，则，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 则， 解得， ， 则，即， 点是线段的三等分点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $