易错08 圆（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 圆 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 易错点 2 垂径定理及应用 易错点 3 忽略题图中圆的内接四边形 易错点 4 切线的判定与性质 易错点 5 混淆三角形的内心和外心 易错点 6 忽略切线长定理 易错点 7 扇形面积公式、弧长公式 易错点 8 与圆锥有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 错因剖析 概念混淆：只记结论不记前提“同圆或等圆中”，对 “四组量（圆心角、圆周角、弧、弦）的等价关系” 理解片面。 认知偏差：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），对应两类圆周角，往往只算一种。 基础薄弱：不会利用弧相等→角相等进行倒角。 【例1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能丢：没有 “同圆或等圆”，弦相等≠弧相等，角相等≠弧相等。 一弦对两弧：弦对应优弧、劣弧，对应两个互补的圆周角，无图题一定双解。 倍半别搞反：圆心角大，圆周角小，永远是 “圆周角 = 1/2 圆心角”。 【知识链接】 四组等量关系 同圆或等圆中： 弧相等 ⇄ 圆心角相等 ⇄ 圆周角相等 ⇄ 弦相等 ⇄ 弦心距相等 重要推论 同弧或等弧所对圆周角相等； 相等的圆周角所对弧相等； 直径 ⇌ 90° 圆周角； 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【变式1-3】（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则__________°．    易错点2 垂径定理及应用 错因剖析 概念混淆：混淆垂径定理及其推论的前提条件，导致推理逻辑错误。 认知偏差：忽略垂径定理的前提条件、推论的限制条件，不会构造直角三角形。 基础薄弱：垂径定理的辅助线构造方法不熟练，勾股定理应用能力薄弱，对 “弦、弦心距、半径” 的转化模型掌握不足，书写规范意识差。 【例2】（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能漏：没有 “过圆心（直径）”，再垂直于弦也不能用垂径定理； 限制不能丢：推论中 “平分弦” 必须强调 “不是直径”，否则结论不成立； 无图必分类：涉及弦、弧的无图题，必考虑优弧 / 劣弧、弦在圆心的不同侧（特殊情况除外）； 辅助线必作：遇到弦长、弦心距、半径计算，必作 “过圆心作弦的垂线”，构造直角三角形。 【知识链接】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。 垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 垂径定理的核心模型：半弦长（）、弦心距（d）、半径（r） 满足勾股定理： 变式迁移 【变式2-1】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【变式2-2】（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 易错点3 忽略题图中圆的内接四边形 错因剖析 概念混淆：对「四点共圆→内接四边形特有性质」理解模糊，与平行四边形性质混淆。 认知偏差：缺乏整体识图意识，不会主动挖掘图形中隐藏的四点共圆模型。 基础薄弱：不会利用圆内接四边形进行快速倒角，角度推导思路单一。 【例3】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】整体识图，主动挖掘隐藏模型 看圆先看点：只要有四个点同时在圆周上，立刻反应：圆内接四边形； 遇求角度、倒角题，优先先用内接四边形性质，再用圆周角、三角形内角和； 复杂组合图形，圈出圆上多点，快速锁定内接四边形，补全隐藏条件。 【知识链接】 圆内接四边形的性质 ① 对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为； ② 外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。 注意：四个顶点都在同一个圆上，才是圆内接四边形，才可使用以上两条性质。 变式迁移 【变式3-1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 易错点4 切线的判定与性质 错因剖析 概念混淆：只证明 “直线⊥半径”，忽略经过半径外端点，直接判定为切线。 认知偏差：审题不抓关键，缺乏模型识别意识，不会区分 “有切点、无切点” 两类切线证明套路。 基础薄弱：几何证明跳步严重，缺少关键依据，扣分严重。 【例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 避错秘籍 【防错指南】证明切线的基本思路 1、已知直线与圆有公共点（有切点） 口诀：连半径，证垂直 连接圆心和公共点，证明夹角为。 2、未知公共点，直线与圆位置不确定 口诀：作垂直，证半径 过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 【知识链接】 切线性质： 直线是圆的切线 切线过切点的半径。 切线判定（两个条件缺一不可）： ① 直线经过半径外端点； ② 直线与这条半径互相垂直； 同时满足 直线是圆的切线。 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点连线平分两条切线夹角。 变式迁移 【变式4-1】（2026·江苏扬州·一模）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 【变式4-2】（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式4-3】（2025·江苏南京·一模）如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 易错点5 混淆三角形的内心和外心 错因剖析 概念混淆：混淆内心、外心的定义：分不清是角平分线交点还是垂直平分线交点。 认知偏差：三角形外心位置与三角形的形状有关：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部；而三角形的内心只在三角形的内部。 基础薄弱：审题不仔细，题干文字 “内切圆、外接圆、内接、外切” 看错，导致错误。 【例5】（2025·江苏扬州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 内切圆、切三边、角平分线 → 找内心 外接圆、过三顶点、垂直平分线 → 找外心 【知识链接】 内心 形成：三角形三条角平分线交点 对应圆：内切圆 相等距离：到三条边距离相等 外心 形成：三边垂直平分线交点 对应圆：外接圆 相等距离：到三个顶点距离相等 变式迁移 【变式5-1】（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【变式5-2】（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【变式5-3】（2025·江苏泰州·三模）综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 易错点6 忽略切线长定理 错因剖析 概念混淆：混淆切线性质与切线长定理，切线性质侧重「切线垂直半径」；切线长定理侧重「线段相等、角平分」，学生常只记得垂直，完全遗忘切线长等量关系 认知偏差：多图形组合、四边形与圆综合、三角形内切圆题型中，看不到多组切线长相等关系，无法转化边长。 基础薄弱：不会利用切线长定理进行线段拆分与代换，尤其内切圆、直角三角形、菱形与圆结合题型。。 【例6】（2025·江苏盐城·三模）如图，和是的切线，点B和点C是切点，是的直径，已知，则______． 避错秘籍 【防错指南】 看见：圆外一点 + 两条切线，第一时间联想切线长定理； 圆内切多边形计算，优先用切线长分段转化，减少方程数量； 规范答题句式： 是 的两条切线 （切线长定理） 区分：单一切线用切线性质，双切线必用切线长定理。 【知识链接】 圆外切四边形性质：对边之和相等； 直角三角形内切圆半径公式：，由切线长定理推导而来； 双切线 + 半径：构成一组全等直角三角形。 基本解题思路： 1、一点两切线 线段相等、角相等； 2、三角形内切圆 三组切线长两两相等，快速求边长、周长； 3、圆外切四边形 对边之和相等。 变式迁移 【变式6-1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【变式6-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 易错点7 扇形面积公式、弧长公式 错因剖析 概念混淆：混淆弧长公式与扇形面积公式，两个公式记混、写反，系数、乱用。 认知偏差：组合图形中，不会拆分扇形＋三角形求弓形、阴影面积，漏加、漏减。 基础薄弱：分数运算、代数式化简能力薄弱，公式应用不熟练。 【例7】（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 避错秘籍 【防错指南】 先找：半径、圆心角 再套对应公式，能约分先约分，结果保留。 不规则阴影面积，先确定可求图形面积的和差关系，再分别计算。 【知识链接】 设：圆心角，半径 弧长公式： 扇形面积两种形式： 变式迁移 【变式7-1】（2026·江苏无锡·一模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 【变式7-2】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 易错点8 与圆锥有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆圆锥与侧面展开扇形的对应关系：扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面周长，经常记反。 认知偏差：忽略底面半径r，高h，母线l，三者围成一个圆锥中的直角三角形：， 基础薄弱：含运算、分数约分、根式化简能力弱，计算步骤繁琐易出错。 【例8】（2026·江苏常州·一模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 避错秘籍 【防错指南】 定三量：先标出 （底面半径）、（高）、（母线），杜绝代错数； 找等量：遇展开问题，确定圆锥与扇形的对应关系，「扇形弧长 = 底面周长」列方程； 看题型：求侧面积只用，求全面积必须加底面圆面积。 【知识链接】 侧面展开扇形半径 圆锥母线 侧面展开扇形弧长 圆锥底面周长 圆锥构成直角三角形： 圆锥侧面积： 圆锥全面积： 侧面扇形圆心角推导： 变式迁移 【变式8-1】（2026·江苏南京·模拟预测）若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 【变式8-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______． 1. （2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 2. （2025·江苏连云港·三模）如图，已知、、、、均在上，且为的直径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3. （2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4. （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5. （2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6. （2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7. （2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 8. （2026·江苏泰州·一模）圆锥体的底面半径为2，侧面积为．则其圆锥体的母线长是___ ． 9. （2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 10. （2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 11. （2025·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 12. （2026·江苏盐城·一模）已知中，，延长到点D，使，过点A、D分别作、的平行线交于点E，连接，则线段的取值范围为______． 13. （2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14. （2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 15. （2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点在上，点是半径上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点．过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的半径； ②如果点在的延长线上，其它条件不变，则的半径为__________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 易错点 2 垂径定理及应用 易错点 3 忽略题图中圆的内接四边形 易错点 4 切线的判定与性质 易错点 5 混淆三角形的内心和外心 易错点 6 忽略切线长定理 易错点 7 扇形面积公式、弧长公式 易错点 8 与圆锥有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 错因剖析 概念混淆：只记结论不记前提“同圆或等圆中”，对 “四组量（圆心角、圆周角、弧、弦）的等价关系” 理解片面。 认知偏差：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），对应两类圆周角，往往只算一种。 基础薄弱：不会利用弧相等→角相等进行倒角。 【例1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能丢：没有 “同圆或等圆”，弦相等≠弧相等，角相等≠弧相等。 一弦对两弧：弦对应优弧、劣弧，对应两个互补的圆周角，无图题一定双解。 倍半别搞反：圆心角大，圆周角小，永远是 “圆周角 = 1/2 圆心角”。 【知识链接】 四组等量关系 同圆或等圆中： 弧相等 ⇄ 圆心角相等 ⇄ 圆周角相等 ⇄ 弦相等 ⇄ 弦心距相等 重要推论 同弧或等弧所对圆周角相等； 相等的圆周角所对弧相等； 直径 ⇌ 90° 圆周角； 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∴． 【变式1-2】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 【变式1-3】（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则__________°．    【答案】85 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 易错点2 垂径定理及应用 错因剖析 概念混淆：混淆垂径定理及其推论的前提条件，导致推理逻辑错误。 认知偏差：忽略垂径定理的前提条件、推论的限制条件，不会构造直角三角形。 基础薄弱：垂径定理的辅助线构造方法不熟练，勾股定理应用能力薄弱，对 “弦、弦心距、半径” 的转化模型掌握不足，书写规范意识差。 【例2】（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 避错秘籍 【防错指南】 前提不能漏：没有 “过圆心（直径）”，再垂直于弦也不能用垂径定理； 限制不能丢：推论中 “平分弦” 必须强调 “不是直径”，否则结论不成立； 无图必分类：涉及弦、弧的无图题，必考虑优弧 / 劣弧、弦在圆心的不同侧（特殊情况除外）； 辅助线必作：遇到弦长、弦心距、半径计算，必作 “过圆心作弦的垂线”，构造直角三角形。 【知识链接】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。 垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 垂径定理的核心模型：半弦长（）、弦心距（d）、半径（r） 满足勾股定理： 变式迁移 【变式2-1】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，，∴，由勾股定理得，则解得． 【变式2-2】（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理以及 可得，然后证明，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， 则， ∵与小圆相切于点， ∴ ∴ ∵为的中点，经过圆心， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵已知， ∴当已知时，即可求解．故C符合题意． 易错点3 忽略题图中圆的内接四边形 错因剖析 概念混淆：对「四点共圆→内接四边形特有性质」理解模糊，与平行四边形性质混淆。 认知偏差：缺乏整体识图意识，不会主动挖掘图形中隐藏的四点共圆模型。 基础薄弱：不会利用圆内接四边形进行快速倒角，角度推导思路单一。 【例3】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴． 避错秘籍 【防错指南】整体识图，主动挖掘隐藏模型 看圆先看点：只要有四个点同时在圆周上，立刻反应：圆内接四边形； 遇求角度、倒角题，优先先用内接四边形性质，再用圆周角、三角形内角和； 复杂组合图形，圈出圆上多点，快速锁定内接四边形，补全隐藏条件。 【知识链接】 圆内接四边形的性质 ① 对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为； ② 外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。 注意：四个顶点都在同一个圆上，才是圆内接四边形，才可使用以上两条性质。 变式迁移 【变式3-1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可证明是等边三角形，得到，再由圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴点O在上， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 【变式3-2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 易错点4 切线的判定与性质 错因剖析 概念混淆：只证明 “直线⊥半径”，忽略经过半径外端点，直接判定为切线。 认知偏差：审题不抓关键，缺乏模型识别意识，不会区分 “有切点、无切点” 两类切线证明套路。 基础薄弱：几何证明跳步严重，缺少关键依据，扣分严重。 【例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是菱形，理由见详解 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 避错秘籍 【防错指南】证明切线的基本思路 1、已知直线与圆有公共点（有切点） 口诀：连半径，证垂直 连接圆心和公共点，证明夹角为。 2、未知公共点，直线与圆位置不确定 口诀：作垂直，证半径 过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 【知识链接】 切线性质： 直线是圆的切线 切线过切点的半径。 切线判定（两个条件缺一不可）： ① 直线经过半径外端点； ② 直线与这条半径互相垂直； 同时满足 直线是圆的切线。 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点连线平分两条切线夹角。 变式迁移 【变式4-1】（2026·江苏扬州·一模）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，，推出，根据弧长公式可得，利用三角形的外角性质可得，即可判断； （2）连接，根据含的直角三角形的性质可求出，进而得到，由可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ，， ，， ， ， 的半径为， 长为，   ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线与相切； （2）如图，连接， 由（1）得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据垂径定理可得，再由，可得，从而得到，即可得出结论； （2）由，可得，进而可得，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理可求出即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是直径， ∴， ∴， ∴ 即的半径为． 【变式4-3】（2025·江苏南京·一模）如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【分析】（1）连接交于H，根据切线的性质和平行线的性质可得出，故垂径定理得出，然后根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）①根据弧、弦的关系以及圆周角定理得出，根据角平分线的定义得出，结合三角形的外角的性质可得出，最后根据等角对等边可判断出；设，则，，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可求解； ②证明，根据相似三角形的性质求出，，由①知，则可求，，，，证明，根据相似三角形的性质求出，则，，根据勾股定理求出，连接，在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键． 易错点5 混淆三角形的内心和外心 错因剖析 概念混淆：混淆内心、外心的定义：分不清是角平分线交点还是垂直平分线交点。 认知偏差：三角形外心位置与三角形的形状有关：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部；而三角形的内心只在三角形的内部。 基础薄弱：审题不仔细，题干文字 “内切圆、外接圆、内接、外切” 看错，导致错误。 【例5】（2025·江苏扬州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆，三角形的内心的意义，圆周角定理，等边对等角，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出待求角．先利用等边对等角，求得，再利用三角形的内角和定理求得，然后利用三角形内心的意义求得的度数． 【详解】解：连结， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴． 故选： C． 避错秘籍 【防错指南】 内切圆、切三边、角平分线 → 找内心 外接圆、过三顶点、垂直平分线 → 找外心 【知识链接】 内心 形成：三角形三条角平分线交点 对应圆：内切圆 相等距离：到三条边距离相等 外心 形成：三边垂直平分线交点 对应圆：外接圆 相等距离：到三个顶点距离相等 变式迁移 【变式5-1】（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵为的直径， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ，即， 解得：（负值舍去）， 【变式5-2】（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． （3）如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 【变式5-3】（2025·江苏泰州·三模）综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①B；② 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； （）作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，，等腰三角形的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可； （3）①同理（2）得，则有，然后可得，进而根据完全平方公式可进行求解；②过点M作于点G，连接，过点O分别作，则有，然后可得设，，进而可得，最后根据二次函数的性质及三角函数可进行求解． 【详解】解：（）如图， ∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 则，，， 是内心， ， ， ． 、、三点共线， ， 设内切圆半径为， ，， ， ，则， 又， ，则内切圆的半径为． 故答案为：． （3）①如图，作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 同理（2）得， ， ∵，， ∴，即， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∴， 故B正确， 故答案为：B； ②过点M作于点G，连接，过点O分别作，如图所示： ∵点O为内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由①知， ∴， ∴的内切圆半径为，即， 设， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当点N与点B重合时，过点M作于点H，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴当时，的面积有最小值，最小值为； ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理及三角函数，掌握以上知识点是解题的关键． 易错点6 忽略切线长定理 错因剖析 概念混淆：混淆切线性质与切线长定理，切线性质侧重「切线垂直半径」；切线长定理侧重「线段相等、角平分」，学生常只记得垂直，完全遗忘切线长等量关系 认知偏差：多图形组合、四边形与圆综合、三角形内切圆题型中，看不到多组切线长相等关系，无法转化边长。 基础薄弱：不会利用切线长定理进行线段拆分与代换，尤其内切圆、直角三角形、菱形与圆结合题型。。 【例6】（2025·江苏盐城·三模）如图，和是的切线，点B和点C是切点，是的直径，已知，则______． 【答案】/70度 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，由切线的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由圆周角定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是的切线，点B和点C是切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 看见：圆外一点 + 两条切线，第一时间联想切线长定理； 圆内切多边形计算，优先用切线长分段转化，减少方程数量； 规范答题句式： 是 的两条切线 （切线长定理） 区分：单一切线用切线性质，双切线必用切线长定理。 【知识链接】 圆外切四边形性质：对边之和相等； 直角三角形内切圆半径公式：，由切线长定理推导而来； 双切线 + 半径：构成一组全等直角三角形。 基本解题思路： 1、一点两切线 线段相等、角相等； 2、三角形内切圆 三组切线长两两相等，快速求边长、周长； 3、圆外切四边形 对边之和相等。 变式迁移 【变式6-1】（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 【变式6-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）运用切线长定理和切线的性质得出，，，从而证明； （2） 由可得，继而得到，于是求出，． 【详解】（1）解：证明：∵，是圆的切线， ∴，，， 又∵， ∴， （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 易错点7 扇形面积公式、弧长公式 错因剖析 概念混淆：混淆弧长公式与扇形面积公式，两个公式记混、写反，系数、乱用。 认知偏差：组合图形中，不会拆分扇形＋三角形求弓形、阴影面积，漏加、漏减。 基础薄弱：分数运算、代数式化简能力薄弱，公式应用不熟练。 【例7】（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 先找：半径、圆心角 再套对应公式，能约分先约分，结果保留。 不规则阴影面积，先确定可求图形面积的和差关系，再分别计算。 【知识链接】 设：圆心角，半径 弧长公式： 扇形面积两种形式： 变式迁移 【变式7-1】（2026·江苏无锡·一模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 【答案】 / 【分析】根据题意得到重物上升的高度为点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为． 【变式7-2】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 易错点8 与圆锥有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆圆锥与侧面展开扇形的对应关系：扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面周长，经常记反。 认知偏差：忽略底面半径r，高h，母线l，三者围成一个圆锥中的直角三角形：， 基础薄弱：含运算、分数约分、根式化简能力弱，计算步骤繁琐易出错。 【例8】（2026·江苏常州·一模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，明确圆锥侧面展开图的性质，即扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，根据圆锥侧面积计算即可． 【详解】解：． 避错秘籍 【防错指南】 定三量：先标出 （底面半径）、（高）、（母线），杜绝代错数； 找等量：遇展开问题，确定圆锥与扇形的对应关系，「扇形弧长 = 底面周长」列方程； 看题型：求侧面积只用，求全面积必须加底面圆面积。 【知识链接】 侧面展开扇形半径 圆锥母线 侧面展开扇形弧长 圆锥底面周长 圆锥构成直角三角形： 圆锥侧面积： 圆锥全面积： 侧面扇形圆心角推导： 变式迁移 【变式8-1】（2026·江苏南京·模拟预测）若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 【答案】180 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为． 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，根据弧长公式可得 解得． 【变式8-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______． 【答案】 【分析】解：判断生日帽无底面，所求外表面积为圆锥侧面积，先利用勾股定理求出圆锥母线长，再代入圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，由题意得，. 根据勾股定理可得： 圆锥侧面积公式为，代入得： 1. （2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【分析】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2. （2025·江苏连云港·三模）如图，已知、、、、均在上，且为的直径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握知识点，正确作出辅助线是解题的关键．连接，，由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得，，进而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 为直径， ， ，， ， 故选：C． 3. （2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 4. （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折可得，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得，，， ∴， ∴． 故选：C． 5. （2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质易证是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长度为． 6. （2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 7. （2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 【答案】C 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理先求解圆锥的母线长，再求出圆柱和圆锥的侧面积，即可得到油毡纸的面积，即可求解费用． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴买油毡纸要花费的费用（元）． 8. （2026·江苏泰州·一模）圆锥体的底面半径为2，侧面积为．则其圆锥体的母线长是___ ． 【答案】4 【详解】解：由圆锥侧面积公式， ，， ， 解得：． 9. （2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 【答案】/85度 【分析】通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 10. （2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11. （2025·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，设交于点，由矩形的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则，因为点是的内心，所以，可证明，则，进而证明，得，推导出，再证明，得，则，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接，可证明，且点为切点，推导出，再证明，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵点是的内心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ， ， 如上图，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接， ∵与相切，且于点， ∴，且点为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ∴解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12. （2026·江苏盐城·一模）已知中，，延长到点D，使，过点A、D分别作、的平行线交于点E，连接，则线段的取值范围为______． 【答案】 【分析】先证得四边形是平行四边形，再确定点A的轨迹是在以为弦的圆弧上，求出弦所对的圆心角，设B为坐标原点，直线为x轴，建立坐标系，再确定点E的轨迹，及圆心坐标，求出，即可解答． 【详解】解：∵，延长到点D，使， ∴，， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵中，， ∴点A在以为弦的圆弧上，弦所对的圆心角为， 设这个圆的圆心为，半径为R， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A在这个圆上运动（不含B、C两点）， 作，于点F， ∴， 设B为坐标原点，直线为x轴，则：，，， 设点，则由（即平行于x轴），， ∵，， 点E的轨迹，就是点A的轨迹圆向右平移6个单位得到的圆，半径仍为2， ∴，，， ， 点E在圆，因此的取值范围为： ，即． 13. （2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接， 根据是的切线，得出，根据是劣弧的中点，得出，证明， 结合，即可证； （2）连接，交于点， 证明四边形是矩形，得出，证明， 求出，在中，勾股定理求出 ，则，根据垂径定理，得出，最后在中，根据勾股定理求解即可 ； 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， 是劣弧的中点， ， ∴， 又， ， ， ， ∵， ∴； （2）解：连接，交于点， 是的直径， ，即， 又，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ， 即， ∴， 在中： ， ∴， ∵，， ∴， ∴根据垂径定理，是中点， ， 在中： ． 14. （2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 15. （2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点在上，点是半径上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点．过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的半径； ②如果点在的延长线上，其它条件不变，则的半径为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据切线的性质以及得出，根据，即可得出，再根据等角对等边，即可得证； （2）①连接交于点，设，则，得出，根据表示出，再根据得出，证明，可得，即可得出； ②根据①的方法求解，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点， ∵，， 设，则， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ②如图，当在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，则， 即的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $