18.1 矩形（第2课时 矩形的判定定理及应用）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

18.1 矩形 第2课时 矩形的判定定理及应用 第十八章 矩形、菱形与正方形 章节导读 18.1矩形 18.2菱形 菱形的判定定理1 菱形的定义与性质定理 矩形的性质定理的应用 矩形的定义与性质定理 菱形的性质定理的应用 菱形的判定定理2 正方形的性质 18.3正方形 矩形的判定定理 矩形的判定定理的应用 直角三角形的性质 2 学 习 目 标 1 2 3 类比于平行四边形的判定探究方式，从矩形的性质出发，经历猜想与证明的完整过程，理解矩形的判定定理 ； 掌握矩形的判定定理1、2； 能利用矩形的判定定理进行初步计算和证明。 复习回顾 什么是矩形？它具有哪些性质： ① 有一个角是直角的平行四边形；（定义） ② 四个角都是直角；（性质定理1） ③ 对角线相等；（性质定理2） 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一般性质外，还具有以下特殊性质： 能利用这些性质，判断一个图形是否是矩形吗？ 4 情景导入 小明想在阳台上做几个长方形状的木花架，但他不知道做出来的成品是否是规范的长方形。 做木工的爸爸告诉他可以用量角工具 测量四个角，看是不是都是90°。只是爸 爸把工具放在工地上了，没带回家。 还有其他方法可以判断吗？ 新知探究 定义判定矩形 我们可以根据矩形的定义加以判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 还有其他的判定方法吗？ 由矩形的性质，逆向思考，你认为可能有哪些判定方法？ 几何语言 在□中， ∵∠A=90°， ∴四边形是矩形 6 新知探究 矩形的判定定理1 思考：由矩形的性质“四个角都是直角”，可以想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形。如果只有三个角是直角呢？ 我们可以尝试先从“角”进行讨论 作一个三个角都是直角的四边形 试一试 1.任意作两条互相垂直的线段； 2.过点作垂直于的直线； 3.过点作垂直于的直线，交于点，即得一个三个角都是直角的四边形. D A B C l m 和旁边同学进行比较，它是一个矩形吗？ 7 矩形的判定定理1 文字表述：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言：在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 归纳总结 矩形的判定定理1 你能根据矩形的定义进行证明吗？试一试。 8 新知探究 矩形的判定定理1 已知:如图,四边形 求证:四边形是矩形. 证一证 分析：要证明四边形ABCD是矩形,只需证明四边形ABCD是平行四边形即可. 又∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 证明:∵∠A+∠B=180°, 　 ∴AD∥BC. 　 ∵∠B+∠C=180°, 　 ∴AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 9 拓展探究 矩形的判定定理1 思考：如果只知道四边形的两个角是直角，或者一个角是直角。那么能否判断这个四边形是矩形呢？能画出反例吗？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) 10 新知探究 矩形的判定定理2 思考：由矩形的性质“对角线相等”，可以进行怎样的猜想呢？与同桌交流一下，看看你们的想法是否一致。 现在我们再思考从有关的线段来讨论 (1)对角线相等的四边形是矩形吗? (2)对角线相等的平行四边形是矩形吗? 不是 是 你能证明这个结论吗？ 11 新知探究 矩形的判定定理2 作一个对角线相等的平行四边形. 试一试 1.任意作两条互交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧， 交两条直线于四点； 3.顺次连结四点，即得平行四边形. 试着推理证明！ O A B C D 12 新知探究 矩形的判定定理2 已知：如图,在□中,是它的两条对角线, 求证：□是矩形. 证一证 证明：∵四边形是平行四边形， ∴. 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). A B C D 13 矩形的判定定理2 文字表述：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言：在中， ∵， ∴是矩形. 归纳总结 矩形的判定定理2 注意：这里的前提条件与判定定理1不同哦！ 因此，小明还可以用测量对角线的方法，来检验花架是否是长方形. 14 典例分析 例1 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形. 矩形的判定定理的应用 分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形是平行四边形，再证明对角线和相等，即可得证. 证明：∵四边形是矩形， ∴. ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形. ∵即 ∴四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). O D C F B A E G H 15 典例分析 例2 如图，四边形是由两个全等的正三角形和组成的，分别为的中点.求证：四边形是矩形. 矩形的判定定理的应用 分析：由已知条件，可知，因此，在四边形中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形. 证明：∵△ABD 和 △BCD 是全等的正三角形， ∴∠ADB =∠CDB = 60°. 又∵ M、N 分别为 BC、AD 的中点， ∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM = ∠BDC = 30°， ∴∠DNB =∠DMB = 90°， ∠MDN =∠ADB +∠BDM = 90°， ∴四边形 BMDN 是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形). 16 典例分析 例3 如图，在中，，垂足为点是的外角的平分线，，交于点. 求证：四边形 是矩形. 矩形的判定定理的应用 分析：根据已知条件，我们可以先通过证明四边形 是平行四边形，得到，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理. 证明 ∵ AB = AC，AD⊥BC， ∴∠B = ∠ACB，BD = DC. 又∵AE 是△ABC 的外角∠CAF 的平分线， ∴， ∴ AE∥BC. 又∵AB∥DE， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形. ∴ AE = BD，AB = DE， ∴ AC = DE，AE = DC. 又∵ AE∥DC， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. ∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 17 归纳总结 综合利用性质与判定证明矩形 矩形性质 + 判定综合解题技巧 一、先分清：矩形性质和判定（核心基础） 1. 矩形性质（已知是矩形，能推出什么） （1）四个角都是直角；（2）对边平行且相等；（3）对角线相等且互相平分； （4）是特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质 2. 矩形判定（要证明是矩形，走3条路） （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）角判定：三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形 关键口诀：①证平行四边形+一个直角/对角线相等；②直接四边形找三个直角。 二、综合证明通用解题步骤（套路固定） 1. 先看题干：给的是普通四边形、平行四边形，还是三角形？ 2. 第一步优先证平行四边形。大部分矩形证明：先证平行四边形，再补一个矩形条件（最常用、最简单） 3. 第二步补矩形条件（二选一）→找一个角=90°；→找对角线相等 4. 最后写结论：该平行四边形为矩形 18 1.如图，是⊙的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论. 随堂练习 基础过关(P119) 解: 四边形 ABCD 是矩形. 证明如下: ∵ AB、CD 是☉O 的两条直径， ∴ OA ＝OB，OC ＝OD， ∴ 四边形 ACBD 是平行四边形. 又∵ AB ＝CD， ∴ 四边形 ACBD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). A D B C O 19 随堂练习 基础过关(P119) 2.如图，在□中，. 此时，四边形是矩形吗？为什么？ 解: 四边形是矩形. 理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴ . 又∵ ， ∴ ∴ ∴ 四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. A B D C O 2 1 20 随堂练习 基础过关(P119) 3.如图，在四边形中，，与互相平分并相交于点，求证：四边形是矩形. 解: ∵ 与互相平分， ∴ . 又∵ ，∴ (SAS) ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ 四边形是平行四边形. 又∵ ，∴ 四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). D A B C F E O 21 随堂练习 4. 下列说法中，能判定四边形是矩形的是( ) A.有两个角为直角的四边形 B.对角线互相平分的四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相平分且相等的四边形 能力提升 可作为判定定理2的推论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 22 随堂练习 能力提升 5. 如图，在中，分别是 的平分线.求证：四边形是矩形. 证明： 四边形 是平行四边形， . 、分别平分、 ， ， ， ， ， 同理可得 ， 四边形 是矩形. 23 随堂练习 能力提升 6. 如图，四边形是平行四边形，延长至点 ，使 ，连结、和，且.求证：四边形是矩形. 证明： 四边形 是平行四边形， ，， . 延长至点，使 ， ， ， 四边形 是平行四边形. ， ， 四边形 是矩形. 24 课堂小结 矩形的几种判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 . 定义： 判定定理1： 判定定理2： （对角线互相平分且相等的四边形是矩形.） 感谢聆听! $