18.1 矩形（第1课时 矩形的性质及应用）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

18.1 矩形 第1课时 矩形的性质及应用 第十八章 矩形、菱形与正方形 章节导读 18.1矩形 18.2菱形 菱形的判定定理1 菱形的定义与性质定理 矩形的性质定理的应用 矩形的定义与性质定理 菱形的性质定理的应用 菱形的判定定理2 正方形的性质 18.3正方形 矩形的判定定理 矩形的判定定理的应用 直角三角形的性质 2 学 习 目 标 1 2 3 知道矩形与平行四边形的区别与联系，理解一般与特殊的关系； 认识矩形，归纳推理矩形的性质定理； 利用矩形的性质定理进行计算和证明。 复习回顾 平行四边形的一般性质： A B D C O 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心对称 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 4 新知探究 矩形 试一试 根据给定的平行四边形相邻两边的长，作出一个平行四边形. 步骤： ①用圆规取线段长，以任意角度做相邻两边； ②连结； ③以为顶点，为长画线段； ④以为顶点，为长画线段，交于点； ⑤四边形即为所求平行四边形。 与同伴所作图形对比一下 5 新知探究 矩形 定义：有一个角为直角的平行四边形叫作矩形. 观察发现它们都是平行四边形，相邻两边的长也一样。但是两邻边之间的夹角有大有小。 甲 乙 丙 其中丙图的一个内角为直角，这是一种特殊的平行四边形，即矩形（通常叫作长方形）。 矩形是一种特殊的平行四边形． 一个角是直角 6 新知探究 矩形 生活中的矩形 找一找 7 新知探究 矩形的性质 作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质。将你画得的矩形剪下折叠、测量，看看它有哪些特殊的性质，你观察到了什么？ 探索 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心对称 矩形的特殊性质 对边平行且相等 对角相等 轴对称 四个角都是直角 邻边垂直 对角线互相平分 对角线相等 8 归纳总结 矩形的对称性 作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线． 矩形的性质 ①矩形有两条对称轴，（注意：对角线不是对称轴！） ②对称中心是两条对角线交点 O。 归纳总结 矩形的性质定理1 文字表述：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° . 矩形的性质 矩形的性质定理2 文字表述：矩形的对角线相等。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD . 上述结论，你能证明吗？试一试。 新知探究 矩形的性质 对于性质定理1，我们可以根据矩形的定义和平行四边形角的性质加以证明． 证一证 证明：∵四边形是平行四边形,°, ∴ ∴, ∴, ∴. 即. 已知：四边形是矩形，。 求证： 11 新知探究 矩形的性质 对于性质定理2，我们可以找到对角线分别所在的三角形，借助性质定理1证明这两个三角形全等，从而得到结论． 证一证 已知：四边形是矩形. 求证：. 证明：在矩形中, ∵， 又∵, ∴, ∴ A B C D 12 典例分析 例1 如下图，矩形被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？ 矩形的性质的应用 解: ∵四个 小三角形周长的和为86cm， ∴ 又∵(矩形的对角线相等)， ∴(cm )， 即矩形ABCD的周长等于34cm. A B C D O 13 典例分析 例2 如图，在矩形中，，垂足为点 . 求的长. 矩形的性质的应用 A B D C E 说一说你的解题思路 分析：△ABC 为直角三角形 它的面积既可以用底和高来求. 也可以用两条直角边来求. 列出等式，从而求出 BE 的长. 解：在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°， = 5. 又∵ ∴. 归纳：等面积法的使用 14 典例分析 例3 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，cm. 求的长. 矩形的性质的应用 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）. ∴AO = AC = 7.5. ∵AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = 7.5 . 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm . A B C D O E 15 归纳总结 矩形的性质 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 几何语言： ∵四边形是矩形, ∴. ∴ . ∴ . A B C D O ∴ . 矩形的性质 ∴ 1.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，试找出图中相等的线段和相等的角. 随堂练习 基础过关(P114) 解: 相等的线段:AB＝CD，BC＝AD，BD＝AC， OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角: ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB ＝ 90°， ∠OBA ＝∠OAB ＝∠ODC ＝∠OCD， ∠OAD ＝∠ODA ＝∠OBC ＝∠OCB， ∠BOC ＝∠AOD，∠AOB ＝∠COD. A B C D O 17 随堂练习 基础过关(P114) 2.如图，矩形的两条对角线相交于点， 求证： 证明: ∵ 四边形是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC＝OB ＝OD ＝ BD. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOD ＝120°，∴ ∠AOB ＝180°－∠AOD ＝60°.∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB ＝OA. ∴ AC ＝2OA＝2AB. A B D C O 18 随堂练习 基础过关(P114) 3. 如图，在矩形中，点在边上. 将该矩形沿折叠，恰好使点落在边上的点处. 如果， 求的大小. 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ ∠BAD ＝90°. ∵ ∠BAF ＝60°， ∴ ∠DAF ＝∠BAD－∠BAF ＝90°－60°＝30°. 根据图形折叠的性质， 得∠DAE ＝∠FAE ＝ ∠DAF ＝ ×30°＝15°. A B C D F E 归纳：1.折叠：将某个图形沿某条直线翻折一定的度数得到的新的图形(若翻180°即为轴对称)．折叠前后的两个图形全等； 2.解决折叠常用的方法：勾股定理与面积法； 3.解决折叠常用的思想：方程思想． 19 1.如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系. 随堂练习 基础过关(P115) 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ AD∥BC，AB ⊥ BC， ∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长， ∴ . ∵ ，∴ ， 即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半. A B C D E 20 随堂练习 基础过关(P115) 2.如图，在矩形中，对角线与相交于点，， . 求的长.（精确到 0.1） 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB ＝OD＝ BD，∠BAD = 90°.∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形. ∴ OA ＝AB = 3.6. ∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2， 即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2. A B D C O 21 随堂练习 基础过关(P115) 3.如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边长 分别为8和15.求点P到矩形的两条对角线和的距离之和. （提示：记对角线与的交点为点，连结） 解: 如图，过点 P作PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD于点 F，连结 OP . ∵ 在矩形 ABCD 中，∠ABC ＝ 90°，AB ＝8，BC ＝15， ∴ BD ＝AC ＝ ＝ ＝17. ∴ OA ＝OD ＝ AC ＝ . 又， S△AOD ＝ S△ABD ， A B C D O P E F ∴ S△ABD ＝ S△AOP + S△POD . ∴ ××15×8 ＝ ×·PE + ×·PF， ∴ PE + PF ＝ ，即点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和为 . 22 随堂练习 4. 如图，已知矩形，,平分交于点 ，点、分别为、的中点，则的长为_____. 能力提升 23 随堂练习 能力提升 5.如图,在矩形中,.求证:. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB. ∵BF=CE, ∴BF+EF=CE+EF,即BE=CF, ∴△ABE≌△DCF(SAS), ∴AE=DF. 24 随堂练习 能力提升 6.如图，将矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，求的面积． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴. 设，则. ∵在Rt中，， ∴， 解得，即. ∴. 25 课堂小结 矩形的相关概念及性质 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形 矩形具有平行四边形的一般性质 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 感谢聆听! $