精品解析：江西赣州市大余县部分学校2025-2026学年下学期九年级第一次学情调研数学试卷

2025－2026学年下学期九年级第一次学情调研数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，第小题3分，共18分） 1. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 5. 如图，点，将线段平移到线段，若，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题单选题（本大题共6小题，第小题3分，共18分） 7. 若有意义，则实数的取值范围是_______． 8. 因式分解：________． 9. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是______． 11. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则_________． 12. 如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列各题： （1）计算：． （2）如图，对角线，交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 14. 化简求值：，请从中选一个合适的数代入求值． 15. 如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 16. 某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去． （1）请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果； （2）你认为这个规则公平吗? 请说明理由． 17. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 四、（本题共3小题．每小题8分，共24分） 18. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）设直线与x轴交于点C，求的面积 20. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 五、（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知是直径，且．C、D是上的点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）若，试证明是的切线． 22. 掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； （3）如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 六、（本题共12分） 23. 【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　． 【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期九年级第一次学情调研数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，第小题3分，共18分） 1. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】选项A，C既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； 选项B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 选项D是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分可重合；判定中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，与原图形重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法，乘方的符号性质逐一计算即可判断． 【详解】解：选项A：，故本选项正确，符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项错误，不符合题意； 3. 《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，根据题意每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱列出二元一次方程组. 【详解】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人， 依题意可得 故选：B 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组. 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式，依次验证各选项即可得到正确结论. 【详解】解：A选项：把代入解析式， 可得：， 反比例函数的图象不经过点， 故A选项错误； B选项：反比例函数中， 反比例函数图象位于第二、四象限， 故B选项错误； C选项：反比例函数中， 当时，随的增大而增大，不是减小， 故C选项错误； D选项：当时，， ， 又，可得：， 两边同乘，不等号方向改变， 可得：， 即， ， 故D选项正确． 5. 如图，点，将线段平移到线段，若，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点H，证明，由相似三角形的性质得点C的坐标，根据平移的性质即可求得点D的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点H，如图所示：则， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为， ∵点B向右平移6个单位长度再向上平移2个单位长度得到点C，且线段平移到线段， ∴点A向右平移6个单位长度再向上平移2个单位长度得点． 【点睛】作垂线构造相似三角形是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，是边上的三等分点，，， ， ， ， ， 过点作，则， ， ， ， ， ． 二、填空题单选题（本大题共6小题，第小题3分，共18分） 7. 若有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解不等式得． 8. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 9. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；根据垂径定理的性质可知线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心，然后再根据勾股定理求得半径即可；熟知垂径定理的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作线段与线段的垂直平分线，交点即为圆心 由图可知点的坐标为： 的半径是 故答案为： 11. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的性质是解题关键．作于H，由题知是的平分线，根据角平分线的性质可得 ，再求得，，则可得，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，作于H， 由题知是的平分线， 又∵，， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2． 12. 如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决此题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论；因为三角形的三条边中只要两条边相等就是等腰三角形，所以分三种情况讨论，得到答案即可； 【详解】解：点 为边 上一点，当 为等腰三角形时，如图， ① 当 时， ， ② 当 时， ， ③当时，点P在的延长线上，此种情况舍去； 故答案为： 或 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列各题： （1）计算：． （2）如图，对角线，交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）18 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先计算乘方，零指数幂和绝对值，然后计算即可； （2）根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 14. 化简求值：，请从中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先计算括号内的加减，再算除法，结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可． 【详解】解： • ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 【点睛】注意分式有意义的条件，分母不能为． 15. 如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析 【解析】 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 16. 某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去． （1）请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果； （2）你认为这个规则公平吗? 请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）这个规则不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性列表法求概率； （1）列表可得所有等可能结果； （2）结合表格求出小云去和小南去的概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：两次摸球数字积的所有可能出现的结果列表如下： 【小问2详解】这个规则不公平， 由表知，共有9种等可能结果，其中两个数字之积为偶数的有5种结果，两个数字之积为奇数的有4种结果， 所以小云去的概率为，小南去的概率为 ∵ ∴这个规则不公平． 17. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】（1）A型每小时搬运，B型每小时搬运 （2）至少购进A型机器人14台 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 四、（本题共3小题．每小题8分，共24分） 18. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数． 【答案】（1）40，15 （2）这组数据的平均数是8.3，众数是9，中位数是8 （3）该校800名初中学生中，得分不低于9分的学生人数约为380 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中6分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和得分为7分的人数即可求出m； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据平均数、众数、中位数； （3）总人数乘以得分不低于9分的学生人数的所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：（分， 在这组数据中，9出现了12次，次数最多， 众数是9分， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第20，21名学生的分数都是8分， 中位数是（分， 即这40个样本数据平均数、众数、中位数分别是8.3分，9分，8分． 【小问3详解】 解：（名） 答： 该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数为380． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）设直线与x轴交于点C，求的面积 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围； （3）求出C点的坐标，从而求出的面积． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ， 将点，代入直线中得， ， 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集是或； 【小问3详解】 解：设与x轴交于点C， 令，得， 解得， ， ， ． 20. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 五、（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知是直径，且．C、D是上的点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）若，试证明是的切线． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数； （2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论； （3）通过证明，可得，即可求证． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 作， ∵， ∴半径为4， 则,, ∴, ∴； 【小问3详解】 由得 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为直径 ∴ ∴ ∴是的切线． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，切线的判定，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； （3）如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 【答案】（1） （2）这次投掷中嘉嘉的成绩是米 （3）①这次投掷中嘉嘉的成绩是米；②调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等；③抛物线和之间的最大竖直距离为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）设抛物线的解析式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入，解方程，即可求解； （3）①设解析式为，代入，，待定系数法求解析式即可求解； ②联立，解析式，即可求解； ③分，两种情况讨论，设和之间的竖直距离为，根据函数图象得出的解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． 设抛物线的解析式为，代入得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：当时， 解得：（舍去）或 答：这次投掷中嘉嘉的成绩是米； 【小问3详解】 解：①∵成绩提高2米．则与轴的交点为 ∵抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． 设解析式为，代入，得 解得： 答：调整出手角度后，实心球的最大高度为米； ②由①可得解析式为 联立 ∴ 解得：（舍去）， 答：调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等 ③解：设和之间的竖直距离为，当时， ∵，当时，取得最大值，最大值为 当时，， ∵时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 答：抛物线和之间的最大竖直距离为 六、（本题共12分） 23. 【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　． 【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积． 【答案】【探索发现 】；【拓展应用 】；【灵活应用 】该矩形的面积为720；【实际应用 】该矩形的面积为1944cm2． 【解析】 【分析】【探索发现 】由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得； 【拓展应用 】由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得； 【灵活应用 】添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现 】结论解答即可； 【实际应用 】延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用 】结论解答可得． 【详解】【探索发现 】 ∵EF、ED为△ABC中位线， ∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB， 又∠B=90°， ∴四边形FEDB是矩形， 则； 【拓展应用 】 ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴，即， ∴PN=a-PQ， 设PQ=x， 则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+， ∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为； 【灵活应用 】 如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K， 由题意知四边形ABCH是矩形， ∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16， ∴EH=20，DH=16， ∴AE=EH，CD=DH， 在△AEF和△HED中， ∵ ， ∴△AEF≌△HED（ASA）， ∴AF=DH=16， 同理△CDG≌△HDE， ∴CG=HE=20， ∴BI==24， ∵BI=24＜32， ∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上， 过点K作KL⊥BC于点L， 由【探索发现 】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720， 答：该矩形的面积为720； 【实际应用 】 如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H， ∵tanB=tanC=， ∴∠B=∠C， ∴EB=EC， ∵BC=108cm，且EH⊥BC， ∴BH=CH=BC=54cm， ∵tanB==， ∴EH=BH=×54=72cm， 在Rt△BHE中，BE==90cm， ∵AB=50cm， ∴AE=40cm， ∴BE的中点Q在线段AB上， ∵CD=60cm， ∴ED=30cm， ∴CE的中点P在线段CD上， ∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上， 由【拓展应用 】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2， 答：该矩形的面积为1944cm2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $