精品解析：江西九江外国语学校2025-2026学年度第七次综合练习九年级数学

江西九江外国语学校2025-2026学年度第七次综合练习九年级数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解全国中学生的身高状况 B. 了解某市垃圾分类情况 C. 了解某班同学的跳远成绩 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的次数是______． 8. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片，需要设计体积更小的晶体管．某晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为________． 9. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 11. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，若，，，则的长为___． 12. 如图，在中，，P为边上一点，当的两个内角之差为时，的长为___________． 三、解答题 13. 计算与证明 （1）计算： （2）已知，B、D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 朱老师楼下停车区有四个公用车位，如图，编号分别是1，2，3，4，每辆汽车停放时只能占用一个车位． 1 2 3 4 （1）汽车停在该停车区“5”号车位的事件是___________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）该停车区随机停放了两辆汽车，请用列表法或画树状图法求两辆车停在相邻车位的概率． 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作的垂直平分线； （2）在图2中作的外心O． 17. 手工社团的同学制作两种手工艺品和，需要用到彩色纸和细木条，制作1个手工艺品需要5张彩色纸和3捆细木条，制作1个手工艺品需要2张彩色纸和1捆细木条， （1）如果用了17张彩色纸和10捆细木条，制作两种手工艺品各有多少个？ （2）如果有60张彩色纸和足量的细木条，制作两种手工艺品共20个，手工艺品最多制作多少个？ 四、解答题 18. 热爱劳动是一种美德．如图为扫帚及其平面示意图，已知，，． （1）求证：； （2）求点到地面的距离．（参考数据：，结果保留小数点后一位） 19. 为了解某校八、九年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为400人． 对抽取的八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下： 平均数 方差 同时对抽取的九年级学生的调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】从九年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 9，8，6，10，8，8，7，3，6，7，7，5，8，4，8，5，7，6，8，6 【整理数据】结果如表： 次数x分组 画记 频数 丅 2 正一 6 正正 10 【分析数据】数据的平均数是，方差是． 【解决问题】回答下列问题： （1）___________， ___________．补全频数分布直方图； （2）九年级抽取的学生参加公益活动次数的中位数是___________，众数是___________； （3）请估计该校九年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数； （4）请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校八、九年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，C是线段上一点，点D在线段上，将沿翻折，得到． （1）求一次函数的表达式； （2）若点在反比例函数图象上，且，，求m的值及点C的坐标． 五、解答题 21. 如图，与相切于点，以为边作菱形，交于点C，D，E是对角线上一点，在，上取点F，G，使． （1）求证：是切线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的半径． 22. 已知正方形，E为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G．判断的形状，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：． 六、解答题 23. 定义：经过抛物线的顶点及其与轴交点的直线叫做抛物线的“相关直线”，抛物线称为该直线的“相关抛物线”．例如：抛物线的“相关直线”是． 【概念理解】 （1）抛物线的“相关直线”为___________；若，均为直线的“相关抛物线”，则_________，_________； （2）已知直线与抛物线及它的“相关直线”的交点分别为点A，B，求的最大值； 【拓展提高】 （3）直线的系列“相关抛物线”为（为正整数，），其顶点从左到右依次为，直线与系列“相关抛物线”位于第一象限的交点依次为，，如图所示． ①请用含的代数式表示，并求的长． ②已知，均为正整数，是否存在与相似？若存在，求出其相似比．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西九江外国语学校2025-2026学年度第七次综合练习九年级数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∴比小的数是． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项定义，完全平方公式，积的乘方法则，单项式乘单项式法则逐一判断选项正误． 【详解】解：∵ 和 不是同类项，不能合并， ∴ A错误． 选项B：∵ 根据完全平方公式可得 ， ∴ B错误． 选项C：∵ 根据积的乘方法则，， ∴ C错误． 选项D：∵ ，运算符合法则， ∴ D正确． 4. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解全国中学生的身高状况 B. 了解某市垃圾分类情况 C. 了解某班同学的跳远成绩 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查的适用条件，当调查范围小，调查对象数量少，调查无破坏性，要求结果准确时，适合采用全面调查，据此对各选项进行判断即可． 【详解】∵全面调查适用于调查对象数量少，范围小，无破坏性的调查场景， ∴对各选项分析如下： A选项，全国中学生数量多，范围广，适合抽样调查； B选项，某市垃圾分类调查范围大，对象数量多，适合抽样调查； C选项，某班同学人数少，范围小，适合采用全面调查； D选项，检测汽车抗撞击能力具有破坏性，适合抽样调查． 5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 6. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的次数是______． 【答案】 3 【解析】 【详解】解：单项式的次数为． 8. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片，需要设计体积更小的晶体管．某晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为，满足，为整数，根据规则确定和的值即可． 【详解】解：． 9. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得：，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 11. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，若，，，则的长为___． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质等知识，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据三角形中位线的判定以及性质即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 12. 如图，在中，，P为边上一点，当的两个内角之差为时，的长为___________． 【答案】 6 或8或 【解析】 【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，并求出，然后根据的两个内角之差为进行分类讨论：分别考虑与另外两个角的差为，以及另外两个角的差为的情况，结合三角形内角和定理及直角三角形的性质求解的长． 【详解】解：∵在中，， ∴，即， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∵P为边上一点，当的两个内角之差为， ∴当时，则如图， 此时； 当时，则，此时点P与点C重合，则； 当时，则，如图所示，过点P作，，垂足分别为D、E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴， 设，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴，即点P不在边上， ∴这种情况不存在； 综上，的长为6或8或． 三、解答题 13. 计算与证明 （1）计算： （2）已知，B、D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）3 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）结合负整数指数幂、特殊角的三角函数值、求绝对值、实数的加减运算即可得解； （2）结合平行线的性质与判定推出，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分母进行因式分解，通分计算括号内的加法，然后化除法为乘法，再约分化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 15. 朱老师楼下停车区有四个公用车位，如图，编号分别是1，2，3，4，每辆汽车停放时只能占用一个车位． 1 2 3 4 （1）汽车停在该停车区“5”号车位的事件是___________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）该停车区随机停放了两辆汽车，请用列表法或画树状图法求两辆车停在相邻车位的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类判断，停车区没有5号车位，该事件一定不发生，因此是不可能事件； （2）利用列表法列出所有等可能的结果，找出满足两辆车停在相邻车位的结果数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：已知停车区只有编号1，2，3，4的四个车位，不存在编号为5的车位，因此汽车停在“5”号车位是一定不会发生的事件，所以该事件是不可能事件． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两辆车停在相邻车位的结果有6种，所以两辆车停在相邻车位的概率为. 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作的垂直平分线； （2）在图2中作的外心O． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【小问1详解】 解：如图所示，的垂直平分线即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，的外心O即为所求： 17. 手工社团的同学制作两种手工艺品和，需要用到彩色纸和细木条，制作1个手工艺品需要5张彩色纸和3捆细木条，制作1个手工艺品需要2张彩色纸和1捆细木条， （1）如果用了17张彩色纸和10捆细木条，制作两种手工艺品各有多少个？ （2）如果有60张彩色纸和足量的细木条，制作两种手工艺品共20个，手工艺品最多制作多少个？ 【答案】（1） 制作手工艺品A有3个，手工艺品B有1个. （2） 手工艺品A最多制作6个. 【解析】 【分析】（1）根据两种手工艺品消耗彩色纸、细木条的总数量，设未知数后列二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）根据总制作个数和彩色纸总数的限制，设未知数后列一元一次不等式，结合手工艺品个数为正整数，即可求出A的最大制作个数． 【小问1详解】 解：设制作个手工艺品A，个手工艺品B， 根据题意得, 解得， 答：制作手工艺品A有3个，手工艺品B有1个． 【小问2详解】 解：设制作手工艺品A个，则制作手工艺品B个， 根据题意得， 解得， ∵是非负整数， ∴的最大值为6， 答：手工艺品最多制作6个． 四、解答题 18. 热爱劳动是一种美德．如图为扫帚及其平面示意图，已知，，． （1）求证：； （2）求点到地面的距离．（参考数据：，结果保留小数点后一位） 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出五边形的内角和为，求出，根据，得出，即可求出，故； （2）过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形，故，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据 即求解可． 【小问1详解】 证明：五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，过作于， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 因此到的距离： ． 19. 为了解某校八、九年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为400人． 对抽取的八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下： 平均数 方差 同时对抽取的九年级学生的调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】从九年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 9，8，6，10，8，8，7，3，6，7，7，5，8，4，8，5，7，6，8，6 【整理数据】结果如表： 次数x分组 画记 频数 丅 2 正一 6 正正 10 【分析数据】数据的平均数是，方差是． 【解决问题】回答下列问题： （1）___________， ___________．补全频数分布直方图； （2）九年级抽取的学生参加公益活动次数的中位数是___________，众数是___________； （3）请估计该校九年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数； （4）请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校八、九年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况． 【答案】（1）丅；2；补全频数分布直方图见解析 （2）7；8 （3）240人 （4）该校在此段时间内九年级学生比八年级学生参加公益活动次数多 【解析】 【分析】（1）利用频数之和为20可得“”的频数，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可； （4）根据平均数和方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：“”的频数为：，即 则画记丅， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：九年级学生在此段时间内参加公益活动次数从小到大排列为： 3，4，5，5，6，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，10 其中出现次数最多的为8， 则众数为8，中位数为：； 【小问3详解】 解：人， 答：该校九年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为240人； 【小问4详解】 解：因为八年级学生参加公益活动次数的平均数为，而九年级的平均数为， 则该校在此段时间内九年级学生比八年级学生参加公益活动次数多． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，C是线段上一点，点D在线段上，将沿翻折，得到． （1）求一次函数的表达式； （2）若点在反比例函数图象上，且，，求m的值及点C的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为 （2）m的值为1，点C的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点A、B分别代入一次函数中，建立二元一次方程组求得k、b的值，即可得解； （2）根据已知条件设，再设，利用翻折的性质列出方程求解并验根，得出m的值，再设点C的坐标为，利用翻折性质找等量关系，联立方程组求解，即可得出点C的坐标． 【小问1详解】 解：将点A、B分别代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，，， 设点C的坐标为， ∵点C在直线上， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， 化简得：， 联立方程组：， 解得：， ∴点C的坐标为． 五、解答题 21. 如图，与相切于点，以为边作菱形，交于点C，D，E是对角线上一点，在，上取点F，G，使． （1）求证：是切线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据切线的性质得出，根据菱形的性质得出，证明，得出，即，结合是的半径，即可证明是的切线； （2）在菱形中，，，，，证明，根据得出，结合，与三角形内角和定理得出，即，证出是等边三角形； （3）如图，作于点M，作于点N，作于点H，连接，设，由（2）知是等边三角形，证明，得出，进而得到，根据三角函数得到，进而得到的值，同理得到的值，根据得到，进而得到，根据求出，进而求出，即可求出，证明是等边三角形，根据圆周角定理及垂径定理得到，，根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，，， ∵与相切于，是的半径， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， 故是的切线； 【小问2详解】 证明：在菱形中，，，，， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∵与相切于，是的半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 在中，且， 故是等边三角形； 【小问3详解】 解：如图，作于点M，作于点N，作于点H，连接，设． 由（2）知是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 又∵， ， ∴，． ∴， ． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ，经检验，是原分式方程的解， ∴的半径是． 22. 已知正方形，E为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G．判断的形状，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先证明，进而判断出，即可得出结论； （3）先证明，由（1）知，，由（2）知，，则，即可判断出结论． 【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， 由（2）知，， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 六、解答题 23. 定义：经过抛物线的顶点及其与轴交点的直线叫做抛物线的“相关直线”，抛物线称为该直线的“相关抛物线”．例如：抛物线的“相关直线”是． 【概念理解】 （1）抛物线的“相关直线”为___________；若，均为直线的“相关抛物线”，则_________，_________； （2）已知直线与抛物线及它的“相关直线”的交点分别为点A，B，求的最大值； 【拓展提高】 （3）直线的系列“相关抛物线”为（为正整数，），其顶点从左到右依次为，直线与系列“相关抛物线”位于第一象限的交点依次为，，如图所示． ①请用含的代数式表示，并求的长． ②已知，均为正整数，是否存在与相似？若存在，求出其相似比．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；3；1 （2） （3）①；；②存在，相似比为或 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线的顶点坐标和轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得“相关直线”的解析式；先表示出的顶点坐标和直线与y轴的交点坐标，代入直线的解析式，即可求得，再把直线与y轴的交点坐标代入抛物线解析式即可求得； （2）根据定义先求得抛物线的“相关直线”的解析式，然后表示出A、B的坐标，根据距离公式和二次函数的性质即可解答； （3）①同（1）中方法，求得，然后总结出规律，即可求得，然后根据抛物线的对称性求得，然后总结出规律，表示出，即可解答； ②由①可知，，，可推出，则，进而总结出规律得到，，从而得到，，然后根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形，可推出满足时，，最后结合所得规律和k、t的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为；令，则，即抛物线与轴的交点为， 设抛物线的“相关直线”的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴抛物线的“相关直线”为； ∵，均为直线的“相关抛物线”， 的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴把，分别代入直线， 得；； 对于直线，令，则，即直线交y轴于， ∴把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴由（1）可知，该抛物线的“相关直线”为， 抛物线和直线的图象如图所示，当，点在点的上方， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：①∵的顶点坐标为， ∴把分别代入直线，得； 对于直线，令，则，即直线交y轴于， ∴把代入，得，解得； ∴， 同理，，，， ∴， ∴用含的代数式表示； ∵对于，点和点关于对称轴对称， ∴， 同理，，，， ∴； ②存在，相似比为或， 如图，连接， 由①可知，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴，同理可得， 由①可知， ∴对于与有，，，， ∴， ∴要使与相似， 则需要，即， ∴， ∵，均为正整数， ∴当或时满足题意，此时， ∴当时，相似比为； 当时，相似比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $