精品解析：江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

江西省2025届九年级第五次阶段适应性评估 数学 九年级全部内容 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位长度得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 同位角相等 B 圆内接四边形对角互补 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放 4. 如图，点，，，都在上，是的直径，．若，，则的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 10 5. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 一个立体图形，俯视图是，左视图是，要搭一个这样的立体图形，需要小正方体个数的情况有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若反比例函数图象经过点，则的值为________． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 9. 在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为________． 10. 若，是一元二次方程两个实数根，则的值为________． 11. 七巧板是我国一款传统的益智玩具，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含45°角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1中七巧板的部分图形拼成图2中的图形．若，则的值为________． 12. 如图，的半径为6，，是的中点．在中，，，，在平面上，移动，点在上移动（含点与点），点始终在上随之移动．若的长是整数，则点到的距离为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为（单位：），动力臂为（单位：），求动力关于动力臂的函数解析式． 14. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 15. 某学校元旦将举行文艺汇演活动，计划从音乐社团，，，四名同学中随机选取若干名，其中，，同学来自八年级，同学来自九年级． （1）若需要从这四名同学中，随机抽取一人，则恰好抽到的同学来自八年级的概率为________． （2）若需要从这四名同学中，随机抽取两人，请用画树状图法或列表法求抽到的两名同学均来自八年级的概率． 16. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）求证：在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 17. 如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作点，连接，，使得． （2）在图2中作点，连接，，使得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 春节将近，某商家抓住商机，购进一批坚果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋的成本为5元．试销期间发现每天的销售量（单位：袋）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用100元． 销售单价/元 销售量/袋 330 150 （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商家每天获得200元的利润，求此时小包装坚果的销售单价． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，点在上运动，连接，，的面积为6． （1）直接写出的值． （2）已知． ①若，求直线的解析式； ②当时，，求的值． 20. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（1）中得到的结论完成题（2）． （1）如图1，在锐角中，探究，，之间关系．（提示：分别作和边上的高） 结论应用 （2）如图2，绳金塔位于南昌市西湖区，始建于唐天佑年间，已有1100多年的历史，绳金塔古朴秀丽，具有中国江南建筑的典型艺术风格．如图3，某数学实践小组想测量绳金塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（，，三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求绳金塔的高度．（结果精确到；参考数据：，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，在中，，，是半圆的直径，点在半圆上运动，射线与射线相交于点． （1）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （2）如图2，，，连接． ①求证：是半圆的切线． ②求图2中阴影部分的面积． 22. 综合与实践 主题】大棚苗木种植方案设计 【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面． 【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）． 【解决问题】 （1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）． （2）探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围． （3）拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，，，将绕点旋转，为直线与直线的交点． 观察发现 （1）如图1，当点在线段上时，求证：． 类比迁移 （2）如图2，当点在延长线上时，求的长． 拓展应用 （3）在绕点旋转的过程中，当的长最小时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省2025届九年级第五次阶段适应性评估 数学 九年级全部内容 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二元一次方程，此项不符合题意； B、是一元一次方程，此项不符合题意； C、是一元二次方程，此项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 2. 在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位长度得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，以及关于原点的对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．先根据向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，求出点的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数解答即可． 【详解】解：∵将点向右平移6个单位得到点， ∴点的坐标是， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 同位角相等 B. 圆内接四边形对角互补 C 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、同位角相等，是随机事件，故此选项不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，是必然事件，故此选符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选不符合题意； D、打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放，是随机事件，故此选不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点，，，都在上，是的直径，．若，，则的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，先证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴的半径为； 故选：A 5. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线轴对称性，解答关键是利用数形结合解答问题．求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 一个立体图形，俯视图是，左视图是，要搭一个这样的立体图形，需要小正方体个数的情况有（ ） A 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察和空间想象能力． 根据从俯视和左面看到的形状，最下层最少6个小正方体，第二层左面可以有1个，2个，3个，4个四种情况，即可得结论． 【详解】解：由俯视图可知，这个立体图形的底层小正方体分布情况确定，底层小正方体的个数为6个， 由左视图可知，左视图显示该立体图形有两层，从左视图看，二层左面可以放1个，2个，3个，4个小正方体。 综上，需要小正方体个数的情况有4种， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为： 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 故答案为：． 9. 在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：，是一元二次方程的两实根， ，， 则． 故答案为：． 11. 七巧板是我国一款传统的益智玩具，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含45°角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1中七巧板的部分图形拼成图2中的图形．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，用七巧板拼接图形以及特殊角的三角函数求值． 根据题意可得，再由平角的定义分别求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，即可根据平角的定义求出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 12. 如图，的半径为6，，是的中点．在中，，，，在平面上，移动，点在上移动（含点与点），点始终在上随之移动．若的长是整数，则点到的距离为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】如图，连接，，过作于，过作于，求解，可得，结合的长是整数，可得或或；再分三种情况画图讨论即可． 【详解】解：如图，连接，，过作于，过作于， ∵的半径为6，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵点在上移动（含点与点），点始终在上随之移动， ∴， ∵的长是整数， ∴或或； 当时，重合，连接， ∵，，， ∴， ∴，即，如图， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，重合，如图，连接，过作于， 同理可得：， ∴； 综上：点到的距离为或或； 故答案为：或或 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，三角函数的应用，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为（单位：），动力臂为（单位：），求动力关于动力臂的函数解析式． 【答案】（1）0（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、特殊三角函数值，绝对值的运算以及反比例函数实际应用，解题的关键是准确运用相关运算法则进行计算． （1）分别计算零指数幂、三角函数值以及绝对值，再进行加减运算． （2）把阻力、阻力臂的值代入杠杆平衡公式，通过变形得到动力关于动力臂的函数解析式． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意可得，， ∴，即， ∴动力关于动力臂的函数解析式：． 14. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影 （2）路灯的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 15. 某学校元旦将举行文艺汇演活动，计划从音乐社团，，，四名同学中随机选取若干名，其中，，同学来自八年级，同学来自九年级． （1）若需要从这四名同学中，随机抽取一人，则恰好抽到的同学来自八年级的概率为________． （2）若需要从这四名同学中，随机抽取两人，请用画树状图法或列表法求抽到的两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，列举出所有可能出现结果情况是正确解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得： 从这四名同学中，随机抽取一人，则恰好抽到的同学来自八年级的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 总共有12种可能结果，其中两名均来自八年级结果有6种， ∴P（两名均来自八年级）． 16. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）求证：在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），． （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．掌握这些知识是解题的关键． （1）把代入方程，利用因式分解法解方程即可． （2）证明即可． 【小问1详解】 解：当时，则原方程变成， 或 解得：， 【小问2详解】 证明：∵ ∴在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 17. 如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作点，连接，，使得． （2）在图2中作点，连接，，使得． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是网格作图，平行线的性质，锐角三角函数的应用，熟练的作图是解本题的关键． （1）如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求； （2）如图，取格点，且，，，与格线的交点为，则点即为所求 【小问1详解】 解：如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求； 由网格特点可得：，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取格点，且，，，与格线的交点为，点即为所求； 理由如下：由作图可得： ，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 春节将近，某商家抓住商机，购进一批坚果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋的成本为5元．试销期间发现每天的销售量（单位：袋）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用100元． 销售单价/元 销售量/袋 330 150 （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商家每天获得200元的利润，求此时小包装坚果的销售单价． 【答案】（1）与之间的函数关系式为 （2）每天获得元的利润，销售单价为6元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式， （1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设． 将，；，代入， 得， 解得． 则与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴， 答：如果每天获得元的利润，销售单价为6元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，点在上运动，连接，，的面积为6． （1）直接写出的值． （2）已知． ①若，求直线的解析式； ②当时，，求的值． 【答案】（1） （2）①，②当或时，． 【解析】 【分析】（1）由矩形，的面积为6．可得矩形的面积为，结合的几何意义可得答案； （2）①由，可得，设，则，，可得，求解：，可得，，再进一步可得答案； ②由，可得，结合①得：，，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形，的面积为6． ∴矩形的面积为， ∴， 【小问2详解】 解：①∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得：（舍去） ∴， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； ②∵， ∴， 当时，结合①得：，， ∴， ∴， 解得：，，经检验符合题意； ∴当或时，． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，理解题意，掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 20. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（1）中得到的结论完成题（2）． （1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高） 结论应用 （2）如图2，绳金塔位于南昌市西湖区，始建于唐天佑年间，已有1100多年的历史，绳金塔古朴秀丽，具有中国江南建筑的典型艺术风格．如图3，某数学实践小组想测量绳金塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（，，三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求绳金塔的高度．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】（1）（2）绳金塔的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的相关定义是解题的关键． （1）过点C作与点F，过点A作与点D，根据正弦的定义可得出，，进一步即可得出，同理可得出，进而可得出 （2）由题意可得出：，，，，根据三角形内角和定理可得出，根据（1）结论可知，即可求出，最后再根据正切的定义即可求出． 【详解】解：（1）过点C作与点F，过点A作与点D， ∵， ∴，， ∴，即 同理可证：， ∴． （2）由题意可得出：，，，， ∴， 由（1）结论可知：， 即， 把，，代入， 则：， 在中，， 即 则绳金塔高度为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，在中，，，是半圆的直径，点在半圆上运动，射线与射线相交于点． （1）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （2）如图2，，，连接． ①求证：是半圆的切线． ②求图2中阴影部分的面积． 【答案】（1）是定值，证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，而，，即可得到答案； （2）①如图，连接，求解，，证明，可得，进一步可得结论； ②过作于，求解，，，，，再利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 解：是定值，理由如下： 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴是定值． 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∴，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是半圆的切线； ②过作于， ∵，，， ∴，，，，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为： ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，求解不规则图形的面积，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 综合与实践 【主题】大棚苗木种植方案设计 【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面． 【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）． 【解决问题】 （1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）． （2）探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围． （3）拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）如图（见解析），先求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得； （3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，根据平面直角坐标系以及题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的解析式为． 把点代入可得， 解得:， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 种植苗木时，每棵苗木高， 当时． 解得：，． 苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布， 种植点的横坐标的取值范围为． 【小问3详解】 由题意可知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔， 在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵）， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，，，将绕点旋转，为直线与直线的交点． 观察发现 （1）如图1，当点在线段上时，求证：． 类比迁移 （2）如图2，当点在延长线上时，求的长． 拓展应用 （3）在绕点旋转的过程中，当的长最小时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）通过证明得到，再利用等腰直角三角形得出结果； （2）利用得到，进一步通过得到结果； （3）如图，记与的交点为，记与的交点为，同理可得：，证明，，可得，可得四点共圆，证明在直径为的圆上，当过圆心，即为的中点时，最大，此时，最大，，此时最小；再进一步求解即可． 【详解】证明：（1）∵和是等腰直角三角形， ， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵是等腰直角三角形 ， ∴， ∴； （2）∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，记与的交点为，记与的交点为， 同理可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴，在直径为的圆上， 当过圆心，即为的中点时，最大， 此时，最大， ∴，此时最小； 此时， ∴， ∴； 【点睛】本题是几何变换题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$