5.1.2 弧度制-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

5.1.2弧度制 基础过关 1.某省高考数学考试需要一个半小时，在这 场考试中钟表的时针转过的弧度数为 ( A B一F c D.- 2.已知一个扇形的弧长为至，半径为1，则其 圆心角为 () A晋 B. C. D.受 3.已知扇形的半径为2，圆心角为60°，则扇 形的弧长！为 () A.l=适 B.3 C.1=2x 3 D.1=4π 4.扇形的圆心角为120°，半径为2，则此扇形 的面积为 A. π B. 3 C.元 D. 5.2021°的弧度数是 ( A.2021x B.10π 180 C.2021x D.2021x 360 6.如图所示，终边落在直线y=√3x上的角 的集合为 y=√3x 人60° 第五章三角函数101 7.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的 一半，则这个扇形的圆心角是 8.半径为2的圆上，弧长为的弧所对圆心 角的弧度数为 9.225°= 7 弧度，6π弧度= 10.已知扇形的圆心角为号rad,半径为 6cm,则扇形的弧长为 cm 11.(1)用弧度制表示与150°角终边相同的 角的集合： (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴 影部分内的角0的集合 个y 45° 30°元 B 102无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 12.一个扇形的在圆的半径为π，该扇形的 弧长为π. (1)求该扇形的面积； (2)求该扇形圆心角的弧度数， 能力提升) 1.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有 这样一个问题：“今有宛田，下周三十步， 径十六步，问为田几何？”意思是说：现有 扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积 多少？书中给出计算方法：以径乘周，四 而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再 除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度 数是 () A着 B号C9 D.120 2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角 形的边长，则其圆心角a(0<a<π)的弧度 数为 ( A.3 B C.√3 D.√2 3.已知扇形的周长为20cm,当扇形的面积 最大时，扇形圆心角为 () A.1.5 B.2 C.2.5D.3 4.圆弧的半径变为原来的4倍，而所对弧长 不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对 圆心角的 5.在直径为10cm的轮上有一长为6cm的 弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5弧度 的速度旋转，则经过5秒后点P转过的弧 长是 cm. 6.已知一个扇形的周长为8cm,则当该扇形 的半径r= cm时，面积最大. 7.已知a= Γ31 (1)写出所有与α终边相同的角： (2)若角B与α终边相同，则号是第几象限 的角？ 8.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如 图放置的边长为1的正方形（正方形的顶 点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动. 经过若干次滚动，点A第一次回到点P的 位置，求点A走过的路径长度 1·0 A(P)200无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 边的角的集合为S1=(lB=45°+k·360°，k∈Z},S:= {到B=225°十k·360°，k∈Z},所以，角B的集合S= S,US2={lB=45°+k·360°，k∈Z)U{BlB=45°+180°+ k·360°，k∈Z}={8lB=45°+2k·180°，k∈Z}U{B1B= 45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={33=45°+n·180°，n∈Z. (2)由于-360°<B<720°，即-360°<45°+n·180°<720° n∈乙解得-号<n<9,n∈Z,所以n=-2,-1,01,23. 所以S中适合不等式-360°<B<720°的元素为45°-2× 180°=-315°：45°-1×180°=-135°：45°+0×180°=45°： 45°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3× 180°=585°. 【能力提升】 1.D[解析：-853°12'+3×360=226°48'.故选D.] 2.C【懈析：因为20÷60=寸360×号=120，由于时 针都是顺时针旋转，所以时间走过2小时20分，分针转过的 角的度数为一2×360°-120°=一840°，故选C.】 3.D[解析：因为角a与角B的终边关于y轴对称，所以，a 与180°-B终边相同.所以，a=180°-3+k·360°=180° B+2k·180°，k∈Z,即a+B=(2k+1)·180°，k∈Z.故 选D.] 4.C[解析：由题意可知，a=1·360°十65°(k1∈Z),B= k2·360°-115°(k2∈Z),所以a-B=(k1-k2)·360°+ 180°，记k=k1一k2∈Z,故a-B=k·360°+180°(k∈Z).故 选C.] 5.{a90°+k·180°<a<120°+k·180°，k∈Z}【解析：因 为终边落在y轴上的角为90°十k·180°，k∈Z,终边落在 120°上的角为120°+k·360°=120°+2k·180°，k∈Z;300 终边上的角为300°+n·360°=120°+180°+2nm·180° 120°十(2n+1)·180°，n∈Z,即终边在虚线上的角为120°十 k·180°，k∈Z,所以终边落在阴影部分的角为90°+k· 180°<a<120°+k·180°，k∈Z,故答案为{a90°+k· 180°<a<120°+k·180°，k∈Z}.] 6.{a30°+k·360°<a<45°+k·360°，k∈Z}[解析： ,30°十k·180°<a<90°+k·180°，k∈Z,所以当k为偶数， 即k=2n(n∈Z)时，30°+n·360°<a<90°+n·360°，n∈Z; 当k为奇数，即k=2n十1(n∈Z)时，210°十n·360°<a< 270°+n·360°，n∈Z.所以集合A中角的终边在图中阴影 区域(I)内（不包括边界）.又集合B中角的终边在图阴影 区域（Ⅱ）内，所以集合A∩B中角的终边在阴影区域(I)和 (Ⅱ)的公共部分内，所以A∩B={a|30°+k·360°<a< 个(1) 459 -30 (I) 0入 88 (I) 450 45°+k·360°，k∈Z.故答案为{a|30°+k·360°<a<45°+ k·360°，k∈Z}.】 7.{-126°，一36°，54°，144°}[解析：由-180°<k·90° 36”<180,得-144<·90<216，即-号<k<0又 k∈Z,所以k的取值有一1、0、1、2，因此，A∩ B={-126°，-36°，54°，144°).】 8.解：因为a是第一象限角，所以k·360°<a<k·360°+ 90°(k∈Z).2k·360°<2a<2k·360°+180°(k∈Z),所以2a 是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上.k·120°< 号<k120+30(k∈0. 方法一（分类讨论）：当=3n(n∈Z)时，即n·360°<号< n·360°+30°(n∈Z),则号是第一象限角；当k=3n十1(n∈ D时，即m·360°+120°<号<n·360°+150(n∈D,则号 是第二象限角；当k=3n+2(n∈Z)时，即n·360°+240°< 号<m·360+270(n∈D,则号是第三象限角.综上可知， 号是第一、二或第三象限角， 方法二（几何法）：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴 的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1 的区域即为号终边所落在的区域，故号为第一、二或第三象 限角 5.1.2弧度制 【基础过关】 1.B[解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的弧度数 为一2，一个半小时，时针所转过的弧度数为号×立× (-2m)=-平.故选B.】 2.C[解析：由扇形的弧长公式l=|ar得于=|a·l, 0<a<2ma=平.故选C.】 3.C【解析：a=60=晋=ar=2X晋-经故选C.】 4.D[解析：因为扇形的圆心角为120°，即扇形的圆心角弧 度数为。=号，则扇形的弧长为1一c心=专，则扇形面积 2 为S==×号x×2=故选D】 5A【解析：由题意得2021=2021×高=2故 选A.] 6.aa=60°+n·180,n∈Z或{aa=号+nm,n∈Z [解析：终边落在射线y=√3x(x≥0)上的角的集合是S1 {aa=60°+k·360°，k∈Z),终边落在射线y=V3x(x≤0) 上的角的集合是S2={a|a=240°十k·360°，k∈Z},于是终 边落在直线y=√3x上的角的集合是S={a|a=60°十k· 360°，k∈Z)U{aa=240°+k·360°，k∈Z)={aa=60°+ 2k·180°，k∈Z}U{a|a=60°+(2k+1)·180°，k∈Z}= {aa=60°+n·180°，n∈Z}.】 7.π一2[解析：设扇形的半径为R,弧长为1，根据题意 2R+=R,解得尺=元一2，而圆心角a=尺=元一2.故答案 为x-2.] &号解折由弧长公式。可之 2 4, 故答案为平】 9.号x210°【解析：180°=x,225°=225×忍0=平， 名x=7X180°=210.1 6 10.9【解析：由扇形的弧长公式得：1=a=号×6=9，故答 案为9.] 1.解：)150°=150×高-号，放与150角终边相同的角 的集合为{日g=晋+2km,k∈Z。 (2)终边落在射线OA上的角为0=135°+k·360°，k∈Z,即 0=平+2x,k∈Z.终边落在射线OB上的角为9=-30°+ k·360°，k∈乙，即0=-晋十2km,k∈乙，故终边落在阴影部 参考答案201 分的角9的集合为{0-否+2kx<0<+2kx,k∈Z。 12.解：(1)扇形所在圆的半径为r=π，弧长为1=π，则扇形 的面积为S=之·7=名×x×=号 (2)扇形圆心角的弧度数为。=二=1 【能力提升】 1.C[解析：由题意，根据给出的计算方法：以径乘周，四而 一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的 弧长公式，可得扇形的圆心角。=二-碧-只（弧度），故 选C.】 2.C[解析：如图，不妨设等边△ABC的外接圆的半径为 2,取BC的中点D,连接OD,OC,则∠OCB=30°.由垂径定 理的推论可知，OD1BC,在R1△OCD中，OD=2OC=1, ∴.CD=√3，∴.边长BC=2√3.设该圆弧所对圆心角的弧度 数为，则由弧长公式可得0=2，-3.故选C.】 2 D 3.B【解析：扇形周长C=2R+1=20,扇形面积S=之R, 由20=2R+l≥2√2R7,可得Rl≤50，当且仅当2R=1=10 时，面积有最大值25，此时扇形的圆心角。一京-号-2.故 选B】 4.子【解析：设原来圆弧所在圆的半径为，弧长为1，弧所 对的圆心角为a(0<a<2π)，则现在的圆弧所在圆的半径为 4r,弧长为1，设该弧所对的圆心角为3(0<3<2π)，于是I= r=B·4r,所以B=4a.] 5.100[解析：如图，连接OP且延长到点A,CD=6cm, OD=5cm,易知OP=4cm,A,P两点角速度相同，故5秒 后P点转过的角度为25弧度，从而P转过的弧长为25× 4=100(cm).] 202无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 6.2【解析：设扇形的半径为r,弧长为l,则2r十l=8,扇形 的面积为号1=号×(8-2r)r=-r+r=-(-2)+ 4,所以当r=2时，面积最大为4.故答案为2.】 7.解：（1)所有与α终边相同的角可表示 为{0l0=2kr+5,k∈Z. (2)由(1)有=2x+号(k∈ZD,则号=kx十吾，k∈乙，当为 为偶数时，号在第一象限，当及为奇数时，号在第三象限.所 以号是第一、三象限的角。 8.解：因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正 方形的一边为弦时弦所对应的圆心角为乏，正方形在圆周 上滚动时，顶点在圆周上的位置如图所示，故当点A首次回 到点P的位置时，正方形在圆周上滚动了2圈，而正方形滚 动了3圈.设正方形滚动一圈第i(i∈N·)次滚动点A的路 程为A,则A=晋×AB=吾A=吾×AC=号，A 云XDA=晋，A,=O,所以点A所走过的路径的长度为 3(A+A+A+A,)=2士2 2 A D B D (P)4 5.2三角函数的概念 5.2.1三角函数的概念 【基础过关】 1.D【解析：因为角。的终边经过点(-，号)，点 （-号，号)在单位圆上，所以cose=x=一青故选D.】 2.A【解析：由题，P(合，-号)在单位圆上，所以，c0sa 合故选A】 3.D【解析：因为cosa= 方号所以8干g 3 5,所以y2=16,因为y<0,所以y=-4,所以tana=-3 故选D.] 4.B【解析：只有①正确；②中终边关于x轴对称的角的 余弦值相同；③中角的终边可以在y轴正半轴上；④中x值 已包含正负，不需要再添加负号.故选B.] 5.A[解析：因为a为第二象限角，所以sina>0,cosa<0, tana<0,所以Isin al cos a tan a sin a cos at sin a cos a tan a sin a -cos a 一tang=1.故选A.】 tan a 6.A【解析：r=√B+16,c0sa=二b= -6 3 r√/62+16 所以b=3.故选A.】 7.D[解析：因为tanx<0,所以角x的终边在第二、四象 限，又sinx一cosx<0,所以角x的终边在第四象限.故 选D.1 8.B[解析：因为cos a tan B<0,a,B∈(0，π)，所以cosa, tanB一正一负，所以a、3必有一个为钝角.故选B.] [解析：tan765°-sin810°+cos390°=tan(720°+ 45°)-sin(720°+90°)+cos(360°+30)=tan45°-sin90°+ w80-1-1+9-9 l0.二或三【解析：由sin0·tanf<0得sin>0且tan0< 0,或sin0<0且tan>0,由sin0>0,tan0<0知0为第二象 限角；由sin0,tan0知0为第三象限角.] 1.解：(1)原式=in多x十cos受+cosx十an冬=-1十 0-1+1=-1. (2)原式=a2sin90°-bcos180°+2 abtan45°=a2+b2+ 2ab=(a+b)2. 12.解：f3)=2cs(6m+平）=os于=1. 【能力提升】 1.C【解析：因为该函数的定义域是 {女x∈R且x≠经，∈Z,所以当x是第一象限角时，y= 3;当x是第二象限角时，y=1一1一1=一1；当x是第三象 限角时，y=一1一1+1=一1；当x是第四象限角时，y= 一1十1一1=一1.综上，函数的值域是{一1,3}.故选C.] 2.B[解析：因为角a的终边过点P(一4m,一6cos60),所以r= /16m2+9,cosa= ,=一合解得m=1故选B】 3.D[解析：a的终边上一点P(m,2m)(m≠0)，则cosa= √5 5 ,m>0, 2m sin a= √m2+(2m)2√5lml √m2+(2m)2 5,m<0,