4.5.3 函数模型的应用同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.3 函数模型的应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．今有一组数据如下： t 2 3 4 5 6 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t－2 2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数f（m）＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为（ ） A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元 3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是40 ℃，则k的值约为（参考数据：ln3≈1.099）（ ） A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 4.医学治疗中常用放射性核素113In产生γ射线，而113In是由半衰期相对较长的113Sn衰变产生的．对于质量为m0的113Sn，经过t d后剩余的113Sn的质量为m，是关于t的指数函数，其部分图象如图．从图中可以得到113Sn的半衰期为（ ） A．67.3 d B．101.0 d C．115.1 d D．124.9 d 5．白细胞是无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞总数为（4.0～10.0）×109/L，可因每日不同时间、机体不同的功能状态而在一定范围内变化．若白细胞数量因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预．研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型：W（m）＝－W0ln（Km）描述白细胞数量W（m）（单位：109/L）随用药量m（单位：mg）的变化规律，其中W0为初始白细胞数量，K为参数．已知W0＝20，用药量为50时，在规定时间后测得白细胞数量为14，若要使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到（保留整数，参考数据：e≈1.221）（ ） A．58 B．59 C．60 D．62 二、多项选择题 6.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y（单位：千克）与时间x（单位：小时）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ） A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D．最后两小时内，该车间没有生产该产品 7．星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前2世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，－0.46等星的星等值为－0.46.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg（E1>0，E2>0），则关于星等下列结论正确的有（ ） A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－1 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－4 三、填空题 8．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用__________作为函数模型． 9．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 四、解答题 10．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系式，并求出存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数． 11．有一种候鸟每年都按一定的路线飞往繁殖地进行繁衍．科学家经过测量发现，候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lgx0，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差． （1）若x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位，则它的飞行速度约是多少？ （2）若x0＝5，则候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为多少个单位？ （3）若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则雄鸟每分钟耗氧量的单位数是雌鸟每分钟耗氧量的单位数的多少倍？ 参考数据：lg2≈0.3，31.2≈3.74，31.4≈4.66. 个性拓展练 12．计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为y＝3×2t，则下列说法错误的是（ ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90 KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒占据内存每分钟的增长率为1 D．设计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6 KB，9 KB，18 KB所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 13．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b（其中a，b为常数）．利用散点图可知a的值等于__________．（取lg2≈0.3进行计算） 14．某种蔬菜从2025年1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该种蔬菜的种植成本Q（单位：元/10 kg）与上市时间t（单位：10天）的数据如下表： 上市时间t 5 11 25 种植成本Q 15 10.8 15 （1）根据上表数据，从下列函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt（a≠0）中，选取一个合适的函数模型描述该种蔬菜的种植成本Q与上市时间t的变化关系； （2）利用你选取的函数模型，求该种蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． 4.5.3 函数模型的应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．今有一组数据如下： t 2 3 4 5 6 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t－2 解析：易排除B、D，代入一些数据易知C项最接近．故选C. 答案：C 2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数f（m）＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为（ ） A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元 解析：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.2]＝6，所以f（5.2）＝1.06×（0.5×6＋1）＝1.06×4＝4.24.故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元．故选B. 答案：B 3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是40 ℃，则k的值约为（参考数据：ln3≈1.099）（ ） A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 解析：根据题意得40＝10＋（100－10）e－5k，即－5k＝ln＝－ln3，解得k＝≈≈0.22.故选A. 答案：A 4.医学治疗中常用放射性核素113In产生γ射线，而113In是由半衰期相对较长的113Sn衰变产生的．对于质量为m0的113Sn，经过t d后剩余的113Sn的质量为m，是关于t的指数函数，其部分图象如图．从图中可以得到113Sn的半衰期为（ ） A．67.3 d B．101.0 d C．115.1 d D．124.9 d 解析：设＝at，a>0且a≠1，由题图可知所以＝a115.1＝，所以半衰期为115.1 d．故选C. 答案：C 5．白细胞是无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞总数为（4.0～10.0）×109/L，可因每日不同时间、机体不同的功能状态而在一定范围内变化．若白细胞数量因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预．研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型：W（m）＝－W0ln（Km）描述白细胞数量W（m）（单位：109/L）随用药量m（单位：mg）的变化规律，其中W0为初始白细胞数量，K为参数．已知W0＝20，用药量为50时，在规定时间后测得白细胞数量为14，若要使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到（保留整数，参考数据：e≈1.221）（ ） A．58 B．59 C．60 D．62 解析：将W0＝20，m＝50，W（m）＝14，代入W（m）＝－W0ln（Km），得14＝－20ln（50K），解得K＝，则W（m）＝－20ln，因为用药量为50时，在规定时间后测得白细胞数量为14，白细胞数量偏高，所以令W（m）＝－20ln≤10，即ln≥－，解得m≥50e≈50×1.221＝61.05.所以若要使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到62.故选D. 答案：D 二、多项选择题 6.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y（单位：千克）与时间x（单位：小时）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ） A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D．最后两小时内，该车间没有生产该产品 解析：由函数图象得，前3小时的产量逐步减少，A错误，B正确，后2小时没有生产，C错误，D正确．故选BD. 答案：BD 7．星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前2世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，－0.46等星的星等值为－0.46.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg（E1>0，E2>0），则关于星等下列结论正确的有（ ） A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－1 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－4 解析：若m2<m1，则m2－m1＝－2.5×lg<0，即lg>0，∴>1，∵E1>0，∴E2>E1，∴星等值越小，星星就越亮，故A正确；当m2＝6，m1＝1时，5＝－2.5lg，则＝100，故B正确；若m2－m1＝－2.5lg<2.5，则lg>－1，即>10－1，故C错误；若m2－m1＝－2.5lg>10，则lg<－4，即<10－4，故D正确．故选ABD. 答案：ABD 三、填空题 8．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用__________作为函数模型． 解析：甲：y＝x2＋1，将（1，2），（2，5）代入验证满足，x＝3时，y＝10；乙：y＝3x－1，将（1，2），（2，5）代入验证满足，x＝3时，y＝8，∵测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），∴选甲． 答案：甲 9．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：依题意有192＝eb，48＝e22k＋b＝e22k·eb， 所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－（舍去），于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k＋b＝（e11k）3·eb＝3×192＝24（小时）． 答案：24 四、解答题 10．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系式，并求出存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数． 解：设原来衣服上存留污垢的总体为1，则存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系式为y＝x，即y＝x，x∈N*. 若存留的污垢不超过原有的1%， 则x≤0.01，因此4x≥100， 由于43＝64，44＝256，所以满足条件的x的最小值为4，即若要使存留的污垢不超过原有的1%，则所要漂洗的最少次数是4. 11．有一种候鸟每年都按一定的路线飞往繁殖地进行繁衍．科学家经过测量发现，候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lgx0，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差． （1）若x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位，则它的飞行速度约是多少？ （2）若x0＝5，则候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为多少个单位？ （3）若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则雄鸟每分钟耗氧量的单位数是雌鸟每分钟耗氧量的单位数的多少倍？ 参考数据：lg2≈0.3，31.2≈3.74，31.4≈4.66. 解：（1）将x0＝2，x＝8100代入函数解析式可得，v＝log381－lg2＝2－lg2≈2－0.3＝1.7，故此时候鸟的飞行速度约为1.7 km/min. （2）将x0＝5，v＝0代入函数解析式可得，0＝log3－lg5，即log3＝2lg5＝2×（1－lg2）≈2×0.7＝1.4， ∴＝31.4≈4.66，解得x≈466. 故候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为466个单位． （3）设雄鸟每分钟耗氧量的单位数为x1，雌鸟每分钟耗氧量的单位数为x2， 依题意可得 两式相减可得1＝log3，所以＝9. 故雄鸟每分钟耗氧量的单位数是雌鸟每分钟耗氧量的单位数的9倍． 个性拓展练 12．计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为y＝3×2t，则下列说法错误的是（ ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90 KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒占据内存每分钟的增长率为1 D．设计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6 KB，9 KB，18 KB所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 解析：令t＝5，则y＝3×25＝96>90，所以在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90 KB，故A正确；因为3×2t＋1－3×2t＝3×2t不是定值，所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误；因为＝1，所以计算机开机后，该计算机病毒占据内存每分钟的增长率为1，故C正确；由题意可得可得（3×2）·（3×2）＝3（3×2），则2＝2，即t1＋t2＝t3，故D正确．故选B. 答案：B 13．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b（其中a，b为常数）．利用散点图可知a的值等于__________．（取lg2≈0.3进行计算） 解析：由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2. 所以 ②－①，得0.2＝alg，0.2＝alg2. 所以a＝≈＝. 答案： 14．某种蔬菜从2025年1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该种蔬菜的种植成本Q（单位：元/10 kg）与上市时间t（单位：10天）的数据如下表： 上市时间t 5 11 25 种植成本Q 15 10.8 15 （1）根据上表数据，从下列函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt（a≠0）中，选取一个合适的函数模型描述该种蔬菜的种植成本Q与上市时间t的变化关系； （2）利用你选取的函数模型，求该种蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． 解：（1）以上市时间t（单位：10天）为横坐标，种植成本Q（单位：元/10 kg）为纵坐标，将题中所给数据对应的点描出，如图： 根据图知函数模型Q＝at2＋bt＋c（a≠0）与题表所提供的数据拟合的最好， 所以选取函数模型Q＝at2＋bt＋c（a≠0）描述该种蔬菜的种植成本Q与上市时间t的变化关系． 将题表中所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c（a≠0）， 得解得 所以描述该种蔬菜的种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数解析式为Q＝t2－t＋. （2）由（1）知Q＝t2－t＋＝（t－15）2＋10，所以当t＝15时，Q取得最小值，为10，即该种蔬菜上市150天时，该种蔬菜种植成本最低，最低种植成本为10元/10kg. 学科网（北京）股份有限公司 $