课时作业(30) 利用二分法求方程的近似解（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(三十)　利用二分法求方程的近似解 [基础达标练] 1．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是(　　) 答案：ABD 2．用二分法找函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　) A．(0，1)　　　　　　　　B．(0，2) C．(2，3) D．(2，4) 答案：B 3．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　　) A．(2，2.25) B．(2.25，2.5) C．(2.5，2.75) D．(2.75，3) 解析：选C　因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在定理知，方程的根落在区间(2.5，2.75)，故选C. 4．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 解析：选B　根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算． 5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正实数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.05)为(　　) A．1.5 B．1.375 C．1.437 D．1.25 解析：选C　∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0， ∴f(1.406 25)·f(1.437 5)<0， ∴该方程的根在区间[1.406 25，1.437 5]内， 又∵|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.05， ∴方程的近似解可以是1.437.故选C. 6．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________． 解析：令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，f＝>0， 所以ff(1)<0， 故可断定该实数根所在的区间为. 答案： 7．(本题可以用计算器计算)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整． 解　设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递________(增或减). 先求f(0)＝________，f(1)＝________， f(2)＝________． 所以f(x)在区间________内存在零点x0，再填下表： (可参考条件：f(1.125)<0，f(1.187 5)>0；符号填＋，－) 区间 中点m f(m)的符号 区间长度 (1，2) 1.5 ＋ 1 下结论：________________________________________________________________________. 解：设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，先求f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9.所以f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，再填下表： 区间 中点m f(m)的 符号 区间 长度 (1，2) 1.5 ＋ 1 (1，1.5) 1.25 ＋ 0.5 (1，1.25) 1.125 － 0.25 (1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125 (1.125，1.187 5) 0.062 5 下结论：由表得区间[1.125，1.187 5]内的任意实数都是方程x3＋3x－5＝0的一个近似解，不妨取1.18. 8．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根． 证明：∵f(1)>0， ∴f(1)＝3a＋2b＋c>0， 即3(a＋b＋c)－b－2c>0. ∵a＋b＋c＝0， ∴a＝－b－c，－b－2c>0， ∴－b－c>c，即a>c. ∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0. 取区间[0，1]的中点， 则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0. ∵f(0)>0，f(1)>0， ∴函数f(x)在区间和上各有一个零点． 又f(x)为二次函数，最多有两个零点， ∴f(x)＝0在[0，1]内有两个实根． [能力提升练] 9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x) ＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln 解析：选A　g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图象交点的横坐标，如下图： 由图知g(x)的零点0<x0<， 又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A. 10．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8 解析：选C　 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0， 则函数f(x)的零点的初始区间为 [0.64，0.72]. 又0.68＝，且f(0.68)<0， 所以零点在区间[0.68，0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C. 11．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f (1.6000) ≈0.200 f(1.5875) ≈0.133 f(1.5750) ≈0.067 f(1.5625) ≈0.003 f(1.5562) ≈－0.029 f(1.5500) ≈0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取________． 解析：由f(1.5625)≈0.003>0，f(1.5562)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取1.56. 答案：1.56(答案不唯一) 12．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________． 解析：设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4. 答案：4 13．已知函数f(x) ＝ax3＋2ax＋3a－4在区间(－1，1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的根． 解： (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0. 若a≠0，则由题意可知，f(x)在(－1，1)上是单调函数，故f(－1)·f(1)＝－4(6a－4)＜0，解得a>， 故a的取值范围为. (2)若a＝， 则f(x)＝x3＋x－， ∴f(－1)＝－4<0，f(0)＝－<0， f(1)＝>0， ∴函数f(x)的零点在区间(0，1)上， 又f＝0， ∴方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的根为. [素养拓展练] 14．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称多少次就可以发现这枚假币？ 解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币，综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$