4.5.1 函数的零点与方程的解-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

第四章指数函数与对数函数 93 4.5 函数的应用（二） 8.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零 4.5.1 函数的零点与方程的解 点，则三个零点之和等于 9.给出如下函数：①f(x)=x3;②f(x)=x十 基础过关) lnx;③f(x)=x2-2,④f(x)=x2-lnx. 1.函数y=x2+6x十8的零点是 ( 在区间(1,2)内存在零点的是 A.2,4 B.-2,-4 x2-2,x≤0， 10.函数f(x)= 的零点 C.(-2,0),(-4,0)D.(-2,-4) 2x-6+In x,x>0 2.下列函数不存在零点的是 个数是 Ay=-子 11.判断下列函数是否存在零点，如果存在， 请求出其零点， B.y=√x2-x-1 (1)f(x)=-x2+6.x-9; C.y=logax2(a>0且a≠1) (2)f(x)=x4-x2; x+2,x≥0， D.y= (3)f(x)=4+1; x-1,x<0 (4)f(x)=1og5(x+1). 3.函数f(x)=log2x-6+2x的零点一定位 于区间 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 4.函数f(x) (》广-号x的零点位于区间 () A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2-1,x≤1， 5.(多选)已知函数f(x)= 则 1-logzz,x>1, 函数f(x)的零点为 ( A.-2 B.0 c司 D.2 能力提升) 6.方程x十1og3x=2的解为xo,若xo∈ (n,n十1)，n∈N,则n等于 ( ) 1设函数y=ln(x+1)与函数y=(合) A.0 B.1 C.2 D.3 的图象交点坐标为(xo,yo),则x所在的 7.已知函数f(x)=x2一a.x十b的两个零点 大致区间是 ( 是1和3，则函数g(x)=bx2-ax十1的零 A.(0,1) B.(1,2) 点是 C.(2,3) D.(3,4) 94无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.已知函数f(x)=(合) -x,g（x)= 围为 logx一x,h(x)=x3一x(x>0)的零点分别 A(28-2,别 为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 ( ) B.（-2√3-2,2√3-2) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c c.+) 3若函数y=(得) x一1 D.（2√3-2，+o∞) +m有零点，则实数 9.若方程|x2一4x|一2a=0有四个不相等的 m的取值范围是 实根，则实数a的取值范围是 A.(-o∞，-1] B.[-1,+∞) 10.已知函数f(x)=-3x2+2x-m十1. C.[-1,0) D.(0,+∞) (1)当m为何值时，函数有两个零点、一 4.已知x∈R,若函数f(x)=x2-|2x-a有4 个零点、无零点； 个零点，则方程ax2+2x十1=0的实数根个 (2)若f(x)=0有两个根，且一个根大于 数为 ) 2,一个根小于2，求实数m的取值 A.0 B.1 范围 C.2 D.与a的取值有关 5.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0, f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数 为 () A.至多有一个 B.有两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 2x+1,x≤0， 6.已知f(x)= 则方程 In zl,x>0, f(f(x))=3的根有 () 11.已知函数f(x)=a·4-2-1. A.6个 B.5个C.4个 D.3个 (1)当a=2时，求函数f(x)的零点； 7.设f(x)=3r一1，若关于x的函数 (2)若f(x)有零点，求a的取值范围. g(x)=fP(x)一(1十t)f(x)十t有三个不 同的零点，则实数t的取值范围为() A(o,) B.(0,2) C.(0,1) D.(0,1] 3x+1,x≤0， 8.设函数f(x)= 若关于x logax,x>0, 的方程f2(x)一(a十2)f(x)+3=0恰好 有六个不同的实数解，则实数a的取值范1 V1+(-x) =f(x),所以函数f(x)是R上的偶函数. (2)函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，因为函数f(x)为R 上的偶函数，所以f(x-1)>f(2x),等价于f(|x-1)> f(|2x),因为函数f(x)在[0，十o∞)上单调递增，所以|x一 1>2z,即3x2+2x-1<0,解得-1<x<号，所以不等 式f(x-1D>f2x)的解集为(-1，号)： 12.解：(1)由题意，当a>1时，函数f(x)=log。x在 [子，2]上单调递增，因此/(x):=了(2)=1og2=2,解得 a=,当0<a<1时，函数f)=1ogz在[子，2]上单调 递减，因此fx)m=f(子)=1og}=2,解得a=合综 上可知a=V厄或a=之 (2)由不等式f(x)一2>0，即f(x)>2,又0<a<1,根据对 数函数的性质，可得，10g4>2,解得0<<子，所以z的 取值范围为(0，)。 13.解：(1)由条件可得log3=1,解得a=3.所以g(x)= 1og3(x+1)+1og3(5-x),即g(x)=1og(-x2+4x+5). 当1≤x≤2时，-x2+4x+5=-(x-2)2+9∈[8,9]，所 以g(x)mx=log9=2,g(x)m=log38=3log32,所以g(x)在 区间[1,2]上的最大值为2，最小值为31og2. (2)由(1)知，当x∈[1,2]时，g(x)mm=3log2,不等式 f(m2-2m)-g(x)≥0有解，即log(m2-2m)≥g(x)m, x∈[1,2].所以1og(m2-2m)≥log38,即m2-2m≥8，解得 m≤一2或m≥4，所以实数m的取值范围为 (-∞，-2]U[4,+∞). 14.解：(1)当k=2时，函数f(x)=1og3(9一2·3一3)，要 使函数有意义，只需要：9-2·3-3>0→(3+1)·(3x 3)>0,因为3>0，所以3>3，即函数的定义域为(1，+∞). (2)因为f(x)=1og(9-k·3-3),所以9-k·3-3> 3r→t+1<3-3-是.因为xe[1,+60),所以3r [3,+e∞)33r-是∈[2，+o),所以k+1≤(3-是) 3 2,即k≤1，故实数的取值范围是（一∞，1]. 15.解：(1)f(x)<1即1og2(2-1)<1,所以0<2-1<2， 所以1<2<3，所以0<x<1og23,故不等式f(x)<1的解 集为{x|0<x<1og23}. 参考答案195 (2)因为log2(2一1)=log:(m-4')有实数解，2一1>0，所 以x>0,且m-4>0,所以(2：-1)2=m-4在x>0上有 解，即m=-2·2+2·42+1在x>0上有解.设2=t(t> 1),即m=22-2t十1在t>1上有解，当t>1时，m=2t 21+1=2(-)》+号>1，放实数m的取值范開为m>1 4.5函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 【基础过关】 1.B【解析：令y=x2+6x十8=0，即(x+2)(x十4)=0，解 得x1=一2，x2=一4.故函数的零点为一2，一4.故选B.] 2.D[解析：令y=0,得选项A和C中的函数的零点均为1 和一1；B中x2一x一1=0的判别式大于0，有两个实根；D 中函数分段为0，解出数值均不在对应范围内，无零点.故选 D] 3.B[解析：f(2)=1og22-6+2×2=-1<0,f(3)= 1og3>0.又因为f(x)在(0，十∞)上为增函数，所以其零点 一定位于区间(2,3).故选B.】 4.B【解析：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条连 铁不断的曲线，又了1)=名-号=品>0，f(2)=} 号-3<0，所以f·f2)<0,由零点存在性定理可 知，函数f(x)的零点位于区间(1,2).故选B.】 5.BD[解析：当x≤1时，令2一1=0，得x=0.当x>1 时，令1一log2x=0,得x=2.综上所述，函数f(x)的零点为 0,2.故选BD.] 6.B[解析：设f(x)=x十log3x一2，则f(1)=1十log31 2=-1<0,f(2)=2+1og32-2=1og32>0,又易知f(x)为 单调增函数，所以方程x+1ogx=2的解在(1,2)内，因此 n=1.故选B.] 7.1,3 [解析：由题意知，方程x2一Qx十b=0的两根为1， 1+3=a, 3,所以 即a=4,b=3,所以方程bx2-ax十1= 1×3=b, 3x2-4x+1=0的根为1，号，即为函数g(x)的零点.】 8.0[解析：因为奇函数的图象关于原点对称，且有三个零 点，其中一个一定是0，另外两个关于原点对称，则其和必 为0.1 9.③[解析：①f(x)=x在(1,2)单调递增，且f(1)=1> 0,故f(x)=x3在(1,2)内无零点；②f(x)=x十lnx在 196无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 (1,2)单调递增且f(1)=1>0,故f(x)=x+lnx在 (1,2)内无零点；③由f(x)=x2-2=0,解得x=士2，故 在(1,2)内存在零点x=√2；④f(x)=x2-lnx在(1,2)单 调递增，且f(1)=1>0,故f(x)=x一lnx在(1,2)内无 零点.] 10.2[解析：当x≤0时，由f(x)=x2-2=0,解得x= -√2，有一个零点；当x>0时，函数f(x)=2x-6+lnx单 调递增，则f(1)=一4<0，f(3)=ln3>0,此时函数f(x)在 (1,3)上只有一个零点，所以共有两个零点.] 11.解：(1)令一x2+6x一9=0，解得x1=x2=3,所以函数 f(x)=-x2+6x-9的零点为3. (2)令f(x)=x2(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1或x= 一1，故函数f(x)=x4一x2的零点为0，一1和1. (3)令4+1=0，则4=一1，因为4>0，一1<0，所以方程 42十1=0无实数解.所以函数f(x)=42十1不存在零点. (4)令log(x十1)=0，解得x=0,所以函数f(x)=log(x+1) 的零点为0. 【能力提升】 1.B【解析：y=ln(x+1)与函数y=(分）广的图象交点的 横坐标，即是方程(x十1)=()的根，即函数 fx)=ln(x+1)-(2）厂的零点，易判断f(x)在(-1， +∞)上单调递增，由f(0)=0-(2）=-4<0,f(1) 1n2-(2）'=1n2-2<0,f2)=ln3-1>0,故f①)· f(2)<0,即x所在的区间是(1,2).故选B.] 2.B[解析：根据题意，对于h(x)=x3-x(x>0),其零点 为c,则有c一c=0,解可得c=1,对于f()=(分）广-x,其 为单调减函数，且有f1)=?-1=一号<0，f(分) 号-令>0，所以号<a<1,对于g(x)=1og4x-x,其为单 调减函数，有g(行)=1g号子-子=子>0，g(分) 1og4子-合=log47-log时号=1og4号<0，则子<b< ,则有c>a>6故选B.】 3.C【解析：因为函数y=(兮)》-+m有零点，所以方 程（兮）”十m=0有解，即方程（兮）=一m有解， 因为1x-1≥0，所以0<（兮》-。 ≤1，即0<-m≤1，因 此-1≤m<0.故选C.】 4.D【解析：当2x-a>0,即x≥号时，f(x)=x-2x+ a=0,所以△=4-4a>0,解得a<1.当2x-a<0,即x<号 时，f(x)=x2+2x-a=0,所以△=4+4a>0,解得a>一 1,所以-1<a<1,当a=0时，方程有一个根；当a≠0时， △=4一4a>0,方程有两个不等的实根.故选D.】 5.C[解析：若a=0,则f(x)=bx十c是一次函数，由 f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)=ax2+ bx十c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点，则必有 f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.若f(x)在(1,2)上没有零点， 则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾.故f(x)在(1,2)上有 且仅有一个零点.故选C.】 6.B[解析：由题意得，2f(x)+1=3或|lnf(x)|=3,即 f(x)=1(舍去)或f(x)=e或f(x)=e3:若f(x)=e3,则 2x+1=e或nz=心，故x=(含去)或x=e或x e3;若f(x)=e3,则2x十1=e3或|lnx|=e3,故x= 2或=e或=e:故方程5(》=3共有5 个解.故选B.】 7.C【解析：令m=f(x),则关于x的函数g(x)=(x)一 (1十tDf(x)十t可变为h(m)=m2-(1十t)m十t,设m,m 为关于m的函数h(m)=m2-(1十t)m十t的零点，则关于x 的函数g(x)=产(x)一(1十t)f(x)+1有三个不同的零点 等价于函数m=f(x)的图象与直线m=m,m=m的交点 个数之和为3个，则需函数m=f(x)的图象与直线m=m, m=m2的位置关系如图所示，又h(1)=0,由图可知：0< m1<1=m2,由韦达定理可得：t=m1Xm2=m1∈(0,1).故 选C.] m=f(x) m=m2 一m=m1 0 123x -2 (3+1,x≤0， 8.A【解析：作出函数f(x)= 的图象如图， (llog,0 令f(x)=t,则方程fP(x)-(a+2)f(x)十3=0，化为一 3 0 (a十2)t十3=0，要使关于x的方程f2(x)一(a十2)f(x)+ 3=0恰好有六个不同的实数解，则方程t一(a+2)t十3=0 △=(a+2)2-12>0, 1<a+2<2, 在(1,2]内有两不同实数根，所以 2 解得 1-(a+2)+3>0, 22-(a+2)×2+3≥0， 25-2<a≤号，所以实数a的取值范围为(25-2，号]】 故选A.】 9.(0,2)[解析：由x2-4x-2a=0,得2a=|x2-4x|, 1y=2a -2-1,01234衣 作出函数y=1x2一4x|的图象，则由图象可知，要使方程 |x2一4x|一2a=0有四个不相等的实根，则0<a<2.】 10.解：(1)函数有两个零点，则对应方程一3x2十2x一m十 1=0有两个不相等的实数根，易知△>0，即4十12(1 m)>0,可解得m<专由△=0，可解得m=亭：由4<0，可 解得m>专故当m<专时，函数有两个零点：当m=专时， 函数有一个零点：当m>专时，函数无零点. (2)由题意可得f(2)>0,即一7-m>0,则m<一7.故实数 m的取值范围为（一∞，一7）. 11.解：(1)当a=2时，f(x)=2·4-2-1.令f(x)=0,即 2·(2)2-2-1=0,解得2=1或2=-之（舍去).所以 x=0,所以函数f(x)的零点为0. (2)若f(x)有零点，则方程a·4一2一1=0有解，于是a= -(侵)广+()广，令（侵广=，则g=+= (什号）广'一子，因为>0，所以g)在0，十∞)上单调递增， 其值域为(0，十o∞)，所以a>0,即a的取值范围是(0，十∞). 参考答案 197 4.5.2用二分法求方程的近似解 【基础过关】 1.C[解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a,b] 上连续不断，且f(a)·f(b)<0.而x3两边的函数值都小于 零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.】 2.B[解析：据二分法的步骤知当|b一a|小于精确度e时， 便可结束计算.故选B.】 3.ABC【解析：已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数 f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68 之×(0.64+0.72，且/0.68)<0，所以零点在区间0.68。 0.72)上，|0.72-0.68|=0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72 都符合.故选ABC.】 4(0,)f(子）【解析：根据题意，对于函数f(x)= x+1n(x+2),计算可得f(0)<0,f(分)>0，则其中- 个零点∈(0，号)，第二次计算 0十 即f() 的值.] 5.(2,3)[解析：设函数f(x)=x3一2x一5，因为f(2)= 一1<0，f(3)=16>0,f(4)=51>0,所以下一个有根区间 是(2,3).] 【能力提升】 1.B[解析：因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法 的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间 (1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25， 1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和 (1.3125,1.375)巾必有-个满足区间端点的函数值符号相 异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近 似解.故选B.] 2.①②【解析：对于①，根据反函数的定义可得，互为反函 数的图象关于直线y=x对称，故①正确；对于②，因为当 x=2时，f(x)=a2-3=a°-3=-2，即图象必过定点(2， 一2)，故②正确；对于③，若函数f(x)在区间[a,b]上满足 函数零点存在性定理，则此函数在区间(a,b)内的零点个数 不一定是奇数个，故③错误；对于④，区间(2,3)的长度为 1,每经过一次操作区间长度变为原来的一半，经过n次操 作后，区间长度为六，故<0.1，即2”≥10，m≥4，故至少经 过4次二分后精确度达到0.1，故④错；对于⑤，函数y 2一x2的零点个数为3，x<0时有一个，还有x=2,x=4,故