4.5.1 课时1 函数的零点与方程的解同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 课时1 函数的零点与方程的解 【基础巩固】 1．函数的零点为（ ） A． B． C．或 D．和 2．函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的图象与轴的交点个数为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数中有零点的是（ ） A． B． C． D． 6．若关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是___________． 7．已知函数的零点依次为，则的大小关系为___________． 8．若函数. (1)若，求函数的零点： (2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 【能力拓展】 9．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A． B． C． D．2025 10．已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是___________． 【素养提升】 12．已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求的取值范围． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 课时1 函数的零点与方程的解 【基础巩固】 1．函数的零点为（ ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【解析】令，即，解得,所以函数的零点为和. 故选：D. 2．函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 3．若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性判断：若，因为函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 根据零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上有零点”的充分条件. 必要性判断：当函数在区间上有零点时，比如函数在区间[0,2]上有零点，此时，，， 即存在函数在区间上有零点时，的情况， 所以“”不是“函数在区间上有零点”的必要条件. 综上所得， “”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件. 故选：A. 4．函数的图象与轴的交点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象与轴的交点的横坐标， 即方程的解， 亦即函数的图象交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 观察图象知，函数的图象有2个交点， 所以函数的图象与轴的交点个数为2. 故选：B. 5．（多选）下列函数中有零点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，时，，所以有零点，故A正确； 对于B，时，，所以有零点，故B正确； 对于C，时，，所以有零点，故C正确； 对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 6．若关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由题意知，，所以原方程可化为， 设，，由对勾函数的性质知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以，即， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 7．已知函数的零点依次为，则的大小关系为___________． 【答案】 【解析】根据题意，得 令，即，故，所以； 令，即，故，且，则，所以； 令，即，故； 所以.故答案为：. 8．若函数. (1)若，求函数的零点： (2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)若，， 若，则或，所以函数的零点是； (2)由题意恰好有一个根， 等价于恰好有一个根， 即恰好有一个根， 令，则函数是增函数， 所以的值域是，故实数的取值范围为. 【能力拓展】 9．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【解析】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增，所以，则. 故选：D. 10．已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当时，令，即，解得或， 方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象， 结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是. 不妨设， 结合图象知：且，， 由，即，所以，又， ，故的取值范围是. 故选：C. 11．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)根据题意，因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以时，的最小值为2； (2)当时，， 令，所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又，而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点； (3)由，解得，则. 第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $