4.4.3 不同函数增长的差异 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3 不同函数增长的差异 【基础巩固】 1．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是（ ） A． B． C． D． 2．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数与时间之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下函数模型最能拟合与之间关系的是（ ） A． B． C． D． 3．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（ ） A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 6．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数， 从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___________． ①；②；③；④． 7．若已知，利用图象可判断出和的大小关系为___________． 8．为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分； （iii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分． 现有以下三个函数模型供选择：． (1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于分，则每天至少阅读多少分钟？ 【能力拓展】 9．三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 10．已知，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，，（且），给出下列四个结论： ①当时，对，函数的图象恒在函数的图象上方； ②当时，函数与的图象有两个交点； ③，当时，恒有； ④，方程，，都有解． 其中正确结论的序号是___________． 【素养提升】 12．平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 已知第10天的日销售收入为5050元． (1)给出如下四个函数模型：① ② ③ ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式； (2)设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.3 不同函数增长的差异 【基础巩固】 1．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着越来越大，函数的函数值的增长速度最快.故选：D． 2．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数与时间之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下函数模型最能拟合与之间关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图像单调递增且增长的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图像，函数，和的图像单调递增，但是增长速度越来越快，故排除ACD，而函数图像单调递增且速度越来越缓慢，所以选项B符合题意，最能拟合y与t之间的关系.故选：B. 3．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的数据可知，函数， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C. 故选：A. 4．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确.故选：A. 5．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（ ） A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 【答案】ABC 【解析】由题图可知，投资3天以内（含3天），采用方案一的回报最多，所以A正确； 若投资4天，则方案一的回报约为（元）， 方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确； 若投资6天，则方案一的回报约为（元）， 方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确； 若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多， 所以采用方案三，所以D错误． 故选：ABC. 6．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___________． ①；②；③；④． 【答案】① 【解析】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 7．若已知，利用图象可判断出和的大小关系为___________． 【答案】 【解析】作出和的图象，如图所示： 由图象可知，在内，； 或时，； 在内，；在内，. 故答案为：. 8．为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分； （iii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分． 现有以下三个函数模型供选择：． (1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于分，则每天至少阅读多少分钟？ 【答案】见解析 【解析】(1)根据图象是曲线，且增长速度越来越慢， 故选对数型函数模型：； 由题意可知在上， 所以，解得，所以， 所以函数的解析式为； (2)令，可得， 即解得，所以每天得分不少于分，至少需要阅读分钟． 【能力拓展】 9．三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【解析】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C. 10．已知，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：，作对数函数的图像如下图： 是轴上对应的点，过作轴的垂线，与函数的图像交于点，则， 过点作平行于轴的直线分别与交于点，由于函数的增长速度是随的增大而变慢的， ，即，，， ；故选：D. 11．已知函数，，（且），给出下列四个结论： ①当时，对，函数的图象恒在函数的图象上方； ②当时，函数与的图象有两个交点； ③，当时，恒有； ④，方程，，都有解． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】③④ 【解析】对于①.取 ，则满足， 满足， 所以此时，不满足函数的图象恒在函数的图象上方，故①不正确. 对于②. 当时，函数,， ,作出函数,的图像： 根据图像可得，在时，函数,有1个交点. 所以当时，函数与的图象有三个交点，故②不正确. 对于③. 当，时，的图像在轴下方；的图像在轴上方. 此时显然满足条件. 当时，对于对数函数和幂函数， 在区间，随着的增大，增长得越来越慢，图象就像与轴平行一样． 尽管在的一定变化范围内，可能会大于，但由于的增长快于的增长， 因此总存在一个，当时，就会有成立，故③正确. 对于④. ,在同一坐标系中作出函数，，的图像 如图函数，，两两都分别有交点， 所以方程，，都有解，故④正确. 故答案为：③④. 【素养提升】 12．平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 已知第10天的日销售收入为5050元． (1)给出如下四个函数模型：① ② ③ ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式； (2)设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势， 而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的， 故选择②分段函数模型． 将点，，代入(2)，得， 解得，故函数解析式为． 分别将和代入，解得，，与题中数据相符，因此该函数模型合理． (2)由(1)知， 又由题意知， 即，解得， 所以， 故． 当时，； 当且仅当，即，取得最小值； 当时，，在上单调递减， 所以， 因为，所以的最小值为． 综上所述，销售收入的最小值为元． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $