4.3 对数-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

4.3 4.3.1对数的概念 基础过关) 1.已知log2x=4,则x等于 A号 B.、1 2√3 C D 2.下列对数式正确的是 A.1g10=0 B.1g0=1 C.In 1=e D.In 1=0 3.把对数式x=1g3化为指数式为() A.102=3 B.x10=3 C.x3=10 D.3x=10 2 4.已知对数式1oga+4二。有意义，则a的取 值范围为 () A.(-1,4) B.(-1,0)U(0,4) C.{1,2,3) D.{0,1,2,3} 5.使对数log。(一2a十3)有意义的a的取值 范围为 ( A(侵，+∞) B(o,2) cou,2》D(,2 6.若loga3=m,loga5=n,则a2m+m的值是 ( A.15 B.75 C.45 D.225 7.若a=log43,则2a+2-a= 8.已知log[1og3(1og2x)]=0,那么x-÷ 第四章指数函数与对数函数77 对数 9.将下列指数式、对数式互化. (1)35=243; (②2-动： (3)log581=-4; (4)1og2128=7. 能力提升) 1.（多选)有以下四个结论，正确的是() A.lg1g10)=0 B.In(In e)=0 C.若10=1gx,则x=10 D.若e=lnx,则x=e 2.若a>0,a-号，则loga等于 () A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则1og(y) 的值是 () A.1 B.0 C.x D.y 4.若1og1-)(1十x)2=1,则x= 5.若x满足(1og2x)2一2log2x-3=0,则 x= 78无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 4.3.2 对数的运算 基础过关) 1.log8125可以化简为 A.log25 B.logs2 C.logs5 D.1og225 2.若3a=2,则log38-2log36的值为( A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2 3.已知log3x=m,log3y=n,则log3 y· 用m,n可表示为 () 1 C.m-n2 2 D.2m-3" 4.对于正数x,y,下列等式一定正确的是 A.loga(x·y)=logax·logay B.loga (x+y)=logax +logay C.loga(x÷y)=logax÷-logay D.logax-logay=loga(x.y) 5.1og242+1og243+1og244等于 A.1 B.2 C.24 D.7 6.化简√(I1og23)2一41og23十4+log23得 ( A.2 B.2-2log23 C.-2 D.2log23-2 7.025-2+1g3…1og4的值为 A R司 C.1 D.i 8.若1og2x·log34·log9=8,则x等于( A.8 B.25C.16 D.4 9.(多选)已知ab>0,有下列四个等式： ①lg(ab)=lga+lgb,②lg(号)=lga-lgbi ③2g(号=lg云：④ga)= 6g10其中 1 不正确的是 ( A.① B.② C.③ D.④ 10.已知lg2=a,lg3=b,则log6等于() A.atb B.Q+6 b a b D.atb 11.lg√5+lg√20的值是 12.若log.b·log6c·log3=2,则a的值 为 13.g2+lg5-lg×1g16+1g2)=」 2g+g8 14.已知log23=a,log37=b,则1og27= (用a,b表示)， 15.已知log32=a,则log218用a表示为 16.计算下列各式的值： a2起器含g8+lgv2西 (2l1g25+号1g8+1g5×1g20+(g2只. (3log35+21og+v2-1og0-log,14, (4)(1og2125+1og425+log85)·(1og2+ 1og2s4+1og1258). 、 能力提升 1.已知lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的 两个根，则(g)‘等于 () A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知logax=2,logx=1,logx=4(a,b,c, x>0且a,b,c,x≠1)，则logz(abc)等于 () A号 B号 c D 3.设log83=p,log35=g,则1g5等于( A.p2+g2 B号(3p+2g) 39 C.1+3pq D.pq 4.已知logb=a,lgb=c,5=10,则下列等 式一定成立的是 () A.d=ac B.a=dc C.c=ad D.d=a+c 5.若log4(3a十2b)=log2√ab,则a+b的最 小值为 () A.46 B.5+26 C.2√6 D.7+4√6 6.（多选)若10=4,10=25，则 ( A.a+b=2 B.b-a=1 C.lg20=1+g D.b-a=2lg 5 7.若gx十lgy=2lg(x-2y),则工= y 8.已知a,b,c是不等于1的正数，且a=b c,1++1=0,则ac的值为 x y z 第四章指数函数与对数函数79 9.已知logax十3loga-logry=3(a>1),若 设x=a. (1)试用a,t表示y; (2)若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和 当y取最小值时x的值.186无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 (2-2)）-2m(2-2）+2,令u=f(x)=2-,则 g0=-2mu十2，因为f)=2-是在R上为增函数，且 >1,所以w≥f1)=号，因为A()=2+克-2mf(x)在[1， +o∞)上的最小值为一2，所以g(u)=2一2mu+2在 [2,十o∞)上的最小值为-2，因为g6)=d-2m十2=(：- m)P+2-m的对称轴为u=m,所以当m≥号时，g(u)加 gm)=2-m=-2,解得m=2或m=-2(舍去)，当m<号时， 8a)=(受）=号-3m=-2,解得m侣>号（含去），综 上可知：m=2, 14.解：1)由及=合，则23=分，29=子，所以24十29- 2,2·2的=子，所以以24,2为根且二次项系数为1的 一元二次方程为2-2x+是=0， 1-25=k, f25=1-k, (2)由已知可得了 解得 22一1=k, 22=1十k, 1-2=2k+1' 1+k 25=2k+1' 解得 则4“4+21)= 24-1=2k+1' 2= (赏：器)广=()-(-3+)广，号<<1，则 产∈[6，+o),所以-3十∈[3，+o),则 （-3十兰)广∈[9，十∞)，所以4的取值范围 为[9，十∞). 4.3对数 4.3.1对数的概念 【基础过关】 1.D【解析：log2x=4,x=24=16,x立=(42)含=41= 子放选D】 2.D[解析：lg10=1,故A错误；lg0无意义，故B错误： ln1=0,故C错误，D正确.故选D.] 3.A[解析：因为g3表示以10为底3的对数，由对数的 定义可知对数式x=lg3化为指数式为10=3.故选A.] 4.B【解析：要使对数式1og+w己。有意义，必须满足 4-a>0, a十1>0，解得-1<a<0或0<a<4,故选B.】 (a+1≠1， 5.C[解析：由对数的概念可知使对数1og(一2a十3)有意义的 a>0, a需满足a≠1， 3 解得0<a<2,a≠1.故选C】 -2a+3>0, 6.C[解析：由条件log.3=m,log.5=n知am=3,a”=5,故 a2m+"=a2m·a=32X5=45.故选C.】 7.4y5【解析：因为a=log3,所以40=3，所以2=5.所 3 以2+2=5+1=4y5.1 √33 8&② 4 [解析：因为log[1og3(1og2x)门=0，所以log3(1og2x)=1, 所以1gx=3,所以2=x,所以x立=(2)=1 8 站1 9.解：(1)1og3243=5. 1 (2)1og:32=-5. (3)(号）厂=81. (4)27=128. 【能力提升】 1.AB[解析：lg(lg10)=lg1=0,ln(lne)=ln1=0,故AB 正确；若10=lgx,则x=101°，故C错误；若e=lnx,则x e,故D错误.故选AB.】 2.B【解析：因为n号=4， a>0.所以a=(告)产- (子）广'，设1og号a=x,所以（号）广=a.所以x=3.故选B.1 3.B[解析：由x2十y2-4x-2y十5=0，则(x-2)2+(y 1)2=0,所以x=2,y=1,所以1og(y2)=1og2(12)=0.故 选B.】 4.-3[解析：由loga-)(1+x)2=1,得(1十x)2=1-x, 1-x>0, 所以x2十3x=0,所以x=0或x=一3.注意到1一x≠1，所 1+x≠0， 以x=一3.】 5.8或7【解析：设1=1og:x,则原方程可化为P-21- 3=0,解得t=3或t=一1，所以1og2x=3或log2x=一1，所 以x=2=8或x=21=2】 4.3.2对数的运算 【基础过关】 1.A[解析：1og8125=1og2353=log25,故选A.] 2.A【解析：因为3“=2，所以a=log32,所以1og38一 2log6=31og32-2(1og32+1)=3a-2(a十1)=a-2.故 选A.] 3.D【解析：log =log√E-log√y·V5= y·y 1o-logg·yt=号1ex-号1ogy=7m-号 2 故选D.】 4.D[解析：log.（x·y)=logax十logy≠logx·logy,A 错；log(x+y)=logx十logy此式不成立，B错；log(x÷y)= 1ogx-logy≠iogz÷logy,C错，logx-l1ogy=log号- l1og(x·y》,D对.故选D.】 5.A【解析：log242+log243+1og244=1og24(2×3×4)= 1og2424=1.故选A.】 6.A【解析：√1og23)2-41og23十4=√1og23-2)7= 2-1og23.所以原式=2-log23+log23=2.故选A.] 7D【解析：原式=÷-之+最×最-子-合十 lg3×2lg2=7 g2g3=4.故选D.1 &B【解析：因为1ogr…1bg4·lg9=最影×贤等× 是号-最×聚号×=8所以g=2g5,所以 25.故选B.] 9.ABD[解析：①②式成立的前提条件是a>0,b>0:④式 成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立.故选ABD.] 10.B【解析：l0g,6=长9-g23-故选B.】 1g31g3 11.1【解析：lg√5+lg√20=lg√100=lg10=1.] 125【解析：由已知可得g2.·竖3=2，即8=2， lg a'lgb'lg c lg a 所以lg3=2lga,所以a2=3,a=√3.] 1B.5【解析：原式=e2X5。×g32=2× g[(2)'×8] 1g25=5.] 14ab【保折：bg7-器是-6g7Xs3-ah】 参考答案187 15.g+2 5a 【解析：因为1og:2=a,所以1og3=。,所以 logr18=号1og:(2×3)=号(1+21og:3) 号(1+2x日)=是1 16.解：1)（方法-）原式=号(5lg2-21g)-(号)× 2g2+号(2g7+g5)=号1g2-g7-2g2+1g7+ 21g5=21g2+2g5=2g2+1g5)=号g10=2 （方法二)原式=g9-g4+g7w5=g4②X?5 7×4 gg5)=lgv而=子 (2)原式=2g5+2lg2+lg5×(2lg2+lg5)+(1g2)2= 21g10+(1g5+lg2)2=2+(1g10)2=2+1=3. (3)原式=log35+1og550-l0g14+21og号27=1og 35×50+ 14 log号2=log53-1=2. 原式-(+服要+器)· 1og24 1bg25+70g12)）-（31og5+2og25+1og5 (10g 2+0g4+logs8 21og2231og22/ (e2+2器+0)-(6+1号）e5·(8%,2)= 10g2=13, 13log25·og25 【能力提升】 1.C【解析：由题意得，lga十lg6=2,lga·lg6=7,则 (lg号）'=ga-lgb=(lga+lgb)2-4lga…lg6=2- 4×号=2.故选C】 2.D[解析：x=d2=b=c,所以(abc)=x,所以abc=x子.即 lcg(ac)=子.故选D】 3.C【解析：因为16g,3=贤-最2-，所以g3 3pg2.因为16g,5=是3=g:所以lg5=g3=3olg2= 3pg1-lg5.所以1g5=译n故选C】 4.B【解析：由已知得5=b,10=b,所以5=10.因为5= 10,所以5=10，所以5=5°，所以dc=a,故选B.】 5.B【解析：因为log:(3a+2b)=log2√ab,所以 21og:(3a+26)=log:Va6,所以1ogaV3a+2D= 188无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 1ogVa,所以3a+2b=ab,(a>0,b>0),所以2+号=1， 所以a+6=(a+b6)(名+2)=5+的+2≥25+5，当 且仅当2b2=3a2时，等号成立.所以(a十b)mm=5十2W6.故 选B.] 6.ACD[解析：因为10=4,10=25，所以a=lg4,b= 1g25,所以a十b=1g4+1g25=1g100=2,A正确；b-a= g25-g4=1g空，B错误：因为1+号-1+8-1+g2 2 1g10+lg2=1g20,C正确；因为b-a=lg25-1g4= g华-g(停)'=2g号，D正确；故选ACD.】 7.4[解析：因为lgx十gy=2g(x-2y),所以 x>0,y>0, x-2y>0, 由xy=(x-2y)2,知x2-5xy+4y2=0, xy=(x-2y)2 所以x=y或x=4y.又x>0,y>0且x-2y>0,所以舍去 x=y,故x=4y,则工=4.】 8.1[解析：设a=b=c2=t(t>0),则x=log.t,y=log6t, 2=logt,所以1+1+1=1+1 Ty1og十iog+1og-loga+ 1ogb+logc=log(abc)=0,所以abc=1.] 3_logy=3(a>1), 9.解：(1)由换底公式，得1ogx十10gx一1og 所以logay=(log。x)2-3 logax+3.当x=a时，log。x= loga'=t,所以logy=2-3t十3.所以y=a2-3+3. (2)y=a(号)2+片，因为0<≤2，a>1,所以当=是时， ym=a子=8.所以a=16,此时x=a是=64. 4.4对数函数 4.4.1对数函数的概念 【基础过关】 1.A[解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有 自变量x;③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是 对数函数.故选A.】 2.C[解析：因为M={x1-x>0}={xx<1},N={xl1+ x>0}={x|x>-1},所以M∩N={x|-1<x1}.故选C.] 3C【解析：要使函数有意义，则一2少0， 解得x>2且 l1og2(x-2)≠0， x≠3.故选C] 4.A[解析：要使f(x)=log(x2一x-2)有意义，则x2一 x-2>0,解得x<-1或x>2,所以函数f(x)=log(x2- x-2)的定义域为{xx>2或x<-1.故选A.】 (x≥0， 5.B[解析：由 得0≤x<1.故选B.】 1-x>0, (a2-2a-3=0, 6.3[解析：依题意有a>0, 解得a=3.] a≠1， 7.1【解析：由a2-a十1=1，解得a=0或a=1.又底数a十 1>0,且a+1≠1，所以a=1.] 8.2【解析：由y=log号(3x-a)知，3x-a>0,即x>号 所以号-号即a=2.】 12-x≥0， 9.(0,1)U(1,2][解析：由题意得， 解得0< x>0,x≠1， x≤2，且x≠1，所以函数的定义域是(0,1)U(1,2].] 10.128【解析：由题意得5=21og4x-2,即7=1og2x,得 x=128.] 1.解.1)M=gA-1gA=lg会=1gO2=g10=4 20 即这次地震的震级为4级。 (5=1g As-lg Ao, (2)由题意得 所以lgA一lgA=3,即 8=1g As-lg Ao, e凳=3所以片=10=100 即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍. 【能力提升】 3-x>0, 1.C[解析：由题意知 x-1>0,解得1<x<3,且x≠2，故 x-1≠1， f(x)的定义域为(1,2)U(2,3).故选C.】 2.D[解析：将x=1,y=180代入y=alog2(x+1)得， 180=alog2(1+1),解得a=180,所以x=15时，y= 1801og2(15+1)=720.故选D.】 3.A[解析：由题意，函数f(x)=lg(mx2一mx+2)的定 义域为一切实数，等价于mx2一mx十2>0在R上恒成立， 若m=0,则mx2-mx十2=2>0在R上恒成立，满足条件； m>0, (m>0, 若m≠0，则满足 即 解得0< 4=m2-8m<0, (0<m<8, m<8,综上，实数m的取值范围是[0,8)，故选A.] 4.解：因为a>0且a≠1，设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax 为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3-2a.因为当x∈ [0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3-ax>0恒成立.