第4章 指数函数与对数函数 习题课(1)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

12.解：(1)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(一1)=f(1) 所以号+。吕=台+，即-吕=台-a心所以 (日-a)=c(日-a),所以-a=0,所以ad2=1,又a>0, 所以a=1. (2)f(x)=e2十e-.设x1>0,x2>0,且x1<x2,f(x2)- f)=+e4-4-e=-e+- (的-e)·(1-人因为x>0,>0,<,所以 >且e>1,所以(e的-e):(（1-e)>0,即 f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. 13.解：(1)设t=2,当x∈[1,2]时，t∈[2,4]：函数f(x) a·4一a·2+1+1-b,(a>0),在区间[1,2]上有最大值9 和最小值1，即g(t)=at2一2at十1一b,在t∈[2,4]时有最大 值9和最小值1(a>0);g()=a2-2at十1-b开口向上，对 称轴方程为t=1,则g(t)在[2,4]上单调递增； g(2)=4a-4a+1-b=1,g(4)=16a-8a+1-b=9.所以 a=1,b=0. (2)令1=2∈[号，4]，于是方程可变为：2-2+1-=0， 即及=4叶-2，由于函数y=1计子-2在[宁1]单润递 减，在[1,4幻单调递增，且当=1时，y=0,当=2时，y= 合，当1=4时y=号，要使方程有两个不同的解，则0< <分故实数灰的取值范围为(0，] 14.解：(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0,b=1. 又f(-1)=-f(1),得a=1. ②任取五6R,且<则)-)=号 1-22 (1-25)(22+1)-(1-22)(251+1) 22+1 (21+1)(22+1) 2十1D(2十D因为1<，所以2%-24>0，又 2(222-2) (21+1)(2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)为 R上的减函数， (3)不等式f(t2-2t)+f(2-k)<0恒成立，所以f(2 2t)<-f(2-k),因为f(x)是奇函数，所以f(-2t)< f(k-2),因为f(x)为减函数，所以-2t>k-2.即k< 3-2红恒成立，而32-2=3(-子)）'-子≥-子所以 <一 参考答案 183 习题课(1) 【基础过关】 1.B【解析：函数f(x)过定点为(2,1)，代入选项验证可知 B选项过M点.故选B.】 2.D[解析：因为函数y=0.7为R上的减函数，0.5<0. 8,所以1=0.7°>a=0.70.5>b=0.70.8,而1=(W2)°<c= (√2).8，所以b<a<c.故选D.] 3.B【解析：易知函数y=e2一el是偶函数，排除选项A; 当x>0时，y=e2-e是减函数，排除选项D;当x=0时， y=e2-1>0,排除选项C.故选B.】 4.AB[解析：y=1.8单调递增，2.5<3，所以1.82,5< 1.8,A正确；y=0.99单调递减，-0.1>-0.2，所以 0.99-01<0.99-0.2,B正确；又1.703>1.7°=1,0.93.1< 09=1,所以1.>0.9，C错误：[（号）产] (兮)'=京[()门=(》'=高因为<à所 以(3)广<()广，D错误故选AB.1 5.B【解析：a=302∈(1,3)，6=0.23=(（号）=5- 125,c=(-3)0.2=(-3)言<0，所以b>a>c.故选B.】 6.C[解析：函数y=a在[0,1]上是单调的，最大值与最小 值都在端点处取到，故有a°十a'=3,解得a=2,因此函数 y=2ax-1=4x-1在[0,1]上单调递增，当x=1时，ymx= 3.故选C.】 7.C[解析：因为f(x)为奇函数，但函数的定义域不确定， 所以用定义f(-x)=一fx),即？+1=2+。 2-a。-2,所以 产品-号所以a=1,放)=告0，根据 2-1 题意，令1=2，由)>3可得告>3告-3>0台 号<001<1<2，即1<2<2，解得x∈0,10.放选C】 8C【解析：要使函数f)=V公可十己有意义，则 2-1≥0， 解得x≥0且x≠2，即函数的定义域为[0,2)U x一2≠0， (2,十∞).故选C.] 9.A[解析：由指数函数定义知，b=1.故a十a2=6.又因为 a>0,所以a=2.故选A.] 10.cD【解析：因为亡>古>0，所以0<a<6对于A,因 184无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 为函数f(x)=x是增函数，所以a3<b,A错误；对于B, |a=a<b=|bl,B错误；对于C,>1成立，C正确；对 于D,因为函数∫(x)=(分)）广是减函数，所以（分）广> ()广，D正确.故选CD.1 11.(-∞，1) 【解析： ()>16,即()> (),由指数函数的单调性，得x-3<-2,即x<1.】 12.一2【解析：把点(1,2)代入，得2=a2+6+1,所以 a2+b=1恒成立，所以2+b=0,所以b=-2.] 13.(1,+∞)[解析：令2=t(t>0),则y=+2t+1= (t十1)2，因为该二次函数在t∈(0，十∞)上递增，所以y> 1,即原函数的值域为(1，十∞).] 14.[(号)，1][2,2]【解析：令=x+z+2 V=(x-2)(x+=√-(x-2)+是，则0≤≤号，所 以（分）广[（合）产，]，即函数y=(合)的 值域是[（侣）产，1小：函数y=()示的定义坡为 [-1,2].当0<≤号时y=(分）广单调递减，当2≤x<2 时，函数：单调递减，所以函数y的增区间为[号，2]】 15.解：(1)由题意得，f(x)的定义域为{x|x≠0}.f(1)=2十 a(-1D=-1-2a,因为)-多士是奇函数所以 一f(一1)，得a=1:经检验a=1满足题意 （2)根据10可知f)=器号，化简可得)=1十名， 当x∈(0，+∞)时，f(x)>1,对任意x∈(0，十∞)都有 f(x)≥2m2-m,所以1≥2m-m,即-合≤m<1.故m的取 值范围为[-之，1] 【能力提升》 1.ABD【解析：A正确，∫(-x)=2工=-)， 2 g-=+元=g),所以f-x)+g(-x）=g()- 2 f(x);B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(一2)< f(3):C不正确，f(x)-g(x)=二-元+ 2 2 二2=一；D正确，f(2x=“=2X 2 2 2 元+=2f(x)g(x).故选ABD.】 2 2.C[解析：由f(x)是定义在R上的偶函数且在区间 (一∞，0)上单调递增，可知f(x)在区间(0，十∞)上单调递 减，所以由f(2-1)>f(-√2)，f(一√2)=f(W2),可得 2-<厄，即1a-1<2,所以<a<号故选C.】 3.D[解析：当0<a<1时，当x>2时，f(x)的取值范围为 (0,a2),与值域为[4，十∞)矛盾，所以0<a<1不成立，当 a>1时，对于函数f(x)=6一x,x≤2，函数的值域为 [4,十∞).所以，只需当x>2时f(x)的取值范围为[4， 十o∞)的子集即可.即a2≥4，解得a≥2（舍去a≤-2），综上 可知a的取值范围为[2，十o∞).故选D.] 4.B[解析：因为a·9+2·3-1<0对任意x>0恒成 立，所以a<2部-2·，令= (0,1),所以a·9+2·3-1<0对任意x>0恒成立等价 于a<2-2t对任意t∈(0,1)恒成立，因为2-2t=(t一 1)2-1>-1,所以a≤-1.故选B.】 5.C[解析：因为f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数，所以 f(0)=0,当x∈(0,2]时，f(x)=2一1∈(0,3]，则当x∈ [-2,2]时，f(x)∈[-3,3]，若对于Vx∈[-2,2]，x∈ [-2,2],使得g(x2)=f(x1),则等价为g(x)mx≥3且 g(x)mn≤-3，因为g(x)=x2-2x十m=(x一1)2+m一1， x∈[-2,2]，所以g(x)mx=g(-2)=8+m,g(x)mn= g(1)=m-1,则满足8+m≥3且m-1≤-3，解得m≥-5 且m≤-2，故-5≤m≤-2.故选C.] 6.CD[解析：作出函数f(x)=|2一1|的图象，如图，因为 a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知，0<f(a)<1, a<0,c>0,b的正负不确定，所以0<2<1，有22<1，所以 f(a)=12-1=1-2<1,由c>0,f(c)<1,所以0<c< 1.所以1<2<2，从而2<2，由f(c)=|2一1|=2-1， f(a)>f(c),所以1一2>2一1，所以2+2<2.故选CD.J -0 -1 7.(,+∞）【解析：设g(x)=f(x)-1=2020- 2020-,则g(-x)=2020-1-2020=-g(x),所以g(x) 是奇函数，易知g(x)=2020F一2020-+是R上的增函数， 由f(2x-1)+f(2x)>2得f(2x-1)-1+f(2x)-1>0, 即g(2x-1)+g(2x)>0,所以g(2x-1)>g(-2x),即 2x-1>-2x,解得x>子.】 8[是，]【解析：=-g+(兮)+ -(3)“+3×(3)广+，令1=(3)广，因为x[-1, 十∞)，所以t长(0,3]，原函数的值域等价于函数g(t)=-一2十 3+子=-(-号)'+3(0<≤3)的值域，所以g()在 (0,2]上单调递增，（三，3]上单调递减，g(三）=3，g(3) 所以∈[，31 9.解：(1)函数y=a(a>0且a≠1)在[1,2]上单调，所以 a十a2=20,解得a=4或a=一5（舍去），即a=4. 2)由1)知f)=2,所以f()+f1-x)= 特+干中+2 4* 41- 42 4* 2 +2十4千2-1. (3)由(2)知f(20)+f(28)=1,,1(88)+ r(80)=1,(8器）)+(88)=1，所以原式=1+ 1++1+号=2019 2 10.解：(1)g(x)=(x-a)2+1-a2,当a<1时，g(x)在[1,3]上 单调递增，所以g(x)m=g(1)=2-2a=0,即a=1,与a<1矛 盾.故舍去.当l≤a≤3时，g(x)m=g(a)=1-a2=0,即a= 士1，故a=1,此时g(x)=(x一1)2，满足x∈[1,3]时其函数值域 为[0,4].当a>3时，g(x)在[1,3]上单调递减，g(x)m=g(3)= 10-6a=0,即a=号，舍去.综上所述a=1. (2)由已知得(2)2-2×2+1-k·4≥0在x∈[1，+∞) 上恒成立，即k≤（会）°-2（分）+1在x[1,+∞)上恒 成立，令=六，且(0,2]，则上式可化为≤-2+1， e(0,2]恒成立.记h()=2-2+1,因为t∈ (0,令]时，h(0单调递减，所以h()=A(分)=子，故 k≤子，所以k的取值范围为(-0，子] 1.解：)当a=1时，)=（兮）》广令g)=c 4x十3，由于g(x)在（一∞，2）上单调递减，在(2，十∞)上单调 参考答案185 递增，而y=(号)广在R上为减函数，所以f(x)在(-，2) 上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，即函数f(x)的单调递 减区间是(2，十∞)，单调递增区间是（一∞，2）. 2令=ar-4z+3则)-(g)》“ ,因为f(x) 的最大值为3，所以h(x)的最小值为一1，当a=0时，f(x)= a>0, (兮)）， ,无最大值；当a≠0时，有 3a-4=-1, 解得 a a=1,所以当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1. ③)由指数函数份位质知，要使)-（传）- 的值域 为(0，十o∞)，应使h(x)=ax2-4x十3的值域为R.当a=0 时，h(x)=-4x十3，值域为R,符合题意；当a≠0时，h(x) 为二次函数，其值域不为R,不符合题意.故当f(x)的值域 是(0，十∞)时，实数a的值为0. 12.解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2-m-1=1,解得 m=一1或m=2,又因为f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以 -2m-1>0,即m<-子，即m=-1,则g()=2-2,因 为y=2:与y=一是均在R上单调递增，所以函数g()在 R上单调递增， (2)因为g(-)=2-2是=-(2-安）=-g(x),所以 g(x)是奇函数，所以不等式g(1-3)十g(1+t)≥0可变为 g(1-3)>≥-g(1+t)=g(-1-t),由(1)知g(x)在R上单 调递增，所以1一3t≥一1一t,解得t≤1.故实数t的取值范 围是(-∞，1]. 13.解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)= 0,所以1+(1-)=0，得1=2，此时f(x)=a一，满足 -)=是-a=-(e-子）=-f0x)为奇函数 (②)由1：fx)=-（a>0,a≠1，因为a>1,所以 f)=a一在R上单涧递增，又)是定义域为R上的 奇函数，所以f(x2+bx)+f(4-x)>0台f(x2十bx)> f(x-4)台x2+bx>x-4.即x2+bx-x+4>0在x∈R上 恒成立，∴.△=(b一1)2-16<0，即一3<b<5,所以实数b的 取值范围为（一3,5）. (3)因为f1)=是，所以a-合=是，解得a=2或a= a -2(舍去)，所以h(x)=2+名-2m(2-是) 186无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 (2-2)）-2m(2-2）+2,令u=f(x)=2-,则 g0=-2mu十2，因为f)=2-是在R上为增函数，且 >1,所以w≥f1)=号，因为A()=2+克-2mf(x)在[1， +o∞)上的最小值为一2，所以g(u)=2一2mu+2在 [2,十o∞)上的最小值为-2，因为g6)=d-2m十2=(：- m)P+2-m的对称轴为u=m,所以当m≥号时，g(u)加 gm)=2-m=-2,解得m=2或m=-2(舍去)，当m<号时， 8a)=(受）=号-3m=-2,解得m侣>号（含去），综 上可知：m=2, 14.解：1)由及=合，则23=分，29=子，所以24十29- 2,2·2的=子，所以以24,2为根且二次项系数为1的 一元二次方程为2-2x+是=0， 1-25=k, f25=1-k, (2)由已知可得了 解得 22一1=k, 22=1十k, 1-2=2k+1' 1+k 25=2k+1' 解得 则4“4+21)= 24-1=2k+1' 2= (赏：器)广=()-(-3+)广，号<<1，则 产∈[6，+o),所以-3十∈[3，+o),则 （-3十兰)广∈[9，十∞)，所以4的取值范围 为[9，十∞). 4.3对数 4.3.1对数的概念 【基础过关】 1.D【解析：log2x=4,x=24=16,x立=(42)含=41= 子放选D】 2.D[解析：lg10=1,故A错误；lg0无意义，故B错误： ln1=0,故C错误，D正确.故选D.] 3.A[解析：因为g3表示以10为底3的对数，由对数的 定义可知对数式x=lg3化为指数式为10=3.故选A.] 4.B【解析：要使对数式1og+w己。有意义，必须满足 4-a>0, a十1>0，解得-1<a<0或0<a<4,故选B.】 (a+1≠1， 5.C[解析：由对数的概念可知使对数1og(一2a十3)有意义的 a>0, a需满足a≠1， 3 解得0<a<2,a≠1.故选C】 -2a+3>0, 6.C[解析：由条件log.3=m,log.5=n知am=3,a”=5,故 a2m+"=a2m·a=32X5=45.故选C.】 7.4y5【解析：因为a=log3,所以40=3，所以2=5.所 3 以2+2=5+1=4y5.1 √33 8&② 4 [解析：因为log[1og3(1og2x)门=0，所以log3(1og2x)=1, 所以1gx=3,所以2=x,所以x立=(2)=1 8 站1 9.解：(1)1og3243=5. 1 (2)1og:32=-5. (3)(号）厂=81. (4)27=128. 【能力提升】 1.AB[解析：lg(lg10)=lg1=0,ln(lne)=ln1=0,故AB 正确；若10=lgx,则x=101°，故C错误；若e=lnx,则x e,故D错误.故选AB.】 2.B【解析：因为n号=4， a>0.所以a=(告)产- (子）广'，设1og号a=x,所以（号）广=a.所以x=3.故选B.1 3.B[解析：由x2十y2-4x-2y十5=0，则(x-2)2+(y 1)2=0,所以x=2,y=1,所以1og(y2)=1og2(12)=0.故 选B.】 4.-3[解析：由loga-)(1+x)2=1,得(1十x)2=1-x, 1-x>0, 所以x2十3x=0,所以x=0或x=一3.注意到1一x≠1，所 1+x≠0， 以x=一3.】 5.8或7【解析：设1=1og:x,则原方程可化为P-21- 3=0,解得t=3或t=一1，所以1og2x=3或log2x=一1，所第四章指数函数与对数函数 73 习题课(1) 基础过关) 5.已知a=3.2,b=0.2-3,c=(-3).2,则a, b,c的大小关系为 () 1.函数f(x)=a-2(a>0,a≠1)的图象恒过 A.abc B.b>a>c 点M,下列函数中图象经过点M的是 C.c-a-b ( D.b>c>a ) 6.函数y=a在[0,1]上的最大值与最小值 A.y=√1-x 的和为3，则函数y=2ax一1在[0,1]上的 B.y=|x-1 最大值是 () C.y=2z-1 D.y=x2 A.6 B.1 C.3 D 2.已知a=0.7.5,b=0.70.8,c=(√2)°.8，则 7.若函数了(x)=是奇函数，则使 2r-a a,b,c的大小关系为 () f(x)>3成立的x的取值范围为() A.a<b<c B.c<b<a A.(-∞，-1) B.(-1,0) C.c<a<b D.b<a<c C.(0,1) D.(1,+∞) 3.函数y=e2一e(e为无理数，e= 2.71828…)的图象可能是 8.函数f代x)=V2-+2的定义域为 A.[0,2) B.(2,十∞) C.[0,2)U(2,+∞) D.(-∞，2)U(2,+∞) 9.已知指数函数y=b·a在[b,2]上的最大 值与最小值的和为6，则a的值为() A.2 B.-3 C.2或-3 n-吉 4.(多选)以下关于数的大小的结论中正确 10.(多选)尼知日>>0，则 ( 的是 A.ab B.ab A.1.82.5<1.83 B.0.99-0.1<0.99-0.2 c2>1 D.()>( C.1.70.3<0.93.1 山.满足（保）>16的x的取值范围 D.(传)>() 是 74无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 12.函数y=a2x+b十1(a>0,且a≠1)的图象 B.(-∞，2)U(3,+∞) 恒过定点(1,2)，则b 13.函数y=4+2x+1+1的值域是 c合引 14.函数)=（合】 -x+x+2 的值域是 D(层，+∞ 单调递增区间是 3.已知实数a>0且a≠1，若函数f(x)= 15.若f(x)= 是奇函数 f6-x,x≤2， 的值域为[4，十∞)，则a的 a',x>2 (1)求a的值； 取值范围是 () (2)若对任意x∈(0，十∞)都有f(x)≥ A.(1,2) B.(2,十∞) 2m2-m,求实数m的取值范围. C.(0,1)U(1,2] D.[2,十∞) 4.关于x的不等式a·9r+2·3-1<0对 任意x>0恒成立，则实数a的取值范围 是 () A.a<-2 B.a≤-1 C.a≤-2 D.a<-1 5.已知f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数， 当x∈(0,2]时，f(x)=2x一1，函数 g(x)=x2一2x+m,如果对于任意x1∈ [-2,2],存在x2∈[-2,2]，使得g(x2)= f(x1),则实数m的取值范围是() 能力提升) A.(-∞，-2) B.(-5,-2) 1.(多选)已知函数f(x)=π一π 2g(x)= C.[-5,-2 D.(-∞，-2] 6.已知函数f(x)=|2一1|，a<b<c且 元+π，则f(x),g(x)满足 2 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中，一定 A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) 成立的是 () B.f(-2)<f(3) A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0，c>0 C.f(x)-g(x)=π C.2<2 D.2a+2<2 D.f(2x)=2f(x)g(x) 7.已知函数f(x)=2020-2020-x+1,则 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 不等式f(2x一1)十f(2x)>2的解集 区间（一o∞，0）上单调递增.若实数a满足 为 f(2a-川)>f(一√2)，则a的取值范围是 8.函数f(x)=-9+(》 [一1，+∞)的值域为 A-,》 第四章指数函数与对数函数75 9.已知函数y=a(a>0且a≠1)在[1,2]上 (3 ar-4r+3 11.已知函数f(x)= 的最大值与最小值之和为20，记 (1)若a=1,求f(x)的单调区间； )a2 (2)若f(x)的最大值为3，求实数a (1)求a的值； 的值； (2)证明f(x)+f(1-x)=1; (3)若f(x)的值域是(0，+∞)，求实数a 3)求f2a+f2a)+f2)+叶 的值. f28器)的值 12.已知幂函数f(x)=(m2一m一1)· 10.已知g(x)=x2-2ax十1在区间[1,3] xm-1在(0，十∞)上单调递增，又函数 上的值域为[0,4幻. (1)求实数a的值； 8)=2r+婴 (2)若不等式g(2r)一k·4≥0在当x∈ (1)求实数m的值，并说明函数g(x)的 [1,十o∞)上恒成立，求实数的取值 单调性； 范围. (2)若不等式g(1-3t)十g(1+t)≥0恒 成立，求实数t的取值范围. 76无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 13.已知函数f(x)=a+1-'(a>0,a≠1) 14.已知0<k<1,设方程|2r-1|一k=0的 根分别为x1,x2(x1<x2),方程|2r一1一 是定义域为R的奇函数. (1)求实数t的值； 2k十=0的根分别为x4(<x4). k (2)若a>1,且不等式f(x2+bx)+ (1)若=2，试求以25,2为根，且二次 f(4一x)>0在x∈R上恒成立，求实 项系数为1的一元二次方程； 数b的取值范围； (3)若f1)=号，且(x)=。+点 (2)若号≤k<1,求4+的取值 2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为 范围. 一2，求m的值.