4.1 指数-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

178无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 【能力提升】 1.A[解析：由甲、乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所 以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个 进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不 变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出 水，所以只有①正确.故选A.】 2.C[解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系可 知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高：反之，当即时 价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能 正确.故选C.】 3.B【解析：设原销售价为a,原进价为x,可以列出方 程组： a-x×100%=1001 解得r=15.故选B.] a二x18%×100%=10+, x(1-8%) 100 415,2【解析：由三角形相似得登三壳得=子（24- y),所以S=xy= 6y122+180(8≤y<24).所以当y=2 时，S有最大值，此时x=15.] 5.11.5[解析：根据表中数据，销售单价每增加1元，日均 销售就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售 利润为y元，日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(0< x<13)(桶)，则y=(520-40x)x-200=一40x2十520x 200,0<x<13.当x=6.5时，y有最大值.所以只需将销售 单价定为11.5元，就可获得最大利润.】 6.解：(1)设旅行团人数为x,飞机票价格为y元，则y= 900,0<x≤30，x∈N", 即y= 900-10(x-30),30<x≤75，x∈N, 900,0<x30,x∈N·, 1200-10x,30x≤75，x∈N (2)设旅行社获利S元，则S= 900x-15000,0<x≤30，x∈N°， x(1200-10x)-15000,30<x≤75，x∈N [900x-15000,0<x30,x∈N', 即S= -10(x-60)2+21000,30x≤75，x∈N* 因为S=900x一15000在区间(0,30]上单调递增，当x=30 时，S取最大值12000. 又S=一10(x一60)2+21000在区间(30,75]上的对称轴为 x=60,当x=60时，S取最大值21000.故当x=60时，旅行 社可获得最大利润。 第四章指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 第1课时n次方根与分数指数暴 【基础过关】 1.A[解析：因为(a)=a,所以(2)4=2.故选A.】 2.D[解析：因为m0=2,所以m=士2=士2.故选D.】 3.A[解析：a十b=93-π)+(2-)F=3-π十π-2=1. 故选A] 4.A[解析：由题意可知a一b>0,所以a≥b.故选A.】 5.CD【解析：①16的4次方根应是士2；②16=2，所以 正确的应为③④.故选CD.] 6.B【解析：因为a<年，所以4a-1<0,所以V4a-1- |4a-1|=-(4a-1)=1-4a.故选B.] 7.AC【解析：(-4)2m>0,故A有意义；(-4)2m+1<0,故 B无意义；C显然有意义；当a<0时，a5<0,此时匠无意 义，故D不一定有意义.故选AC.】 8.-3【解析：-27=-3)=-31 9.-1[解析：因为x>3,所以√2-6x+9-|2-x|= √(x-3)-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)= -1.1 0,a<b, 10. [解析：√/(a-b)+a一b)5=|a 2(a-b),a≥b 0,a<b, b+(a-b)= 】 2(a-b),a≥b. 11.解：(1)因为x<π，所以x一π<0，当n为偶数时， (x一π)"=|x一π|=π一x;当n为奇数时，W(x-π)"= π-x,n为偶数，n∈N°， x一元.综上，(x一π)= x一x,n为奇数，n∈N. 1 (2)因为a≤z,所以2a-1≤0，所以V4a=4a+- /(2a-1)2=|2a-1|=1-2a. 12.解：(1由于根指数是3，故x只需使，3有意义即可，此 时x一3≠0，即x≠3. 故实数x的取值范围是x≠3. (2)因为√/(x-5)(x-25)=/(x-5)2(x+5)=(5-x)· [x+5≥0， √x+5,所以 所以一5≤x≤5.所以实数x的取 x-5≤0， 值范围是-5≤x≤5. 【能力提升】 1.ABC[解析：A选项9a=|a|,B选项a°=1，a≠0时成 立，C选项/（一4）=4，D选项（一5）=一5，正确.故 选ABC.] 2.C【解析：因为√2-x有意义，所以2-x≥0，即x≤2，所 以原式=√(x-2)7-√(x-3)=|x-2|-|x-3引=(2 x)一(3一x)=-1.故选C.] 3.C[解析：因为xy≠0，且√y=-xwW,所以y>0, xy<0,则y>0,x<0.故选C.】 4.C[解析：由题意知a≤0，故a√一a=一(-a)√一a= -√(-a)(-a)=--a3.故选C.】 5.3-2√2 /3-2√2 (3-2√2)2 【解析√3+22√(3+22)3-2② √(3-2√2)2=3-2√2.] 6V。【解析：要使√厂石有意义，需a<0.所以 -aV石=lal√石-√ia(-)=a1 7.2√2[解析：√1+2)+√1-√2)=1+√2+W2-1) 22.1 8.b-a[解析：由题图知x=一1时，y=a一b十0.3<0， 所以a-b<0.所以/(a-b)=la-bl=-(a-b)=b-a.】 9.-56【解析：因为1)--1(n>1,n∈N),所以n 为大于1的奇数，因为-15m=(。-罗）》-要当n=7 时，m2-15n取得最小值，最小值为-56.故答案为-56.】 10解：1)原式=√厚-厚-店-号号 (2)原式=-8+1V5-2|+(2-√3)=-8+2-√3+2 5=-4-25. (3)原式=(W厚-√)3+1D+1=(-)3+ 1)+1=23-1D63+1D+1=号×3-10+1=1+1=2 参考答案179 4.1.1n次方根与分数指数幂 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 第2课时指数暴的运算 【基础过关】 1.C[解析：要使(3-2x)-÷有意义，需使3-2x>0,即x< 号故选C】 2c【解桥：[一同门十=3=动-方-停故 选C.】 3.B【解析：证=aa-立，则， a" aaa·a a2-号-=a.故选B.] 4.C【解析：原式=66=-3a付.故选C.】 2a5b号 5.C[解析：选项A中，（一1）和(-1)号均符合分数指 数幂的定义，且(-1)寸=一1=-1，(-1)= 9(一1)严=1，故A不满足题意；选项B中，0的负指数幂没 有意义，故B不满足题意：选项D中，4和（号）厂虽符合 分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C 中，2分=√2,4分=2-2分=√2，满足题意.故选C.] 6B【解折：由题意知山<0，a√臣+0√号= a√要+-a+6√层=a源+6 0.故选B.】 7.D【解析：因为2m·4"=2m·22=2m+2m=24,所以m十 2n=4.故选D.] 8.D[解析：（一2）-2= (-2)7=车，故A错误；2a3= 号放B错误（一2）°=1，故C错误：(a十)1=a-日 故D正确，故选D.] 9.BD【解析：A错，=一y方(y<0);B正确，x÷= 是-()-)>0：C指，x =2(x≠0)：D 正确，[(-x)]=x2×号×子=x克(x>0).故选BD.】 1020听【解折兰201 1.1【解析：原式=29、2竖 2=2 892)92=1.】 12.√13【解析：因为(a立十a堂)2=a十a1十2= 180无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 (a-a量)2+4=9+4=13.又因为a量+a号>0，所以 a克+a克=√3.】 13.1[解析：√ai·√a声÷√√a可，a=a·。哥÷ √a号·a=a÷√a=a÷a=l.】 14.-6【解析：16-（合）-（员）=(4)-4 [(号)]手-4-4-（号）-子-4-号=-61 【能力提升】 1.D【解析：原式=a号×子×6a导×号×(-》=a3a2=a.故 选D.】 2.15【解析：由2=8+1，得2=23y+3,所以x=3y+3①. 由9=3-9，得32y=3-9,所以2y=x-9②.由①②联立方 程组，解得x=21,y=6,所以x一y=15.】 「a2m+n=2-2,① 3.4【解析：因为 所以①X②得a3m=25, am-0=28,② 所以a”=22.将am=2代入②得22·a"=2,所以a”= 2-6,所以am+m=a4m·a”=(am)1·a”=(22)4·2-6= 22=4.1 10…a2.6-2X10a 4.8a【解析：原式=2×·b ad.1 5品 【解析：m=2,n=3,则原式= 「m奇·n之 n·m-子 ()]=…)= 2x3=品】 6.解：(1)因为4+4-x=(2r)2+(2-r)2=(2x+2-x)2-2· 2·2=a2-2,所以(4+4)2=16+16+2=(a2 2)2=d-4a2+4,所以16+16x=a4-4a2+2. (2)京-y7 (x克-y隆)2 =+y-2(y)立.因 x7+y克(x立十yz)(x立-y) x-y 为x十y=12①，xy=9②，所以(x一y)2=(x+y)2-4xy= 122-4×9=108.又因为x<y,所以x-y=-6V5③.将② ③代人0，得中-史=12-2X9吐-- x+y-6√5 3 7.解：因为a=70,且x,w为非零实数，所以(a)六 (70)六，所以a=702.同理，可得位=70宁，c÷=702.所 以a÷·b品·c品=702·703·702，即(abc)= 70时.+号十-日a6,c为正整数，且a,6c x 均不等于1，所以abc=70=2×5×7.因为a≤b≤c,所以a= 2,b=5,c=7. 4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 【基础过关】 1.C[解析：因为函数f(x)=(2a一7)a是指数函数，所以 2a-7=1,解得a=4.所以f(x)=4,所以f(1)=4.故 选C.] 2.C[解析：f(x十y)=a+y=a'a'=f(x)f(y).故选C.】 a>0, 3.B【解析：由题意得a≠1， 解得a=2或a=3. a2-5a+7=1, 故选B.] 4.B【解析：因为函数y=a2(1十a)F是指数函数，所以 a2=1, 1+a>0,即a=1.故选B.1 1+a≠1， 5.C[解析：设每年的衰减率为q%,则(1一9%)0=0.9， 所以1一q%=0.9而，所以y=m·(1一q%)=0.9骆m.故选 C.] 6.③[解析：①中指数式（√2）F的系数不为1，故不是指数 函数；②中y=4:1,指数位置不是x,故不是指数函数；④中 指数不是x,故不是指数函数：⑤中函数是幂函数.】 7.一11【解析：因为函数的图象过点(1,2)，所以 (分）”=2，所以a=-1,所以f(x)=2,g(m)=f(m)可变 形为4m-2m-2=0,解得2m=2,所以m=1.】 8,子【解析：设f(x)=a(a>0且a≠1)，由f(-2)=4, 得a=4,解得a=是，所以x)=(分)'，所以f(-1) (分)厂'=2，所以f-1D)=f2)=(分)广=子1 9.解：(1)由a2一a-5=1,可得a=3或a=-2(舍去)，所 以f(x)=3. (2)F(x)=3x一3-x,定义域为R,所以F(一x)=3-x-3= 一F(x),所以F(x)是奇函数 【能力提升】 1.B【解析：因为f(号）=1-（号）=1-3=-2，所 以f((号)）=f-2)=2=是.故选B.1 2.A[解析：设甲、乙两旗舰店1月份的营业额均为m,甲第四章指数函数与对数函数 63 第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 7.(多选)若n∈N,a∈R,则下列各式中一定 4.1.1n次方根与分数指数幂 有意义的是 ( ♪4.1.2无理数指数幂及其运算性质 A.-4) B.(-4)2m+T 第1课时n次方根与分数指数幂 C.Va D.园 8.3-27= 。基础过关) 9.若x>3,则√2一6a+9-|2-x= 1.(2)4运算的结果是 10.化简：√(a-b)z+/(a-b)5= A.2 B.-2 C.±2 D.不确定 11.化简：(1)V(x-π)"（x<π，n∈N*); 2.已知m0=2,则m的值为 ( ) (2)4a-4a+T(a≤2)月 A.12 B.-92 C.√2o D.±2 3.若a=9(3-r),b=2-x),则a十b 的值为 () A.1 B.5 C.-1 D.2π-5 4.若√(a-b)2=a-b,则 () A.a≥b B.a>b C.a<b D.a≤b 5.（多选)下列说法正确的是 () ①16的4次方根是2；②16的运算结果 是±2；③当n为大于1的奇数时，a对任 意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶 数时，Wa只有当a≥0时才有意义 A.① B.② C.③ D.④ 6.若a<子，则化简√4a-1)的结果是 () A.4a-1 B.1-4a C.-√4a-1 D.-√1-4a 64无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 12.写出使下列各式成立的实数x的取值 6把-a√ a 根号外的a移到根号内等 范围. = 于 7.化简1+√2)+1-2) (2)√(x-5)(x2-25)=(5-x)√Jx+5. 8.已知二次函数y=ax2+bx十0.3的图象 如图所示，则(a-b)的值为 9.若(-1)”=-1(n>1,n∈N),则n2 15n的最小值为 (2)-8)+√(3-2)-(W3-2); (3) -·s+)+ 。能力提升) (√2022-√2021)°. 1.(多选)下列各式错误的是 () A.Va-a B.a°=1 C.(-4)=-4 D./-5)下=-5 2.当√2一x有意义时，化简√x2一4x十4 √x2-6x+9的结果是 () A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 3.若xy≠0，那么等式√xy=-xy√成立 的条件是 () A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0,y<0 4.下列式子中一定成立的是 ( A.a√-a=√-a B.a√-a=-√a C.a√-a=--a3D.a-a=√a 5. 3-2√2 3+2√2 第四章指数函数与对数函数 65 7.若2m·4”=16,则必有 4.1.1n次方根与分数指数幂 A.mn-4 B.mn=2 >4.12无理数指数幂及其运算性质《 C.m+2n=2 D.m+2n=4 第2课时指数幂的运算 8.若实数a>0,则下列等式成立的是( A.(-2)-2=4 B.2a-3=1 基础过关) 2a 1.若(3一2x)-÷有意义，则实数x的取值范 C.(-2)°=-1 D.(a)=1 围是 9.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正 A.(-o∞，十∞) 确的是 ( B(-∞，2)u(停+∞) A.y=y(y<0) c(-,) B.:-G-0) D.(,+e∞ C.x寸=-x(x≠0) 2.化简[(-3)]的值等于 D.[-x)]=x(x>0) A.、③ 3 B.√3 10.计算 22 c号 D.-√3 1.化简2).V 8 3.若a>0,则3 a2 的值为 辰.a 12.已知a是-a音=3，则a十a片= A.a号 B.a C.a-i D.a 13.化简Va·√a3÷√a7·a(a> 4.计算(2a4b音)·(-3a2b)÷(2a5b导) 0)的结果是 得 ( A.-2 B.b 1416+-()-() 能力提升) C.-3a-1b D.36 5.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又 1.(a)°(a)4(a>0)等于（) 相等的是 ( ) A.a16 B.a C.a D.a A.(-1)和(-1) B.0-2和0 2.已知2=8+1,9"=3-9，则x-y= C.2和4t D.4+和（合）了 3.已知a2m+m=2-2,am-m=28(a>0,且a≠ 6.若ab=-5,则a,厂+b、√厂号的值是 1),则am+n的值为 4.化简：()· （√4ab)3 ( (0.1)-1·(a3·b3) A.25B.0 C.-2√5D.±25 (a>0,b>0)= 66无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 f 3 7.对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数 5.若m=2,n=3,则 m2√n3 n·m 为 :有a=6=0=0君-+ m vn 的值是 Vn√m-? +求a6c的位 6.(1)已知2x+2-x=a(常数)，求16x十16- 的值； (2)已知x十y=12,xy=9且x<y,求 产的值 x十y