3.4 函数的应用(一)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

60无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 3.4函数的应用（一） 基础过关 4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数 分段计算，计算公式为y= 1.如图是一份统计图表，根据此图表得到的 4x,1≤x<10,x∈N*, 以下说法中正确的有 2x+10,10≤x<100,x∈N",其中，x代 120 生活费收入指数 1.5x,x≥100，x∈N', 115 110 表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的 105 生活价格指数 100 面试人数为60，则该公司拟录用人数为 () 2010201120122013 A.15 B.40 C.25 D.130 ①这几年人民生活水平逐年得到提高； 5.某商场以每件30元的价格购进一种商 ②生活费收入指数增长最快的一年是 品，试销中发现，这种商品每天的销量 2010年；③生活价格指数上涨速度最快的 m(件)与售价x(元)满足一次函数：m= 一年是2011年；④虽然2012年生活费收 162一3x,若要每天获得最大的销售利润， 入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有 每件商品的售价应定为 ( 降低，因而人民生活有较大的改善。 A.30元 B.42元 A.1项 B.2项 C.54元 D.越高越好 C.3项 D.4项 6.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元， 2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯 而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P 前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红 变绿，绿灯时长超过5s,汽车以1米/秒2的 100+5x+0x2,Q=a+若，若生产出的 加速度匀加速开走，那么 ) 产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润 A.人可在7秒内追上汽车 最大，此时每吨的价格为40元，则有() B.人可在10秒内追上汽车 A.a=45,b=-30 C.人追不上汽车，其间距最少为5米 B.a=30,b=-45 D.人追不上汽车，其间距最少为7米 C.a=-30,b=45 3.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固 D.a=-45,b=-30 定成本为100元，每束花的进价为6元， 7.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围 若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的 成一个正三角形，那么这两个正三角形面 关系为Q=100一5x,则当该店每天获利 积之和的最小值是 ( 最大时，每束花应定价为 () A.15元 B.13元 .cn B.4 cm2 C.11元 D.10元 C.3√2cm D.2√5cm2 第三章函数的概念与性质 61 8.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后 (2)若工厂每月生产6000件时，你作为 其广告投入x(万元)与药品利润y(万元) 厂长又该如何决策呢？ 存在的关系为y=xa(a为常数)，其中x 不超过5万元.已知去年投入广告费用为 3万元时，药品利润为27万元，若今年广 告费用投入5万元，预计今年药品利润为 万元 9.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗 油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q= 0.00252-0.175v+4.27,则车速为 km/h时，汽车的耗油量最少. 10.某市出租车收费标准如下：起步价为 8元，起步里程为3千米（不超过3千米 按起步价付费)；超过3千米但不超过 12.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数 8千米时，超过部分按每千米2.15元收 是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购 费；超过8千米时，超过部分按每千米 买人数越少.把购买人数为零时的最低 2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加 标价称为无效价格，已知无效价格为每 费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6 件300元.现在这种羊毛衫的成本价是 千米，则需付车费 元，若某人乘 100元/件，商场以高于成本价的价格（标 坐一次出租车付费22.6元，则此出租车 价)出售. 行驶了 千米. (1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价 11.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂 应定为每件多少元？ 价为50元，其成本为25元，因为在生产 (2)通常情况下，获取最大利润只是一种 过程中，平均每生产一件产品有0.5立方 “理想结果”，如果商场要获得最大利 米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计 润的75%，那么羊毛衫的标价为每件 两个方案进行污水处理，并准备实施： 多少元？ 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1 立方米污水所耗原料费2元，并且每月排 污设备损耗费为30000元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处 理，每处理1立方米污水需付14元排污费. (1)若工厂每月生产3000件产品，你作 为厂长在不污染环境，又节约资金的 前提下，应选择哪个处理污水的方 案？请通过计算加以说明 62无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 能力提升 销售价一进价×100%)由原来的r%增 进价 1.一水池有两个进水口，一个出水口，每个 加到(r十10)%，则r的值等于 水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天 A.12 B.15 C.25 D.50 0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示. 4.某厂有许多形状为 8 个进水量 个出水量 直角梯形的铁皮边 角料，如图所示，为 20 降低消耗，开源节 0 1时间时 1时间时 流，现要从这些边角 24 甲 料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备 个蓄水量 用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边 长x,y分别为 5.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固 0123456时间/时 定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售 丙 单价与日均销售量的关系如下表所示： 给出以下3个论断：①0点到3点只进水 销售单 不出水；②3点到4点不进水只出水；③4 6 9 10 11 价/元 12 点到6点不进水不出水.则一定正确的是 日均销 () 480 440 400 360 320 280 240 售量/桶 A.① B.①② 请根据以上数据作出分析，这个经营部为 C.①③ D.①②③ 获得最大利润，定价应为 元. 2.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描 6.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游， 述价格变化情况：一种是即时价格曲线 若旅行团人数在30人或30人以下，飞机 y=f(x),另一种是平均价格曲线y= 票价格为900元；若旅行团人数多于 g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖后 30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格 2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示 就减少10元，直到达到规定人数75人为 2小时内的平均价格为3元.下面给出了 止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公 四个图象，实线表示y=f(x),虚线表示 司包机费15000元. y=g(x),其中可能正确的是 () (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得 最大利润？ 3.商店某种货物的进价下降了8%，但销售 价不变，于是这种货物的销售利润率4.[-1,号) [解析：因为y=x在定义域[0，十o)上是 「3-2m≥0， 增函数，所以m十1≥0， 解得-1<m<号放m的取 3-2m>m+1, 值范围为[-1，号) 5.③[解析：设f(x)=x,则f(m十n)=(m十n),f(m)+ f(n)=m+n,f(m)·f(n)=m·n=(mn),f(mn)= (mn)°，所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一 定成立.] 6.解：(1)依题意，得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m= 2时，f(x)=x2在(0，十∞)上单调递减，与题设矛盾，舍 去，所以m=0. (2)由(1)可知f(x)=x2.当x∈[1,2]时，f(x),g(x)单调递 增，所以A=[1,4],B=[2一k,4一k].因为AUB=A,所以 2-k≥1， BCA,所以{ →0≤k≤1.所以实数k的取值范围 4-k≤4 是[0,1]. 3.4函数的应用（一） 【基础过关】 1.C[解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指 数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收人指数”在 2010~2011年最陡.故②正确，“生活价格指数”在2011~ 2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下 降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故 选C.] 2.D【解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s= 合，车与人的间距d=(s+25)-61=号r-6+25- 号一6+7，当1=6时，d取得最小值7.故选D.】 3.B[解析：设每天获利y元，则y=(100-5x)(x-6)-100 -5(x-13)2+145,由x>0,Q=100-5x≥0，得0<x≤20，故当 x=13时，每天获利最大.故选B.] 4.C【解析：令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意； 若2x十10=60，则x=25,满足题意；若1.5x=60,则x=40< 100,不合题意，故拟录用人数为25.故选C.】 5.B[解析：设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销 售利润为y元.又m≥0，所以0<x<54,由题意得，y m(x-30)=(x-30)·(162-3x).上式配方得y=-3(x 42)2+432.所以当x=42时，利润最大.故选B.] 参考答案177 6.A[解析：设生产x吨产品全部卖出，利润为y元，则y= zQ-p=x(a+若)-(10o+5x+0r）=(分-0)2+ (a一5)x一1000(x>0).由题意知，当x=150时，y取最大值，此 a-5 /11Y =150, 2(610 a=45, 时Q=40.所以 解得{ 故选A.] 、150=40, b=-30. 7.D【解析：设一段长为xcm,则另一段长为(12-x)cm, 两个正三角形的面积之和为Scm2,0<x<12.则S (号)广+(4-吉)'-得(x-6)+2,当=6时， Smm=2√3.故选D.] 8.125[解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润 为27万元，代人y=x中，即3=27，解得a=3,故函数关 系式为y=x3.所以当x=5时，y=125.] 9.35【解析：Q=0.00252-0.175u+4,27=0.0025(2- 70w)+4.27=0.0025×[(v-35)2-352]+4.27= 0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时，耗油量 最少.] 10.14.599[解析：设出租车行驶x千米时，付费y元， [9,0<x≤3， 则y=8+2.15(x-3)+1,3<x≤8， 当x=5.6时， 8+2.15×5+2.85(x-8)+1,x>8, y=8+2.15×2.6+1=14.59(元).由y=22.6,知x>8,由 8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9.] 11.解：设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1元，依 方案2的利润为y2元，则y1=(50一25)x一2X0.5x一 30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当x=3000时，y=42000,为=54000.因为1<为，故应 选择第2个方案处理污水. (2)当x=6000时，y=114000元，y2=108000元.因为 y>y,故应选择第1个方案处理污水。 12.解：(1)设购买人数为n,羊毛衫的标价为每件x元，利润 为y元，则x∈(100,300]，n=kx十b(k<0),因为0=300k+ b,即b=一300k,所以n=(x一300).所以利润y=(x 100)k(x-300)=k(x一200)2-10000k(x∈(100,300])，因 为k<0,所以x-200时，yax=一10000k,即商场要获取最 大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元 (2)由题意得(x-100)(x一300)=-10000k·75%,x2- 400x+37500=0,解得x=250或x=150,所以商场要获取 最大利润的75%，每件标价为250元或150元. 178无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 【能力提升】 1.A[解析：由甲、乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所 以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个 进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不 变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出 水，所以只有①正确.故选A.】 2.C[解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系可 知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高：反之，当即时 价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能 正确.故选C.】 3.B【解析：设原销售价为a,原进价为x,可以列出方 程组： a-x×100%=1001 解得r=15.故选B.] a二x18%×100%=10+, x(1-8%) 100 415,2【解析：由三角形相似得登三壳得=子（24- y),所以S=xy= 6y122+180(8≤y<24).所以当y=2 时，S有最大值，此时x=15.] 5.11.5[解析：根据表中数据，销售单价每增加1元，日均 销售就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售 利润为y元，日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(0< x<13)(桶)，则y=(520-40x)x-200=一40x2十520x 200,0<x<13.当x=6.5时，y有最大值.所以只需将销售 单价定为11.5元，就可获得最大利润.】 6.解：(1)设旅行团人数为x,飞机票价格为y元，则y= 900,0<x≤30，x∈N", 即y= 900-10(x-30),30<x≤75，x∈N, 900,0<x30,x∈N·, 1200-10x,30x≤75，x∈N (2)设旅行社获利S元，则S= 900x-15000,0<x≤30，x∈N°， x(1200-10x)-15000,30<x≤75，x∈N [900x-15000,0<x30,x∈N', 即S= -10(x-60)2+21000,30x≤75，x∈N* 因为S=900x一15000在区间(0,30]上单调递增，当x=30 时，S取最大值12000. 又S=一10(x一60)2+21000在区间(30,75]上的对称轴为 x=60,当x=60时，S取最大值21000.故当x=60时，旅行 社可获得最大利润。 第四章指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 第1课时n次方根与分数指数暴 【基础过关】 1.A[解析：因为(a)=a,所以(2)4=2.故选A.】 2.D[解析：因为m0=2,所以m=士2=士2.故选D.】 3.A[解析：a十b=93-π)+(2-)F=3-π十π-2=1. 故选A] 4.A[解析：由题意可知a一b>0,所以a≥b.故选A.】 5.CD【解析：①16的4次方根应是士2；②16=2，所以 正确的应为③④.故选CD.] 6.B【解析：因为a<年，所以4a-1<0,所以V4a-1- |4a-1|=-(4a-1)=1-4a.故选B.] 7.AC【解析：(-4)2m>0,故A有意义；(-4)2m+1<0,故 B无意义；C显然有意义；当a<0时，a5<0,此时匠无意 义，故D不一定有意义.故选AC.】 8.-3【解析：-27=-3)=-31 9.-1[解析：因为x>3,所以√2-6x+9-|2-x|= √(x-3)-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)= -1.1 0,a<b, 10. [解析：√/(a-b)+a一b)5=|a 2(a-b),a≥b 0,a<b, b+(a-b)= 】 2(a-b),a≥b. 11.解：(1)因为x<π，所以x一π<0，当n为偶数时， (x一π)"=|x一π|=π一x;当n为奇数时，W(x-π)"= π-x,n为偶数，n∈N°， x一元.综上，(x一π)= x一x,n为奇数，n∈N. 1 (2)因为a≤z,所以2a-1≤0，所以V4a=4a+- /(2a-1)2=|2a-1|=1-2a. 12.解：(1由于根指数是3，故x只需使，3有意义即可，此 时x一3≠0，即x≠3. 故实数x的取值范围是x≠3.