3.2.2 奇偶性-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

172无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 3.2.2奇偶性 第1课时奇偶性的概念 【基础过关】 1.ABC[解析：选项ABC中的函数满足f(一x)= 一f(x),由奇函数的定义可知选ABC.故选ABC.] 2.B[解析：因为F(一x)=f(一x)十f(x)=F(x),又x∈ (一a,a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数.故选B.] 3.A[解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)= -f(-1D=-三故选A.】 4.B[解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故 排除；选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点 对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对 称，其表示的函数是偶函数.故选B.] 5.C[解析：因为f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，关 于原点对称，且f(一)=一1一（一x)=一x十上 一f(x),所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称.故选C.] 6.C[解析：f(6)=f(4十2)=一f(4)=-f(2+2) f(2)=f(0+2)=一f(0),又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(一0)=一f(0),所以f(0)=0,所以f(6)=0.故 选C.] 7.0[解析：由奇函数定义有f(一x)+f(x)=0,得a(一 x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.] 8.5[解析：因为f(x)是奇函数，所以f(一3)=一f(3)= 一6，所以(-3)2十a×(一3)=一6，解得a=5.】 9.0[解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数 的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中， 有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以 四个实根的和为0.】 10.①②[解析：因为f(x)在R上为奇函数，所以f(一x) 一f(x).所以f(x)+f(一x)=f(x)一f(x)=0,故①正确. f(x)一f(一x)=f(x)十f(x)=2f(x),故②正确.当x=0 时，f国·f-)=0,故③不正确当x=0时，分 母为0，无意义，故④不正确.] 11.解：(1)由题意知f(1)=1十a=3,所以a=2>0满足 题意 （2函数r(r)为奇函数，证明如下：函数f(x)=x十是(a> 0)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)且关于原点对称.又因 为f(-x)=-x+品=-(x+兰)=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数. b (f(0)=0, 1+02=0, 12.(1)解：由题意知 )，即+ 解得 2 (a=1, 故f(x)=1十x b=0, (2)证明：任取-1<x1<x2<1,则x2-x1>0,f(x2)- )2因为-1< x1<x2<1,所以-1<x1x2<1,1-x1x2>0.于是f(x2)- f(x1)>0,所以f(x)为区间(-1,1)内的增函数. (3)解：f(t-1)<一f(t)=f(一t).因为f(x)在区间（一1,1） 内是增函数，所以-1<1-1<-<1，解得0<<分 【能力提升】 1.B【解析：若x是有理数，则一x也是有理数，所以 f(一x)=f(x)=1;若x是无理数，则一x也是无理数，所以 f(一x)=f(x)=0.所以函数f(x)是偶函数.故选B】 2.ABD[解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以 |f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积 是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个 偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数.故 选ABD.】 3.0[解析：奇函数的图象关于原点对称，所以a一4十2a一 2=0,所以a=2,因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即 b+2=0,故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)= f(2)-f(2)=0.] 4.[一6，一3)U(0,3)[解析：由f(x)在[0,6]上的图象知， 满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).又f(x)为奇函数， 图象关于原点对称，所以在[-6,0)上，不等式f(x)<0的解集 为[-6，-3).综上可知，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)U (0,3).] 5号【解析：f)=生=1+有，面h(x)= x2+1 千有是奇函数，故f(-a)=1十h(-a)=1-h(a)=2 1+aa]=2-fa)=2-号=子1 6.(1)证明：由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得 f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),所以 f(0)=0.所以f(x)+f(一x)=0,即f(一x)=一f(x),故 f(x)是奇函数 (2)解：由(1)知f(x)为奇函数.所以f(一3)=一f(3)=a,所 以f(3)=-a.又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)= 4f(3),所以f(12)=-4a 3.2.2奇偶性 第2课时奇偶性的应用 【基础过关】 1.A[解析：g(-2)=f(-2)=f(2)=22十2=6.故选A.】 2.A[解析：因为函数为偶函数，所以a十2=0，a=-2,即 该函数f(x)=一2x2十1，所以函数f(x)在（一∞，0]上单调 递增.故选A.] 3.C[解析：根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作 2 -7-3.503.57x 个-2 出函数在[一7,0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三 个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最 大值是7，在其定义域内最小值不是一7.故选C.] 4.B[解析：因为f(x)为偶函数，所以f(一x)=f(x),所以 f(2)=f(一2).又f(x)在区间（一∞，一1]上单调递增，且 -2<-是<-1，所以f(2)=f(-2)<f(-号) f(-1).故选B.] 5.B[解析：（方法一）当x<0时，f(x)=x2十x= (x+)）-子，所以f(x)有最小值-冬，因为f()是奇函 数，所以当x>0时，f(x)有最大值子 方法二（直接法）：当x>0时，一x<0,所以f(一x)= -x(1-x).又∫(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)= -父+x=-(x一)广'+子，所以f)有0最大值子故选B】 6.A[解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)在[1,3]上的单 调性与[一3，一1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(一1) 5,所以f(-1)=一f(1)=5,所以f(1)=-5.故选A.】 7.√一x+1[解析：因为f(x)为偶函数，x>0时，f(x) √元+1，所以当x<0时，-x>0,f(x)=f(-x)=√一x+ 1,即x<0时，f(x)=√一x+1.] 8.(一1,3)[解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x一1) 参考答案173 f(x-1|).又因为f(2)=0,所以f(x-1)>0可化为 f(x一1)>f(2).又因为f(x)在[0，十∞)上单调递减，所 以|x-1<2,解得-2<x-1<2,所以-1<x<3.1 9.f(一2)<f(1)<f(0)[解析：因为f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)恒成立，即(m-1)x2-6mx+2=(m-1) x2+6mx十2恒成立，所以m=0,即f(x)=一x2十2.因为 f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，十∞)上单调递 减，所以f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).】 10.(-3,3)[解析：由题意可知a<3,解得-3<a<3.1 11.解：因为f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数，由f(1一x)十 f(1-2x)<0,得f1-x)<一f(1一2x),即f(1一x)< f(2x一1).又因为f(x)在（一1,1）上是减函数，所以 -1<1-x<1, -1<2一1<1，解得0<x<号，所以原不等式的解集 1-x>2x-1, 为{<<号}月 12.解：F(x)在（一∞，0）上单调递减.证明如下：任取， x2∈(-∞，0)，且x1<x2,则有->-x2>0.因为y= f(x)在(0，十∞)上单调递增，且f(x)<0,所以f(-x2)< f(一)<0①，又因为f(x)是奇函数，所以f(一x2)= -f(x2),f(-x1)=-f(x1)②，由①②得f(x2)>f(x1)> Q.于是Fa)-P)-}>0,即F()> F),所以Fx)=a在(-0,0上单调递减 【能力提升】 1.C【解析：因为f(x)为奇函数，f)-f-卫<0，即 2<0,因为f(x)在(0，十∞)上单调递减且f(1)=0,所以 x 当>1时，f(x<0,f卫<0.因为奇函数图象关于原点对 x 称，所以在（一∞，0）上f(x)单调递减且f(一1)=0，所以当x< -1时，f)>0,@<0,综上，)--卫<0的解集为 (-o,-1)U(1,十∞).故选C.】 2.B【解析：因为函数f(x十2)是偶函数，所以函数f(x)的 图象关于直线x=2对称，所以∫（号）=f(号)， f(2)=f(),又f(x)在[0,2]上单调递增，所以 f(合)<f)<f(2),即f(3)<f1)<f()故 选B.】 174无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 3.D【解析：因为当x>0时，f(x+1)=f(x),所以当x>0 时，所以f(2023)=f(2022)=f(2021)=f(2020)= f(2019)=f(2018)=…=f(1),又因为当-1≤x≤1时， f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)5一 1]=2.] 4.一1[解析：因为y=f(x)+x2是奇函数，所以f(一x)+ (-x)2=-[f(x)+x2],所以f(x)+f(-x)+2x=0,所 以f(1)+f(-1)+2=0.因为f(1)=1,所以f(-1)=-3. 因为g(x)=f(x)+2,所以g(-1)=f(-1)+2=-3+2= -1.] 5.1(0,2)[解析：由f1一x)=f(1十x)知，f(x)的图象 关于直线x=1对称，又f(x)在[1，十∞)上单调递减，则 f(x)在（一∞，1]上单调递增，所以当x=1时f(x)取得最大 值.由对称性可知f(0)=f(2),由f(0)<f(m),得0<m< 2,即m的取值范围为(0,2).] 6.解：(1)因为a>b,所以a-b>0,由题意得@)十f-D a-b 0,所以f(a)十f(一b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所 以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b). (2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1+m)+f(3 2m)≥0，所以f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥ f(2m一3)，所以1+m≥2m一3，所以m≤4.所以实数m的 取值范围为（一∞，4]. 习题课 【基础过关】 1.B【解析：A中函数y= 士不是偶函数且在0，+∞)上 单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函 数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，十∞)上单调 递增，故D错误.故选B.】 2.A【解析：易知)在[-2，一子]上单调递减，所以 f)=f-2)=2-故速A.1 3.C【解析：利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，所 /x>0, x0, 以不等式xf(x)<0可化为 或 由图可 f(x)<0 f(x)>0, 知x>2或x<-2.故选C.】 4.BC【解析：（方法一）根据题意作出y=f(x)的简图，由 图知选BC. 1V (方法二)当x∈[一b,一a]时，一x∈[a,b],由题意得f(b)≤ f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4，所以-4≤f(x)≤3，即 在区间[-b,一a]上f(x)mn=-4,f(x)mx=3.故选BC.】 5.B[解析：因为f(x)是定义在[一2b,3+b们上的偶函数，所以 有-2b+3+b=0,解得b=3,由函数f(x)在[一6,0]上单调递 增，得f(x)在[0,6]上单调递减.故f(x-1)≥f(3)→ f(|x-1)≥f(3)→|x-1≤3，故-2≤x≤4.故选B.】 6.C[解析：（方法一易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数， 所以a=g(一2)=g(2),因为奇函数f(x)在R上是增函数， 且f(0)=0.所以g(x)在(0，十∞)上单调递增.所以g(1)< g(2)<g(3),即b<a<c. 方法二（特殊化）：取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在 (0,十∞)上单调递增，a=g(-2)=4,b=g(1)=1,c= g(3)=9,从而可得b<a<c.故选C.] 7.(一2,0)U(2,5][解析：因为f(x)为奇函数，所以画出 -2 502式花 f(x)在x轴左侧的图象如图所示，当-2<x<0或2<x≤5 时，f(x)<0.] 8.-3或8【解析：f(x)的对称轴为直线x=-1.当>0 时，fm=f2)=4,解得a=子：当a<0时，) -1）=4,解得a=-3.综上a=号或a=-3.】 9.2√6一6[解析：当x≤1时，f(x)mn=0,当x>1时， f(x)m=2√6-6，当且仅当x=√6时取得最小值，又2√6- 6<0,所以f(x)n=2√6-6.] 10.证明：(1)设x2>x>0,则x2一)>0,2>0，因为 )-f)=(日-)-（日-）=片- 五>0，所以f(x)>f(),所以f(x)在(0，+∞)上单调 12 递增，52无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 3.2.2 奇偶性 第1课时奇偶性的概念 基础过关) 1.（多选)下列函数中为奇函数的是( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+1 D.fx)=是 2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)= f(x)+f(一x),则F(x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤ 0时，f(x)=x2- 乞x,则f(1)等于( A-多 B-C号 D.z 4.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 0-13 D 5.函数f(x)=1一x的图象 A.关于y轴对称 B.关于直线y=x对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=一x对称 6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x十 2)=-f(x),则f(6)的值为 ( A.-1B.2 C.0 D.1 7.已知函数f(x)=ax2十2x是奇函数，则实 数a= 8.已知y=f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)= x2+a.x,且f(3)=6,则a的值为 9.已知函数y=f(x)为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实 根之和是 10.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个 说法：①f(x)+f(-x)=0;②f(x)- f(-x)=2f(x);③f(x)·f(-x)<0; ④f(x f(-x) =一1.其中一定正确的为 ·(填序号) 1.已知函数f(x)=x+(a>0). (1)若f(1)=3,求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明. 12已知商数了()-岁是定义在区间 （一1,1D内的奇函数，且了位)=号。 (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明：f(x)在区间（一1,1）内 是增函数； (3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0. 能力提升) 1,x是有理数， 1.函数f(x)= 是 0,x是无理数 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为 R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下 列结论中不正确的是 () A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.If(x)g(x)|是奇函数 第三章函数的概念与性质 53 3.已知定义域为[a一4,2a一2]的奇函数 f(x)=2020x3-5x+b+2,则f(a)+ f(b)的值为 4.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6]，当 x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不 等式f(x)<0的解集用区间表示 为 6 5.已知函数f0)=1,若fa)=号， x2+1 则f(一a)= 6.已知函数f(x)对一切实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12). 54无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 3.2.2 奇偶性 第2课时奇偶性的应用 基础过关 [x2十x,x≥0， 1.设函数f(x)= 且f(x)为 g(x),x<0, 偶函数，则g(一2)等于 A.6 B.-6C.2 D.-2 2.若函数f(x)=ax2+(2十a)x+1是偶函数， 则函数f(x)的单调递增区间为 () A.(-∞，0] B.[0,+o∞) C.(-o∞，十∞) D.[1,+∞) 3.一个偶函数定义在区间[一7,7]上，它在 [0,7]上的图象如图，下列说法正确的是 ) 073.5 - A.这个函数仅有一个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值一7 4.设偶函数f(x)在区间（一∞，一1]上单调 递增，则 ) A.f(-2)<f-1)<f2) B.f2)<f(-2)<f(-1) C.f2)<f(-1)<f(-2) D.f-1)<f(-)<f2) 5.若奇函数f(x)在（一∞，0）上的解析式为 f(x)=x(1十x),则f(x)在(0，十∞)上有 () A.最大值-司 B最大值号 C最小值-是 D.最小值号 6.如果奇函数f(x)在区间[一3，一1]上单 调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区 间[1,3]上 ) A.单调递增且最小值为一5 B.单调递增且最大值为一5 C.单调递减且最小值为一5 D.单调递减且最大值为一5 7.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)= √元+1，则当x<0时，f(x)= 8.已知偶函数f(x)在[0，十∞)上单调递 减，f(2)=0.若f(x一1)>0，则x的取值 范围是 9.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数， 则f(0),f(1),f(一2)从小到大的排列 是 10.已知定义在R上的偶函数f(x)在 (一∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3), 则实数a的取值范围是 11.已知f(x)是定义在（一1,1）上的奇函 数，且f(x)在（一1,1）上是减函数，解不 等式f(1-x)+f(1-2x)<0. 12.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，十∞) 上单调递增，且f(x)<0,试问F(x) 在（一，0）上单调递增还是单调递 1 减？证明你的结论。 能力提升) 1.设奇函数f(x)在(0，十∞)上单调递减， 且f(1)=0,则不等式f)-f-2<0 的解集为 ( A.(-1,0)U(1,+∞) B.(-∞，-1)U(0,1) C.(-,-1)U(1,+) D.(-1,0)U(0,1) 2.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且函 数f(x十2)是偶函数，则下列结论成立的 是 () A.f1)<f()<f(2) B.f()Kf1)<f() c.f(3)f()<f) D.f()<f)<f() 第三章函数的概念与性质55 3.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， f(x)=x5-1,当-1≤x≤1时，f(-x)= 一f(x),当x>0时，f(x+1)=f(x),则 f(2023)等于 () A.-2 B.-1C.0 D.2 4.已知y=f(x)十x2是奇函数且f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则g(-1)= 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1 x)=f(1十x),且f(x)在[1，十∞)上单调 递减，则当x= 时，f(x)取得最 大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m 的取值范围是■ 6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任 意a,b∈R,当a十b≠0时，都有 fa)+fb2>0. atb (1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小 关系 (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数 m的取值范围.