3.1.2 函数的表示法-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

166无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 9.②④[解析：①函数g(x)=2x一x°=2x一1，函数g(x) 的定义域为{xx≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一 个函数；②f(x)=√(2x+1)F=|2x+1|与g(x)=|2x十1 的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f(n)=2n十 2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一 个函数：④f(x)=3x+2与g(t)=31+2的定义域和对应关 系相同，是同一个函数.] 10.(一∞，2][解析：因为A={x|y=√x+2}={x|x≥ 一2}，所以一x≤2，即函数f(x)的值域是（一∞，2].】 1.解：(1)由分离常数法得y=2=2x-3》+7=2+ x一3 x-3 3显然，乙3≠0，所以≠2，赦函数的值坡为(-，2U 7 (2,+∞). (2)换元法，设t=√x-1,则t≥0，且x=+1,所以y= 2+1)-=2(-）广+号由≥0，结合函数的图象可 得原函数的值域为[5，十∞）， 0语12 3 12.解：存在.理由如下：函数∫(x)=之x2-x+之 专（x一1)+1的对称轴为直线x=1,顶点为1,1且开口 向上.因为m>1,所以当x∈[1，m]时，y随x的增大而增 大，所以要使f(x)的定义域和值域都是[1，m],则有 1f(1)=1, f(m)=m 所以号m-m十号=m,即m-4m十3=0，所 以m=3或m=1(舍)，所以存在实数m=3满足条件. 【能力提升】 1.B[解析：由2x2一1=1，得x1=1,x2=一1：由2x2一1= 7,得x3=一2，x4=2,所以定义域为2个元素的集合有4 个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的 集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.故选B.] 2.C【解析：因为A选项中f(x)=一x√一2z,g(x)= x√一2x,对应关系不同，所以排除A;因为B选项中f(x) x2,g(x)=(x十1)2，两个函数的对应关系不同，所以排除 B;因为C选项中f(x)=√=|x|与g(x)=|x,两个函数 的定义域均为R,所以C中两个函数表示同一个函数；因为 D选项中f(x)=0,g(x)=√/x-1+√1-x=0(x=1)两个 函数的定义域不同，所以排除D.故选C.] 3.一1【解析：由题意知f(x)为一次函数，则满足 1a2-2a-3=0, 所以a=-1.] a-3≠0， 4.[一2,2][解析：由题意知f(x)=x2一2，因为x∈ (-2,2],所以x2∈[0,4]，所以f(x)∈[一2,2].】 5(-0,一吉]U(3,+∞）【解析：（判别式法）由y 3E+3z+1,得(y-3)x2+(y-3)x-(y+1)=0,当y=3 x2十x-1 时，上式无解.当y≠3时，要使方程有解，需满足△=(y一 3)2+4(y-3)(y+1)≥0.即5y2-14y-3≥0，解得y≤ -吉或y>3.所以y=料的值城为 x2十x-1 (-0,-号]U3.+o). (分离常数法)因为y=3士3江1=3十 4 x2+x-1 +x,设= 2+-1,心-是且≠0，所以y=3+兰≥-导且≠ 0,由反比例函数图象得)≤一弓或y>3,所以原函数的值 域为(-0，号]U3,+o.1 6.(1)证明：若A=0,则A二B显然成立.若A≠0，设t∈ A,则f(t)=t,f(f(t)=t,t∈B,从而A二B,故A二B成立. (2)解：因为A={-1,3},所以f(一1)=-1，且f(3)=3.即 (-1)2-a十b=-1, 所以 a-b=2, a=-1, 所以 所以 32+3a+b=3, 3a+b=-6, b=-3, f(x)=x2-x-3.因为B={x|f(f(x)=x}.所以(x2一 x-3)2-(x2-x-3)-3=x,所以(x2-x-3)2-x2=0,即 (x2-3)(x2-2x-3)=0,所以(x2-3)(x+1)(x-3)=0, 所以x=±3或x=-1或x=3.所以B={-√3，-1W3,3. 3.1.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 【基础过关】 1.D[解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3， 4).故选D.] 2.C【解析：根据题意知1一2x=合，解得x=子，故 16.故选C.] 3.A[解析：（方法一）设t=x一1，则x=t十1.因为f(x 1)=x2+4x-5,所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t 所以f(x)的解析式是f(x)=x2十6x. (方法二)因为f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1), 所以f(x)=x2+6x,所以f(x)的解析式是f(x)=x2+6x 故选A.】 4.C[解析：由3x十2=2得x=0,所以a=2×0十1=1.故 选C.] 5.D【解析：由题意可知，小明离家的距离随时间的变化先 是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小 且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意.故选D.] 6.B[解析：由函数g(x)的图象知g(2)=1,则f(g(2))= f(1)=2.故选B.] 7.1【解析：由题设给出的表知f(3)=4,则f(f(3)= f(4)=1.] 85【解析：将点(5,4)代人f(x)=x一，得m=5.】 9.2x-号 [解析：设f(x)=ax十b(a≠0)，则f(x十1) a(x+1)+b=ax+a+b,依题设，得3ax+3a+3b=6x+4, (a=2, (3a=6, 所以 所 3a+3b=4, 6=-2.则f)=2x-1 3, 10.19[解析：设一次函数解析式为y=ax十b(a≠0)，代入点 330=30a+b, (a=30, (30,330)与点(40,630)得 解得 即y= 630=40a+b, b=-570. 30x一570，若要免费，则y≤0，所以x≤19.] 11.解：f(x)=一(x一1)2十4的图象如图所示. (1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,所以f(1)>f(0)>f(3) (2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)=4,则函数f(x) 的值域为（一∞，4幻. 12.解：(1)方法一（换元法）：令x十1=t,所以x=t一1，所以 f(t)=3(t一1)十2=3t-1,所以f(x)=3x-1 方法二（配凑法）：f(x十1)=3x十2=3(x+1)一1，所以 f(x)=3x-1. (2)因为对任意实数x,y,有f(x一y)=f(x)一y(2x-y十 1),所以令y=x,有f(0)=f(x)-x(2x-x十1)，即f(0)= f(x)-x(x+1).又f(0)=1,所以f(x)=x(x+1)+1= x2+x+1. 参考答案167 (3)由题意，在fx)-2f(-x)=1十2x中，以一x代替x可得 f(-x)-2fx)=1-2x,联立可得 -2-0=1+2消 f(-x)-2f(x)=1-2x, 2 去f(-x)可得f(x)=3x-1. 〖能力提升】 1.A【解析：（方法一）y=千左的定义域为{zx≠-1，排 除C,D,当x=0时，y=0,排除B. (方法二一千一1一为由函数的平移性质可知A正 确.故选A.】 2B【解析：因为（一子）=父+之-(x-)》'+2,所 以f(x)=x2+2(x≠0).故选B.】 3.A[解析：对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀 的，因此不正确，其他均正确.故选A.】 4.-1【解析：因为g()=子（父十3），所以g(f)= 子[2r+ar+3]=子(4r+4ar+d+3)=2-z+1,求得 a=-1.] 5.F()=3x+5(x≠0)【解析：设f)=kx(k≠0)，g()= (m≠0，且x≠0)，则F)=kx+公.由F(号)=16，F) （号k+3m=16, 8,得3 1k=3, 解得所以F)=3x+三0.】 k十m=8, （m=5, 6.解：由f(3)=3,得b=一3a-9.由f(x)≥x恒成立可知， x2+ax十b≥0恒成立，所以a2-4b≤0，所以a2+12a+ 36=(a十6)2≤0，所以a=-6,b=9.所以f(x)=x2- 5x+9. 3.1.2函数的表示法 第2课时分段函数 【基础过关】 1D【解析：因为f3)=号<1，所以3)=（号）广+ 1-号放选D】 x,x>0, 2.C【[解析：由题意知f(x) 0,x=0,则f(x)的图象为C中 (x,x0, 图象所示.故选C.] 3.C[解析：根据题意，知小明开始是匀速行驶，所以排除 168无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 A,然后交通堵塞停留，排除D,最后为赶时间加速行驶，排 除B.故选C.] 4.D【解析：f((倍)=f(3×吾-b)=f(5-b). 当号-6<1，即6>子时，3×（号-b）-6=4,解得6 名（合去）.当号-6>1，即6<号时，2x(停-6)=4，解得 6子散选D】 5.A[解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x 1mx,0≤x≤10， 满足的关系式为y= 由y=16m,可知 2mx-10m,x>10. x>10.令2mx-10m=16m,解得x=13.故选A.] |x-1<0, 6.A【解析：原不等式等价于 或 (x×(-1)≤1 x-1≥0， 解得-1≤x≤1.故选A.】 x×1≤1， 2x,x>0, 7.4【解析：因为f(x)=《 fx+1),x≤0， 所以f(-专) f(-号+1)=f(-3)=f(-3+1)=f(号)=号× 2=亭f(号）=2x号=8，所以(-号)+f(号)=号十 g=4】 8.(一1,1)（一1,1）[解析：定义域为各段函数定义域的并 集，即(0,1)U{0U(一1,0)=(-1,1).值域为各段函数值域的 并集(0,1)U{0}U(-1,0)=(-1,1).] (x+1,-1≤x<0, 9.f(x)= 【解析：由题图可知，图象是 -x,0≤x≤1 由两条线段组成，当一1≤x<0时，设f(x)=ax十b,将（一1， 1-a+b=0, 1a=1, 0),(0,1)代入解析式，则 所以〈 当0≤x≤ b=1, b=1. 1时，设f(x)=kx,将(1，一1)代人，则k=-1.所以f(x)= 1x+1,-1x<0, ] -x,0≤x≤1. 10.解：1)当0≤x≤2时，f(x)=1+。=1;当-2<x<0时， 2 fx)=1+=1-x所以f(x) 11,0≤x≤2， 2 1-x,-2<x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示. )◆ (3)由(2)知f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3) 11.解：(1)由题意，得y= f0,0≤x≤5000， (x-5000)X3%,5000<x≤8000， 90+(x-8000)×10%,8000<x≤17000， 990+(x-17000)×20%,17000z≤30000. (2)因为该职工八月份交纳了54元的税款，所以5000< x≤8000，(x一5000)×3%=54，解得x=6800.故这名职 工八月份的工资是6800元. 12.解：1)当点P在BC边上，即0<<4时，Sawm=号× 4x=2x;当点P在CD边上时，即4<x≤8时，S△APB= 之×4X4=8:当点P在DA边上时，即8<x<12时， 5△=合×4×(12-x)=24-2x所以 2x,0≤x≤4， y=8,4<x≤8， 24-2x,8<x≤12 (2)画出函数y的图象，如图所示. 6 024681012x 【能力提升】 1.A[解析：f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))= f(18)=21,f(5)=f(21)=24.故选A.】 2.D【解析：当-1≤1-x≤1，即0≤x≤2时，f(1-x)=2, 满足条件，所以0≤x≤2；当1一x<一1或1一x>1,即x<0 或x>2时，f(1-x)=4-(1-x)=x十3=2，解得x=-1, 满足条件，综上有0≤x≤2或x=一1.故选D.】 3.-子【解析：当a>0时，1-a<1,1+a>1,所以21- 0)+a=-1-a-2a,解得a=-(合去).当a<0时，1- a>1,l+a<1,所以-1十a-2a=2+2a十a,解得a= -1 【解析：由题意可得 x≥1， x<1, x≥1， 或 由 解得1≤x< 3x2-2x<2-2x2+3<2. 3x2-2x<2, ,x<1, -2x2+3<2, 每得K-号号<1综上所述， 使f(x)<2成立的x的值组成的集合 为{-号或号< (2-x,x≥1， 5.(-∞，1][解析：由题意得f(x)= 画出函 x,x<1, 数f(x)的图象得值域为（一∞，1].] y个 y=f(x) /01 6.解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30 千米 (2)10:30开始第一次休息，休息了半小时. (3)第一次休息时，离家17千米. (4)11:00至12：00他骑了13千米. (5)9:00~10:00的平均速度是10千米/时.10：00~10：30 的平均速度是14千米/时. (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较符合实际 情形. 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 【基础过关】 1.AC【解析：当<x时，-x2<0,由f》-f> x2-x1 0知，f(x1)一f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),A正确；作出 1-x十1，x<0, 函数f(x)= 的图象可知其在定义域上是减 一x,x≥0 函数，所以C正确；B和D错误.故选AC.】 2.B[解析：选项A,C,D中的函数在(0,2)上单调递减，只 有函数y=x2十2在(0,2)上单调递增.故选B.】 3.ABD[解析：函数y=3一x在区间(0，十∞)上单调递 减.故选ABD.】 4.C[解析：f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)> f(5).故选C.】 5.D[解析：由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须 是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来 比较函数值的大小，而本题中的x,x2不在同一单调区间 内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定.故选D.】 参考答案169 6.B[解析：因为函数y=x2+(2a一1)·x+1的图象开口 向上，直线x=2红号为函数的对称轴，又因为函数在区间 (一0,2]上单谓递减，故2<0士，解得a≤-子故 选B.】 7.C【解析：因为a∈R,所以a-2a=一a与0的大小关系 不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a-a= a(a一1)与0的大小关系也不确定，也无法比较f(a)与f (@)的大小，故B错：又因为a+1-a=(a-之）广+子>0， 所以a2+1>a.又f(x)为（一∞，+∞）上的减函数，故有 f(a+1)<f(a),故C对；易知D错.故选C.】 8[0,2]【解析：y=x1-x)= -x2+x,x>0, 作出 x2-x,x≤0， 其图象如图，观察图象知单调递增区间为[0,2]】 9.[一1，十o∞)[解析：函数f(x)= 中的单调递减区间为 (一1，十∞)，（一∞，一1），又f(x)在(a,十∞)上单调递减，所 以a≥-1.] -1≤x-2≤1， 10.[1,2) 【解析：由题意，得-1≤1一x≤1，解得1≤ x-2<1-x, x<号，故满足条件的x的取值范围是[1，受)】 山.解：1因为f1)=m++号=2，f2)=2m+0十 合-所以 m=1, （n=2. (2)由I知)=x+立十宁，f在x[1,+o)止单调 递增，证明如下：设1≤马<西f()一f()=十云十 是-(+远+号)=(-)·(1-) -x)(2x-D.因为1≤d<,所以-<0， 2x1x2 14>1,所以21>2>1，所以-)2-卫<0， 2x1x2 即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1，十∞)上单调递增 12.证明：设，x2是区间[0，十∞)内的任意两个实数，且 x1<x2,则f(x1)一f(x2)=xi一x=(x1一x2)(xi十x1x2十3.1.2函数的表示法 第1课时 函数的表示法 基础过关) 1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若 每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1， 2,3,4})的函数为 A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3，…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) 2.已知f1-2)=是则f(侵)的值为( A.4 C.16 D. 3.已知f(x一1)=x2+4x一5，则f(x)的解 析式是 () A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+8x+7 C.f(x)=x2+2x-3 D.f(x)=x2+6x-10 4.已知函数f(2x十1)=3x+2,且f(a)=2, 则a的值为 ( A.-1 B.5 C.1 D.8 5.小明在放学回家的路上，开始时和同学边 走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索 性停下来将问题彻底解决，再后来他加快 速度回到了家.下列图象中与这一过程吻 合得最好的是 () 个离家的距离 个离家的距离 时间 时间 B 第三章函数的概念与性质 43 个离家的距离 个离家的距离 时间 0 时间 C D 6.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函 数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其 中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2)) 的值为 ( x 12 3 f(x) 2 3 0 y=g(x) B 2 3 A.3 B.2 C.1 D.0 7.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))= 2 3 f(x) 3 4 8已知函数f)=x一，且此函数图象过 点(5,4)，则实数m的值为 9.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+十 1)=6x十4，则f(x)= 10.某航空公司规定，乘客所携带行李的重 量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次 函数图象确定，那么乘客可免费携带行 李的最大重量为 kg. y元 930 630 330 x/kg 304050 44无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 11.画出二次函数f(x)=一x2十2x十3的图 象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0),f(1),f(3)的大小； (2)求函数f(x)的值域. 12.(1)已知函数f(x十1)=3x+2,求f(x); (2)已知f(x)是R上的函数，且满足 f(0)=1,且对任意实数x,y,有f(x y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x); (3)已知函数f(x)对于任意的x都有 f(x)-2f(-x)=1十2x,求f(x). 、 能力提升) 1函数y=千的大致图象是 2.若x≠士1时，函数f(x)满足f(x-) x+是，则f(x)的表达式为 A.f(x)=x+1(x≠0) B.f(x)=x2+2(x≠0) C.f(x)=x2(x≠0) D.f)=(-是)(x≠0) 3.如图所示的四个容器高度都相同.将水从 容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中，注满为止.用下面对应的图象显示该 容器中水面的高度h和时间t之间的关 系，其中不正确的有 144 A.1个 B.2个C.3个D.4个 4.设f(x)=2x十a,g(x)= 寻(2+3).且 g(f(x))=x2一x十1，则a的值为 5.已知函数F(x)=f(x)十g(x),其中f(x) 是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函 数，且F(号)=16，F(1)=8,则F(x)的解 析式为 6.已知函数f(x)=x2十(a十1)x十b满足 f(3)=3,且f(x)≥x恒成立，求f(x)的 解析式. 3.1.2函数的表示法 第2课时 分段函数 基础过关) x2+1,x≤1， 1.设函数f(x)= 则f(f(3)) 等于 A号 B.3 3 D13 9 2.设x∈R,定义符号函数sgnx= 1,x>0, 0,x=0,则函数f(x)=|x|sgnx的 -1,x<0, 图象大致是 3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因 交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间 加快速度行驶，与事件吻合得最好的图象 是 () 与学校的距离 与学校的距离 时间 时间 冈 B 与学校的距离 与学校的距离 0 时间 时间 C D 第三章函数的概念与性质 45 4.设函数f(x)= 3x6<1若f(）》 2x,x≥1， 4,则b等于 ( A.1 c D.2 5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下 规定：每位职工每月用水量不超过10立 方米的，按每立方米m元收费；用水量超 过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费.某职工某月缴水费16m元，则该 职工这个月实际用水量为 () A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 -1,x<0, 6.已知函数f(x)= 则不等式 1,x≥0， xf(x-1)≤1的解集为 A.[-1,1] B.[-1,2] C.(-∞，1] D.[-1,+∞) 2x,x>0, 7.已知f(x)= 则f(专)十 f() -x2+1,0<x<1, 8.函数f(x)= 0,x=0, 的定义 x2-1,-1<x<0 域为 ,值域为 9.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x) 的解析式是 46无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 10.已知函数f)=1+z-2(-2<≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x); (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域. 11.《中华人民共和国个人所得税法》规定， 公民全月工资、薪金所得不超过5000元 的部分不必纳税，超过5000元的部分为 全月应纳税所得额，此项税款按下表分 段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 3% 超过3000元至12000元的部分 10% 超过12000元至25000元的部分 20% 某职工每月收人为x元，应交纳的税额 为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式： (2)有一职工八月份交纳了54元的税 款，该职工八月份的工资是多少？ 12.如图，在边长为4的正方形ABCD边上 有一点P,由点B(起点)沿着边BC,CD, DA向点A(终点)运动.设点P运动的路 程为x,△APB的面积为y. D (1)求y与x之间的函数解析式； (2)画出函数y的图象. 能力提升) /x+3,x>10, 1.设f(x)= 则f(5) f(f(x+5),x≤10， 的值是 () A.24 B.21 C.18 D.16 2,-1≤x≤1， 2.已知函数f(x)= 若 4-x,x<-1或x>1, f(1一x)=2,则x的取值范围是 () A.0 B.[0,2 C.[-2,0] D.{-1}U[0,2] 2x+a,x<1, 3.已知实数a≠0，函数f(x)= 若 -x-2ax≥1， f(1一a)=f1+a),则a的值为 3x2-2x,x≥1， 4.已知函数f(x)= 则使 1-2x2+3,x<1, f(x)<2成立的x的值组成的集合 为 第三章函数的概念与性质47 b,ab, 5.若定义运算a⊙b= 则函数f(x)= la,a<6, x⊙(2一x)的值域为 6.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离 与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回 家.根据这个曲线图，请你回答下列问题： 距离s/千米 25 20E 15A 10- 5 AG ow9101112131415时间小0 (1)最初到达离家最远的地方是什么时 间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长 时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11:00到12：00他骑了多少千米？ (5)他在9：00~10：00和10：00~10：30 的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用 午餐？