2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

34无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.3二次函数与- >第1课时 一元二次不等式的解法 基础过关) 1.不等式9x2十6x+1≤0的解集是() A≠-司 B{女-≤ C.0 n=- 2.不等式(x十5)(3-2x)≥6的解集是 A{≤-1或≥号 c≤-号或≥1 D.z-≤x<1 3.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B {x∈N|x≤5}，则A∩B等于() A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} 4.若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0 (a∈R)的解集为女日<<l,则a的取 值范围为 ( ) A.(aa<oa>1)B.(aa>1) C.{a0<a<1} D.{aa<0} 5.设x∈R,则“x2一4x-5<0”是“x2十6x+ 5>0”的 () A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 元二次方程、不等式 6.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx十c>0 的解集为（一o∞，一2）U(4,十∞)，则() A.a>0 B.不等式bx十c>0的解集为{xx<一4} C.a+b+c>0 D.不等式cx2一bx+a<0的解集 为<-或公引 7.(多选)下列不等式的解集为R的有() A.x2+x+1≥0 B.x2-25x+5>0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<1 8.如果关于x的不等式x2<ax十b的解集 是{x|1<x<3},那么b等于 () A.-81B.81 C.-64D.64 9.不等式x2一4x十4>0的解集是 10.已知关于x的不等式a.x2十bx十c<0的解 集是女K-2或x心 },则ax2-bx+ c>0的解集为 11.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的 解集为<<引 (1)求a,c的值； (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x十 2c≥0. 能力提升】 1.设m十n>0,则关于x的不等式(m一x)· (n+x)>0的解集是 A.{xx<-n或x>m} B.(x|-n<x<m} C.{xx<-m或x>n} D.x-m<x<n) 2.在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+2a+b, 则满足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范 围为 () A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1》 C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 3.已知关于x的不等式x2一4ax+3a2< 0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1十x2+ a的最大值是 () I1x A B.-23 3 C. D.一43 3 4.关于x的不等式x2一ax一6a<0的解集 是{xm<x<n},且n一m≤5，则实数a 的取值范围是 () A.-25≤a<-24 B.0<a≤1 C.-25<a<-24或0<a<1 D.-25≤a<-24或0<a≤1 5.关于x的不等式(mx一1)(x-2)>0,若 此不等式的解集为一品<<2，则m的 取值范围是 6.不等式ax2-bx十c>0的解集是 女-<x<2,对于系数a,bc,有下列 第二章一元二次函数、方程和不等式35 结论：①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+ c>0;⑤a一b十c>0.其中正确结论的序 号是 7.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为 A,若A二{x1≤x≤3}，则a的取值范围 为 8.若a<0,则关于x的不等式a(x十1)· (x+)<0的解集为 9.解关于x的不等式x2一ax-2a2<0(a∈R). 10.解关于x的不等式x2一2ax十2≤0. 11.若不等式(1一a)x2一4x+6>0的解集是 {x|-3<x<1}. (1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0; (2)b为何值时，ax2+bx十3≥0的解集 为R? 36无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.3二次函数与- >第2课时一元二次不等式的应用 基础过关) 1.不等式<0的解柴是 A.{x|x<-1或-1<x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1或x≥2} D.{x|-1<x≤2} 2.不等式≥1的解集是 A≤<2 a2 C{女>2或x≤ D≥ 3.不等式一23》<0的解集为() x+1 A.{x|-1<x<2或2<x<3》 B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<2} 4.若0<<1，则不等式(x-)(x-)<0 的解集为 A. Bx>或x< ca<或x> D.t<< 元二次方程、不等式 5.若关于x的不等式ax一b>0的解集为 >1,则关于x的不等式g>0 的解集为 () A.{x|x>1或x<-2} B.{xl1<x<2} C.{xx>2或x<-1} D.{x|-1<x<2} 6.不等式+5>0的解集为 x-21 7,不等式≥-1的解架是 8.若实数a,b满足a十b<0,则不等式 x十a<0的解集为 b一x 9.解下列不等式： a2<0: 21 能力提升) 1若a>0,b>0,则不等式-<<e的解 集为 ( A{<-方或x> c<-a或x> D(d-<0或0<<分 2.在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两 辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹 车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的 刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超 过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关 系：5m=0.1x+0.01x2,5z=0.05x+0.005x2. 则这次事故的主要责任方为 3.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米 价格为2400元.为了减少木材消耗，决定按 销售收入的t%征收木材税，这样每年的木 材销售量减少：万立方米.为了既减少木 材消耗，又保证税金收入每年不少于900万 元，则t的取值范围是 第二章一元二次函数、方程和不等式37 4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10 万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量 为10000辆.本年度为适应市场需求，计划 提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆 车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则 出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计 年销售量增加的比例为0.6x,已知年利 润=（出厂价一投入成本）×年销售量 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成 本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增 加，则投人成本增加的比例x应在什 么范围内？ 38无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 5.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏 东60°的方向，与A市相距400km.该热 带风暴中心B以40km/h的速度向正北 方向移动，影响范围的半径是350km.从 此时起，经多少时间后A市将受热带风暴 影响，大约受影响多长时间？ 6.已知二次函数的最小值为3，且其图象过 点(1,5)，(3,5). (1)求二次函数的解析式； (2)当-1≤x≤1时，二次函数的图象恒在 y=2x十2m十1的图象的上方，求实数 m的取值范围.号即一2w5-10,y=248一5时等号成立.放+号的最 小值为1+号 【能力提升】 1AC【解析：当>0时y=x+士-2>2√·王-2 2-2=0,当且仅当x=二，即x=1时，等号成立，故A正 确，B错误：当x<0时，y=-[(-)十己]-2≤-2- 2=-4,当且仅当一x=之即x=-1时，等号成立，故C 正确，D错误.故选AC.】 2.D【解析：因为a>0,b>0,a+2b=5,所以ab=2a· 2号×（生2）=空，当且仅当a=号，6=时取等 号.故选D.] 3.A【解析：因为a,6为正实数，且a+=1,所以云十号 (品+号)×a+)=号+（会+会）≥号+2√会×答- 号，当且仅当6=2，即a=日6=号时，等号成立，因此有 一六一名≤-号，即-六一云的上确界为-号故选A】 4AC【解析：设矩形的长和宽分别为x,y,则x十y=号。 S=zy由xy≤()'知S≤6，故AC成立.故选AC.】 5.{aa>号}【解析：原不等式可转化为a(x+1)十 克≥号，又a>0,则a(r+1)+克≥ 2a(r+1D·五-2a,当且仅当ax+1)= 1 即α=（十时，等号成立，则根据恒成立的意义可知 2a>子，解得a>号1 6.证明：因为a>0,b>0,>0,所以名+号≥2，+2≥ 2,名+云≥2，所以+告+出=（台+会）+ (后+)+（会+后）≥6，当且仅当名=后·台=是 云-名，即a=b=c时，等号成立.所以牛++ a>6. 参考答案161 7.解：(1)由题意得xy=1800,b=2a,则y=a十b+6=3a+6, S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a 8x-16×号9=y6x-9+32=1832-6r-9其中 6<x<300,6<y300. (2)由(1)可知6<x<300,6<y<300,xy=1800,6x+ 1 3y≥2√6x·3y=2√6x16×600=480,当且仅当6x= 16 y时等号成立，所以S-1832-6x-9≤1832-480 16 1352,此时9x=8y,xy=1800,解得x=40,y=45,即x为40，y 为45. 8.解：设2023年该产品利润为y万元，由题意，可知当m=0 时，x=1,所以1=3-k,解得k=2,所以x=3-2 十又每件产 品的销售价格为1.5×8+16r元，所以y=x(1,5×8+16) (8+16x十m）=4+8z-m=4+8(3-n名)-m -[+(a+]+29,因为m≥0,9+(m+10≥ 2v压=8，当且仅当=m十1，即m=3时，等号成立，所 以y≤-8+29=21，所以ymx=21.故该厂家2023年的促 销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时一元二次不等式的解法 【基础过关】 1.D[解析：原不等式可化为(3x十1)2≤0，所以3x十1= 0,所以x= 子.故选D.】 2.D[解析：原不等式可化为2x2十7x-9≤0，即(x-1)· (2x+9)<0,解得-号≤<1.故选D】 3B【解折：(2x+1(x-3)<0,所以-合<x<3,又x6 N且x≤5，则x=1,2.故选B.】 4.B[解析：不等式ax2-(a十1)x十1<0可化为(ax一1)· (x一1)<0，由不等式ax2一(a+1)x+1<0的解集为 {✉合<<1，得a>0,方程ar一1D-)=0份商根 为=1，=合，且日<1，则a的取值范图为aa>1. 故选B.】 5.B【解析：由x2-4x-5<0,解得-1<x<5,由x2+ 162无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 6x+5>0可得x<-5或x>-1,由一1<x<5成立，则x< 一5或x>一1一定成立，反过来，x<一5或x>一1成立， 则-1<x<5不一定成立，所以“x2-4x-5<0”是“x2+ 6x十5>0”的充分不必要条件.故选B.] 6.ABD[解析：关于x的不等式ax2十bx十c>0的解集为 (一∞，一2)U(4,+∞)，所以a>0,A选项正确，且一2和4 是关于x的方程ax2十bx十c=0的两根，由韦达定理得 -2+4=-b, 则b=一2a,c=-8a,则a十b十c=-9a< -2×4= a, 0,C选项错误；不等式bx十c>0即为-2ax一8a>0,即x+ 4<0,解得x<一4，B选项正确；不等式cx2一bx十a<0即 为-8a2+2ax+a<0,即8x2-2x-1>0,解得x<-子或 x>,D选项正确，故选ABD.】 7.AC[解析：A中△=12一4×1<0，满足条件；B中△ (-2√5)2-4×√5>0，解集不为R;C中△=62-4×10<0， 满足条件；D中不等式可化为2x2一3x十3<0，所对应的二 次函数开口向上，显然不可能.故选AC.」 8.B[解析：不等式x2<ax十b可化为x2一ax一b<0,其解 集是{x|1<x<3},那么由根与系数的关系得 (1+3=a, 1a=4, 解得 所以b=(-3)=81.故选B.] 1×3=-b, b=-3, 9.{x|x≠2}[解析：原不等式可化为(x一2)2>0，所以x≠ 2.1 10{合<<2【解析：由题意知-2，-之是方程 ax2十bx+c=0的两个根且a<0,故 「-2+(-)=合， 解得a=c,b=号a.所以不等式 -2)x(-)= ar2-bx+c>0即为2x2-5x+2<0,解得号<x<2,即不 等式ar-bz+c>0的解集为{：2<x<2门 11.解：(1)由题意知不等式对应的方程ax2+5x+c=0的 两个实数根为弓和弓，由根与系数的关系，得 -5=1+1 a3十2， 解得a=一6，c=-1. 11 (2)由a=-6,c=-1知不等式ax2十(ac+2)x十2c≥0可 化为-6r2+8x-2≥0，即3x-4rx+1<0,解得号<x<1, 所以不等式的解集为}<≤1。 【能力提升】 1.B[解析：方程(m一x)(n十x)=0的两根为m,一n,因为 m十n>0,所以m>一n,结合函数y=(m一x)(n十x)的图象， 得原不等式的解集是{x一n<x<m以.故选B.】 2.B[解析：根据给出的定义得x⊙(x一2)=x(x一2)+ 2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)< 0,则(x+2)(x一1)<0，故不等式的解集是{x|一2<x<1}. 故选B】 3.D【解析：不等式x2-4ax十3a<0(a<0)的解集为(x, x2),根据韦达定理，可得xx2=3a2,x1十x2=4a,那么x1十 +=4a+a因为a<0,所以-(4a+a)≥ 2√-4ax(一)-9，即4a+<-5,当且仅当 a= 得时，等号成立，放十十品的最大值为一 故选D.】 4.D【解析：由题意知方程x2一ax-6a=0有两个不等实 根m,,且n>m.所以△=a2十24a>0,解得a>0或a< -24.所以m十n=a,mn=-6a,又因为n-m≤5，且n- m>0,所以(n-m)2=(n十m)2-4nm=a2+24a≤25，所以 -25≤a≤1，由上述可知-25≤a<一24或0<a≤1.故 选D.] 5.{mm<0}[解析：由题意知m<0,因为不等式(mx一1)· (x一-2)>0的解集为品<x<2,所以方程(mr-1D m0, (x-2)=0的两个实数根为1和2，且 解得m<0, ∠2， m 所以m的取值范围是{mm<0}.] 6.③⑤【解析：由ax2-bx+c>0的解集为 (-子<<2知a<0,因为后=-立×2=-1<0，所 以c>0.又合=-合+2>0，所以6<0，因为-1E -专<<2所以a+6+c≤0，又1∈ {:-合<<2，所以a-b叶>0，故③⑤正确】 7.{a-1a<号}【解析：设y=2-2ar十a+2因为不等 式2-2ax十a十2≤0的解集为A,且A二{x1≤x≤3}，所以对 于方程x2-2ax+a十2=0.若A=0,则△=4a2-4(a+2)<0, 即a2一a-2<0,解得-1<a<2.若A≠0，则 4=4a2-4(a+2)≥0， a≥2或a≤-1， 12-2a+a+2≥0， a≤3， 即 11 32-3×2a+a+2≥0， -11 所以2≤a≤5 1≤a≤3 1≤a≤3 综上，a的取值范围为a -1<a≤号}1 8{>-2或x<-1 [解析：因为a<0,所以原不等 式等价于(x+1)·(x+)>0,方程(x+1D(x+）=0 的两根为-1，一。，显然->0>-1，所以原不等式的解 a 集为{>-日或x<-1小川 9.解：原不等式转化为(x-2a)(x十a)<0.对应的一元二次 方程的根为x1=2a,x2=一a.①当a>0时，x1>x2,不等式 的解集为{x|一a<x<2a};②当a=0时，原不等式化为 x2<0,无解；③当a<0时，x1<x2,不等式的解集为{x| 2a<x<一a}.综上，当a>0时，原不等式的解集为{x| a<x<2a};当a=0时，原不等式的解集为；当a<0时， 原不等式的解集为{x2a<x<一a}. 10.解：因为△=4a2-8,所以当△<0，即-√2<a<2时，原 不等式对应的方程无实根，又二次函数y=x2一2ax十2的 图象开口向上，所以原不等式的解集为☑.当△=0时，即a 士√2时，原不等式对应的方程有两个相等实根.当a=√2时， 原不等式的解集为{xx=√2)；当a=一√2时，原不等式的 解集为{x|x=一√2).当△>0，即a>√2或a<一√2时，原不 等式对应的方程有两个不等实根，分别为x=a一√a2一2， x2=a十√a2一2，且x1<x2,所以原不等式的解集为{xa √a-z≤x≤a+√a2-2).综上所述，当-√2<a<√2时， 原不等式的解集为☑；当a=√2时，原不等式的解集为{x x=√2；当a=一√2时，原不等式的解集为{xx=一√2}；当 a>√2或a<-√2时，原不等式的解集为{xa-√a-2≤ x≤a+Wa2-2} 11.解：(1)由题意知1一a<0,且一3和1是方程(1一a) 1-a<0, 4 x2一4x十6=0的两根，所以1一a 一2解得a=3.所以不 6 1-a =一3， 参考答案163 等式2x2+(2-a)x-a>0,即为2x2-x-3>0,解得x<-1 或x>号，所以所求不等式的解集为✉<-1或>号} (2)ax2十bx十3≥0，即3x2十bx十3≥0，若此不等式解集为 R,则△=b2一4×3×3≤0，所以一6≤b≤6. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时一元二次不等式的应用 【基础过关】 (x-2)(x+1)≤0， 1.D[解析：此不等式等价于 所以一1<x≤ x+1≠0， 2.故选D.】 2.B【解析：不等式>1，移项得-1≥0，即 4 x-2≤0，可化为 (x-)(x-2)≤ 解得<x<2, x一2≠0 则原不等式的解集为{☑子<<2小故选R] (x+1)(x-3)<0, 3.A[解析：原不等式等价于 所以 x-2≠0， 一1<x<3且x≠2.故选A.】 4.D【解析：0<1<1时，t<二，所以解集为 {Kx<}:故选D.J 5.C[解析：x=1为ax一b=0的根，所以a一b=0,即a= b,因为ax-b>0的解集为{zx>1),所以a>0,故+也 x-2 a(x+D>0等价于(x+1)(x-2)>0.所以x>2或x< x-2 -1.故选C.] 6.x<-5或>2)【解析：>0%(x+5)(x 2)>0台x<-5或x>2.] 7x0或>1)【解析：马≥-1片+1≥0台 (x(x-1)≥0， 所以不等式的解集是{xx≤0或 x-1≠0， x>1}.] 8.{xx>一a或x<b}[解析：原不等式等价于(x十a)· (b-x)<0台(x-b)(x+a)>0.因为a+b<0,所以b<-a 所以原不等式的解集为{x|x>一a或x<b}.] 9.解：1)2<0台(2x-5)(x+4)<0日-4<x<号，所 x十4 164无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 以原不等式的解集为{工-4<x<号} (②)因为<1，所以一1<0所以告0，即 二4≥0.此不等式等价于(x-4)(x-号)≥0且x- 3 x一2 号≠0，解得x<号或x≥4，所以原不等式的解集 为{✉<号或>4} 【能力提升】 （1>-b, (b+1>0, 1.A[解析：原不等式可化为 即 可得 ax-1>0, 工 xK-或>0， 故不等式的解集为 <0或x>1, {<-古或>日}故选A1 2.乙车【解析：由题意列出不等式s弹=0.1x十0.01x>12, 5z=0.05x十0.005.x2>10.分别求解，得xm<-40或xm> 30,xz<一50或xz>40.由于x>0,从而得x甲>30km/h, x2>40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.】 3.{t3≤t≤5}[解析：设按销售收入的t%征收木材税时， 税金收入为y万元，则y=2400×(20-3)×%=60× (8t-).令y≥900，即60(8t-t)≥900，解得3≤t≤5.] 4.解：(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]× 10000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+ 2000x+20000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y-(12-10)×10000>0, 1-6000x2+2000x>0, 即 解得0< 0<x<1, 0<x<1, <号，所以投人成本境加的比例x应在0<<号的范围内。 5.解：如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标 北 y 西 海港城市A 东 60、 350km 台风中心B 系.因为AB=400,∠BAx=30°，所以台风中心B的坐标为 (200W3,-200),xh后台风中心B到达点P(200W3,40x一 200)处.由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，即 (2003)2+(40x-200)2≤3502，整理得16x2-160x十 375≤0，解得3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为 6.25-3.75=2.5(h).故在3.75h后，A市会受到台风的影 响，时间长达2.5h. 6.解：(1)由题意得二次函数的图象关于直线x=1十3=2 2 对称，又其最小值为3，故可设二次函数的解析式为y= a(x-2)2+3(a>0),由图象过点(1,5)，则a(1一2)2+ 3=5,解得a=2,故二次函数的解析式为y=2(x-2)2+ 3,即y=2x2-8x+11. (2)由题意得当-1≤x≤1时，2x2-8x+11>2x+2m+1 恒成立，即当-1≤x≤1时，2x2-10x十10-2m>0恒成立， 设y=2x2-10x+10-2m,则只要其最小值大于0即可.因 为y=2x2-10x十10-2m的对称轴为直线x=号，所以当 x=1时，y=2x2-10x+10-2m取得最小值2-2m,则2 2m>0,解得m<1,即m的取值范围是m<1. 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第1课时函数的概念(1) 【基础过关】 1B【解析：f(）==号放选】 a 2.ACD[解析：根据函数的概念易得ACD正确，对于B选 项，定义域和值域可以是有限集.故选ACD.] 3.A[解析：f(a)-f(-a)=3a2+1-[3(-a)2+1]=0. 故选A.】 4.C[解析：A中x≥3，B中要求x≠一1，D中x≠0.故选C.] 5.AD[解析：由函数的定义可知B错误，根据函数的概 念，对于不同的x,y可以相同，例如f(x)=1,故C错误.故 选AD.] 11-3x≥0， 6.D[解析：要使f(x)有意义，只需满足 即x≤ x+1≠0， 号且x≠-1故选D.】 7.B[解析：A中值域为{y0≤y≤2}，故错误；C、D中值域 为两个元素集合{1,2}，故错误.故选B.]