2.2 基本不等式-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

30无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.2基 第1课时 基本不等式 基础过关) 1.设t=a十2b,s=a十b2十1，则t与s的大小 关系是 () A.s≥t B.st C.s≤t D.s<t 2.a,b∈R,则a2+b与2|ab|的大小关系是 A.a2+b2≥2|ab B.a2+62=2abl C.a2+b2≤2labl D.a2+62>2ab 3.下列不等式中正确的是 () Aa+是4 B.a2+b2≥4ab C.vab≥a+b 2 D+≥2g 4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b (a<b),其全程的平均时速为v,则() A.a<w<√Jab B.v=√ab C./ua D.o=a十b 2 5.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方 法研究代数问题)成了后世西方数学家处 理问题的重要依据，通过这一原理，很多 代数的公理或定理都能够通过图形实现 证明，也称之为无字证明.现有如图所示 图形，点F在半圆O上，点C在直径AB 上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该 图形可以完成的无字证明为 () 体不等式 A生6a>0,6>0) B.a2+b≥2ab(a>0,b>0) C.) D.a十b 2s26(a>0,6>0) 6.(多选)下列条件可使会+号≥2成立的有 ( ) A.abo B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 7.已知a,b是不相等的正数，x=+ √a+b,则x,y的大小关系是 8.设a>0,b>0,给出下列不等式：①a2十 1>a:@(a+6(日+2)≥4：③a+9> 6a.其中恒成立的是 .(填序号) 能力提升) 1.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数中 最大的是 () A分 B.a2+62 C.2ab D.a 2.下列不等式一定成立的是 ( Ax+≥2 B.+2≥2 √x2+2 C.+3≥2 √x2+41 D.2-3x-≥2 3.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立 的是 A.a十b+1≥22 √ab Ba+6)(2+2)≥4 c.2+b>≥2√a而 √ab D.2ab>ab a+b 4.已知a>b>c,则a-b)b-0与2的 大小关系是 5.已知a,b,c都是正数，求证：(a十b)(b十c)· (c+a)≥8abc. 第二章一元二次函数、方程和不等式31 6.已知a>0,b>0,求证：b十。≥a十b 7,已知a,b都是正数，求证：1≤Va6< a6 atb a2+b2 2≤√2· 32无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 2.2基7 〉第2课时基本不等式的应用 基础过关 1.已知x>0,则9+x的最小值为 2 ( A.6 B.5 C.4 D.3 2已知心一2，则十十的最小值为( A.-2 B.-1C.2 D.0 3.若正实数a,b满足a十b=2,则ab的最大 值为 () A.1 B.22C.2 D.4 4.已知x>0,y>0,且x十y=8,则(1十x)· (1+y)的最大值为 ( A.16 B.25 C.9 D.36 5.若>0，y>0,且2+8=1，则y有( y A.最大值64 B最小值品 C.最小值号 D.最小值64 6.若正数m,n满足2m十n=1,则1+1的 m 最小值为 7.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖 长方体容器.已知该容器的底面造价是每 平方米20元，侧面造价是每平方米10元， 则该容器的最低总造价是 元 8.已知>-1，则x+10)x+2)的最小值 x+1 为 9.若对x>-1,不等式x+十市一1>a恒 成立，则实数a的取值范围是 本不等式 10.1已知<3，求兰3+x的最大值： (2)已知x,y是正实数，且x+y=4,求 1+3的最小值. 。能力提升) 1.(多选)设y=x+-2,则 () x A.当x>0时，y有最小值0 B.当x>0时，y有最大值0 C.当x<0时，y有最大值一4 D.当x<0时，y有最小值一4 2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值 为 () A.25 6号 c空n罗 3.设自变量x对应的因变量为y,在满足对 任意的x,不等式y≤M都成立的所有常 数M中，将M的最小值叫做y的上确界. 若c6为正实数，月a+6=1,则。号 的上确界为 () A.-号 B.2 c D.-4 4.(多选)一个矩形的周长为1，面积为S,则 下列四组数对中，可作为数对(S,)的有 ( A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12) D(3,) 5若不等式ar+≥22(a>0)相成 立，则实数a的取值范围是 6.设a,b,c都是正数，证明不等式：十c十 a h4+a+b>≥6. b 7.某农业科研单位打算开发一个生态渔业 养殖项目，准备购置一块1800平方米的 矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖 出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部 分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均 为2米，如图所示，池塘所占面积为S平 方米，其中a:b=1:2. f米 y米 第二章一元二次函数、方程和不等式33 (1)试用x,y表示S; (2)若要使S最大，则x,y的值分别为 多少？ 8.某厂家拟在2023年举行某产品的促销活 动，经调查，该产品的年销售量（即该产品 的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m (m≥0（单位：万元）消足x=3m车7快 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的 年销量是1万件.已知2023年生产该产 品的固定投入为8万元，每生产1万件该 产品需要再投入16万元，厂家将每件产 品的销售价格定为每件产品年平均成本 的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投 入两部分资金，不包括促销费用).那么该 厂家2023年的促销费用为多少万元时， 厂家的利润最大？最大利润为多少？(方法二)a+古-(b+)=a-b0+,因为a>6> ab 0,所以a-b>0,ab>0,1+ab>0,所以a=b)1+aD>0, ab 即a+>6+合.】 9.解：设号=行=，则a=k,c=d极，又a最大，故a>b,所 以>1，因为(a+d)-(6+c)=(a-c)+(￡-是）=(a )…(1-）又k>1,所以2<1,1->0，又>c,所 以a-c>0,所以a+d>b+c. 10.证明：充分性：若xy>0,则1-1=二1<0，即1< x y xy }成立：必要性若上<}则上-}<0，因为> x y xy y所以一x<0,所以y>0,综上，士<}的充要条件是 xy>0. 1.E明：p一9=号+任-a-6十6心 ab (a+b)(a2-ab+})-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+)_ ab ab (a+b0(a=b>0,所以p>g ab 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 【基础过关】 1.A[解析：因为2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立)， 所以a+2b≤a+b2+1.所以t≤s.故选A.] 2.A[解析：因为a2+62-21ab1=(|a-1b1)2≥0，所以 a2+≥21ab1(当且仅当|a=|b时，等号成立).故选A.] 3.D【解析：若a<0,则a十4≥4不成立，故A错；若a= a 1,b=1,则a2十b2<4ab,故B错；若a=4,b=16,则√ab< 士，故C错：由基本不等式可知D项正确，故选D.】 4.A[解析：设甲、乙两地的距离为s,则v= 2s 。+ 名千号由于所子+分号所以心以片 2 方>2√b所以K√a.故a<Ka瓜.故选A】 5.D【解析：由图形可知OF=合AB=生，0C=la2 2 参考答案159 在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF= √+(T-√严or≤c生≤ 2 a>0,6>0.放志D】 6.ACD【解析：根据基本不等式的条件，a,b同号，则名> 0,分>0.故选ACD.1 7.<y【解析：r=+b2画，y=a+h=a+b@+也因 2 2 为a十b>2√ab(a≠b),所以x2<y,因为x,y>0,所以x<y.】 8①@【解析：由于。+1-a=(a-号)广'+是>0，故四 恒成立：由于(a+6)(日+合)=2+合+号≥2十 2√会·号=4，当且仅当号-会即a=6时等号成立，故 ②恒成立；当a=3时，a2十9=6a,故③不恒成立.综上，①② 正确.】 【能力提升】 1.B[解析：a2十b=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2X (e生)=合G+6-2a6)=(a-6≥0，所以d+谷≥ 2ab.因为0<a<b且a+b=1,所以a<2.所以a2+最 大.故选B.】 2.B【解折：A项中，当x<0时，x十上<0<2，所以A错 误，B项中，士+2=√十2≥2，所以B正确；C项中， √Wx2+2 当x0时3=是2，所以C错误D项中，取x 1,2-3x-4<2,所以D错误.故选B.】 3.D【解析：a十6+1二≥2√ab+二≥2V2,当且仅当 vab √ab a=6=号时，等号成立，A成立：(a十6)（合+合）≥ 2v而2√需=4，当且仅当a=6时，等号成立，B成立：因 为a+≥2ab>0,所以4+兰≥2√a,当且仅当a=b时， Vab 等号成立，C成立；因为a+b≥2√ab,a>0,b>0,所以 2要≤1竿≤V瓜，当且仅当a-0时，等号成立，D不成 立.故选D.] 160无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 4.√a-b6-可<“2【解析：因为a>b>c,所以a-b>0, 6-心0，所以与=a-b)6-d>Va--0,当且仅 2 2 当a一b=b-c时，等号成立.】 5.证明：因为a,b,c都是正数，所以a十b>2√ab>0(当且仅 当a=b时，取等号)，b十c≥2√bc>0(当且仅当b=c时，取 等号)，a+c≥2√ac>0(当且仅当c=a时，取等号).所以 (a+b)(b+c)(c+a)≥>2√ab·2√bc·2√ac=8abc,即(a+ b)·(b+c)(c+a)≥8abc 6.证明：因为。>0,6>0，所以号+≥2√兮·6=2，会+ /a2 a≥2Na a=26,所以号+6+公+。>2a+26,所以号+ a 发≥a+b,当且仅当a=b时，等号成立 1 1 1，即 2证明：因为2十方2Wb’以工+上2卫 1 4≤v瓜又因为（岁}=+2世< 2 4 a b ++世-生艺，所以≤√ a+& .又由基本不 4 式得)≥√ab,故1十， @+花（当且 2 仅当a=b时，等号成立). 2.2基本不等式 第2课时基本不等式的应用 【基础过关】 1A【解折：因为>0，所以是十≥2√·是=6，当且 仅当x=2,即x=3时，等号成立.故选A.】 2.D【解析：因为x>-2,所以x+2>0,所以x十 x+2= 十2+十222-2=0，当且仅当x=-1时，等号成立.放 选D.] 3.A【解析：由基本不等式得b≤（士）=1，当且仅当 a=b=1时，等号成立.故选A.】 4.B【解析：1+)1+)≤[1+士1+2] [2++2]-(2生)=25，当且仅当1+x=1+,即 x=y=4时，等号成立.故选B.】 5.D【解析：由题意得y=(侣+号)=2y十红≥ 2√2y·8z=8√y,所以√y≥>8，即xy有最小值64，等号成 立的条件是x=4,y=16.故选D.】 63+2万【解析：因为2m十n=1,则品十号 (六+)2m+m)=3+2织+兴>≥3+2区，当且仅当n= n 巨m,即m=1-号，=反-1时，等号成立，即最小值为 3+22.1 7.160[解析：设底面矩形的一边长为xm,由容器的容积 为4m,高为1m,得另一边长为兰m记容器的总造价为y 元，则y=4×20+2(x+1)×1X10=80+20(x+1)≥ 80+20X2V2·工=160，当且仅当x=兰即x=2时，等 号成立.因此当x=2时，y取得最小值160，即容器的最低 总造价为160元.】 8.16【解析：+10)+2-x+1+9)(x+1+1 x十1 x+1 ++0+D+9=(x+D++10,因为x> x十1 -1,所以x+1>0,所以(x+1)+x十+10≥2W5+10= 9 16当且仅当x+1=千，即x=2时，等号成立.】 9 9.{a|a≤0}[解析：因为x>-1,所以x+1>0,则x+ h-1=x+1+-2≥2√+1Dx石-2=2 2=0,当且仅当x+1=1 中方，即x=0时等号成立，由题意 可得a<(x+克一1)=0，即a≤0.】 10.解：1因为<3，所以x一3<0，所以3十=兰十 (x-3)+3=-[3+8-)]+3≤ -2√-8-+3=-1，当且仅当写÷=3-，即 2=1时，等号成立，所以十x的最大值为-1， (2因为y是正实数x十y4,所以是+子-（仕+）： 中(4+之+)≥1+2-1+9，当且仅当之 号即一2w5-10,y=248一5时等号成立.放+号的最 小值为1+号 【能力提升】 1AC【解析：当>0时y=x+士-2>2√·王-2 2-2=0,当且仅当x=二，即x=1时，等号成立，故A正 确，B错误：当x<0时，y=-[(-)十己]-2≤-2- 2=-4,当且仅当一x=之即x=-1时，等号成立，故C 正确，D错误.故选AC.】 2.D【解析：因为a>0,b>0,a+2b=5,所以ab=2a· 2号×（生2）=空，当且仅当a=号，6=时取等 号.故选D.] 3.A【解析：因为a,6为正实数，且a+=1,所以云十号 (品+号)×a+)=号+（会+会）≥号+2√会×答- 号，当且仅当6=2，即a=日6=号时，等号成立，因此有 一六一名≤-号，即-六一云的上确界为-号故选A】 4AC【解析：设矩形的长和宽分别为x,y,则x十y=号。 S=zy由xy≤()'知S≤6，故AC成立.故选AC.】 5.{aa>号}【解析：原不等式可转化为a(x+1)十 克≥号，又a>0,则a(r+1)+克≥ 2a(r+1D·五-2a,当且仅当ax+1)= 1 即α=（十时，等号成立，则根据恒成立的意义可知 2a>子，解得a>号1 6.证明：因为a>0,b>0,>0,所以名+号≥2，+2≥ 2,名+云≥2，所以+告+出=（台+会）+ (后+)+（会+后）≥6，当且仅当名=后·台=是 云-名，即a=b=c时，等号成立.所以牛++ a>6. 参考答案161 7.解：(1)由题意得xy=1800,b=2a,则y=a十b+6=3a+6, S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a 8x-16×号9=y6x-9+32=1832-6r-9其中 6<x<300,6<y300. (2)由(1)可知6<x<300,6<y<300,xy=1800,6x+ 1 3y≥2√6x·3y=2√6x16×600=480,当且仅当6x= 16 y时等号成立，所以S-1832-6x-9≤1832-480 16 1352,此时9x=8y,xy=1800,解得x=40,y=45,即x为40，y 为45. 8.解：设2023年该产品利润为y万元，由题意，可知当m=0 时，x=1,所以1=3-k,解得k=2,所以x=3-2 十又每件产 品的销售价格为1.5×8+16r元，所以y=x(1,5×8+16) (8+16x十m）=4+8z-m=4+8(3-n名)-m -[+(a+]+29,因为m≥0,9+(m+10≥ 2v压=8，当且仅当=m十1，即m=3时，等号成立，所 以y≤-8+29=21，所以ymx=21.故该厂家2023年的促 销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时一元二次不等式的解法 【基础过关】 1.D[解析：原不等式可化为(3x十1)2≤0，所以3x十1= 0,所以x= 子.故选D.】 2.D[解析：原不等式可化为2x2十7x-9≤0，即(x-1)· (2x+9)<0,解得-号≤<1.故选D】 3B【解折：(2x+1(x-3)<0,所以-合<x<3,又x6 N且x≤5，则x=1,2.故选B.】 4.B[解析：不等式ax2-(a十1)x十1<0可化为(ax一1)· (x一1)<0，由不等式ax2一(a+1)x+1<0的解集为 {✉合<<1，得a>0,方程ar一1D-)=0份商根 为=1，=合，且日<1，则a的取值范图为aa>1. 故选B.】 5.B【解析：由x2-4x-5<0,解得-1<x<5,由x2+