1.5.1 全称量词与存在量词(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.5.1　全称量词与存在量词 1.下列命题中是存在量词命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＞0 B.∃x∈R，x2≤0 C.平行四边形的对边平行 D.矩形的任一组对边相等 2.“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于（　　） A.∃x∈R，使得ax＋b＞0成立 B.∃x∈R，使得ax＋b≤0成立 C.∀x∈R，ax＋b＞0成立 D.∀x∈R，ax＋b≤0成立 3.下列四个命题中，是真命题的为（　　） A.任意x∈R，有x2＋3＜0 B.任意x∈N，有x2＞1 C.存在x∈Z，使x5＜1 D.存在x∈Q，使x2＝3 4.已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真命题，则实数m的取值范围为（　　） A.m＞9 B.m＞13 C.m＞10 D.m＜－12 5.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.∀x∈R，｜x＋1｜＞0 B.∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0 C.∃x∈N，使≤x D.不存在x∈N*，使x为29的约数 6.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.所有平行四边形的对角线都互相平分 B.若x，y是无理数，则xy一定是有理数 C.若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根 D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比 7.命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　. 8.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是　　　　. 9.若命题“∃x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 10.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假： （1）有理数都能写成小数形式； （2）不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根； （3）存在一个实数x，使x2＋x＋4＝0. 11.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是（　　） A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3} C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3} 12.〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A.∃x∈R，x≤0 B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C.∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数 D.∃a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0 13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序实数对（a，b）为　　　　. 14.已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}. （1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 15.已知集合A＝{x｜a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x｜－2≤x≤4}. （1）若∀x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1.B　A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B. 2.A　“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于“∃x∈R，使得ax＋b＞0成立”.故选A. 3.C　由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2＞1不成立，故B为假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5＜1，故C为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题. 4.A　满足题意时，应存在实数2≤x≤4，使m＞2x＋5，令y＝2x＋5，则m＞ymin＝9，所以m＞9.故选A. 5.BC　∀x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A错误；∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，即x＞－，故B正确；∃x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C. 6.AD　易知A是真命题；当x＝，y＝时，xy＝，是无理数，所以B是假命题；由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得解得0＜m＜1，所以C是假命题；两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比，所以D是真命题.故选A、D. 7.∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. 8.{a｜a≤3}　解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 9.{a｜a＜3}　解析：当a≤0时，显然存在x＞1，使ax－3＜0；当a＞0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3＜0，得a＜3，故0＜a＜3.综上所述，实数a的取值范围是{a｜a＜3}. 10.解：（1）∀a∈Q，a都能写成小数形式.此命题是真命题. （2）∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根. 当m＝－1时，方程无实根，此命题是假命题. （3）∃x∈R，x2＋x＋4＝0.因为x2＋x＋4＝（x＋）2＋＞0恒成立，所以此命题是假命题. 11.D　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a＜－3.故选D. 12.ABC　∃x∈R，x≤0，A为真命题；至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如1满足条件，B为真命题；∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数，例如x＝π，C为真命题；因为a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，所以D为假命题.综上可得，A、B、C为真命题. 13.（1，）（答案不唯一）　解析：由a－b＝ab得出b＝，取a＝1，得b＝，所以满足题中条件的一组有序实数对可以是（1，）. 14.解：（1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}. 15.解：（1）由∀x∈A，则x∈B，可知A⊆B， ①当A＝⌀时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4，符合题意； ②当A≠⌀时，要使A⊆B，则解得－1≤a≤. 综上，实数a的取值范围为{a｜a＜－4或－1≤a≤}. （2）存在实数a∈{a｜－≤a≤5}，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，理由如下： 假设命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，则A∩B≠⌀. 当A∩B＝⌀时， ①当A＝⌀时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4. ②当A≠⌀时，要使A∩B＝⌀，则或解得－4≤a＜－或a＞5， 综上，当a＜－或a＞5时，A∩B＝⌀. 所以当－≤a≤5时，A∩B≠⌀，此时满足∃x∈B，x∈A， 即存在实数a∈{a｜－≤a≤5}，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $