课时作业(7) 全称量词与存在量词（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(七)　全称量词与存在量词 [基础达标练] 1．设命题p：∀x∈R，|x|＋2＞0，则¬p为(　　) A．∃x∈R，|x|＋2＞0 B．∃x∈R，|x|＋2≤0 C．∃x∈R，|x|＋2＜0 D．∀x∈R，|x|＋2≤0 答案：B 2．以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：选B　A、C为全称量词命题，B、D为存在量词命题，B选项中当x＝0时，x2＝0，正确，故选B. 3．(多选)下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，－x2＜0 B．∃x∈Q，x2＝5 C．∃x∈R，x2－x－1＝0 D．若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2＜1 答案：CD 4．命题：“∀x∈R，3x2－2x＋1＞0”的否定是________． 答案：∃x∈R，3x2－2x＋1≤0 5．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 答案：①②③　④ 6．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 答案：(答案不唯一) 7．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∃x∈R，x－2≤0； (2)三角形两边之和大于第三边； (3)有些整数是偶数． 解：(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题． (2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． (3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题． 8．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p：有的素数是偶数； (3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解：(1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除，¬p为真命题． (2)¬p：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，故¬p为假命题． (3)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.¬p为真命题． (4)¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0，¬p为真命题． [能力提升练] 9．已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则p的否定是(　　) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 解析：选C　命题p的否定为“∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0”． 10．(多选)下列选项中，错误的是(　　) A．命题∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是∀x∈R，x2＋1<3x” B．命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C．“a>2”是“a>5”的充分不必要条件 D．命题：对任意x∈R，总有x2>0是真命题 解析：选ACD　对于A命题，“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤3x”，故错误；对于B命题，“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，正确；对于C，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于D，当x＝0时，x2＝0，故错误，故选ACD. 11．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是__________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为¬p：____________． 解析：命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是存在量词命题，因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，所以命题p为假命题． 命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0. 答案：存在量词命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0 12．已知命题“∃x∈R，x2－ax＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：∵“命题”存在实数x，使x2－ax＋1<0”为假命题，∴函数y＝x2－ax＋1的图象不能落在x轴的下方， ∴Δ＝(－a)2－4≤0，∴－2≤a≤2. 答案：[－2，2] 13．若命题p：“任意x∈R，ax2＋4x＋a≥0”是真命题，求实数a的取值范围． 解：依题意，ax2＋4x＋a≥0恒成立， 所以有解得a≥2， 故实数a的取值范围是[2，＋∞). [素养拓展练] 14．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围． 解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1，2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.整理得a>－3或a>－2.即a>－3. 故参数a的取值范围为(－3，＋∞). 法二：¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a>0无解， 令f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则f(1)≤0，f(2)≤0， 即 解得a≤－3.故命题p中，a＞－3. 即参数a的取值范围为(－3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$