专题4.5 垂线（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级下册

专题4.5 垂线（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 与垂线有关的角度计算】 1 【题型2 垂线的画法】 4 【题型3 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 8 【题型4 垂线段最短】 10 【题型5 点到直线的距离】 12 知识点1 垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【题型1 与垂线有关的角度计算】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查垂直定义、角的运算，根据垂直定义得到，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 【变式1-3】（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， ． 知识点2 垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【题型2 垂线的画法】 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【变式2-1】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【答案】见解析 【分析】根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画垂线，熟知画垂线的方法是解题的关键． 【变式2-2】如图，点是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的垂线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【点睛】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． 【变式2-3】过点作的垂线． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （2）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （3）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （4）延长BA，然后根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可． 【详解】解：使直角三角尺的其中一条直角边与直线AB重合，沿着AB进行平移，使另外一条直角边过点P即可作出垂线，作（1）、（2）、（3）图，如下图所示： （1）； （2）； （3）； （4）延长BA，作法如上图所示： ． 【点睛】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键． 知识点3 垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型3 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 【例3】如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式3-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】此题考查垂线的性质，根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行解答即可． 【详解】解：由画图过程可知，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答． 【详解】解：若，，则、、三点共线，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式3-3】从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线的性质，解题的关键是熟练掌握垂线的性质． 利用垂线的性质进行求解即可． 【详解】解：过直线外一点，有且只有一条线段与已知直线垂直， 故选：B． 知识点4 垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【题型4 垂线段最短】 【例4】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查的知识点是直线外一点到这条直线中，垂线段最短，解题的关键是熟练的掌握直线外一点到这条直线连接的所有线段中，根据垂线段最短的性质可知，为了节省材料，应从村庄P向主管道作垂线． 【详解】解：根据从直线外一点到这条直线连接的所有线段中，垂线段最短， 所以沿图中线段修建可使用料最省． 故答案为：垂线段最短． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 【变式4-2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 知识点5 点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【题型5 点到直线的距离】 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式5-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 【变式5-2】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离， ∴能表示点到直线的距离的线段共有5条， 故选：D． 【变式5-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 垂线（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 与垂线有关的角度计算】 1 【题型2 垂线的画法】 2 【题型3 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 4 【题型4 垂线段最短】 5 【题型5 点到直线的距离】 6 知识点1 垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【题型1 与垂线有关的角度计算】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【变式1-3】（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 知识点2 垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【题型2 垂线的画法】 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【变式2-1】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【变式2-2】如图，点是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的垂线，交于点． 【变式2-3】过点作的垂线． （1） （2） （3） （4） 知识点3 垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型3 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 【例3】如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【变式3-3】从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 知识点4 垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【题型4 垂线段最短】 【例4】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【变式4-2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【变式4-3】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 知识点5 点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【题型5 点到直线的距离】 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式5-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $