专题15：☆ 表面涂色的正方体（期末专项训练）五年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以位置分类为核心，通过“概念-位置-公式”逻辑链系统构建表面涂色正方体的数量规律，配套记忆口诀与变式训练，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|5考点|位置决定涂色面数，提炼三面（8个）、两面12(n-2)、一面6(n-2)²、无涂色(n-2)³公式，配记忆口诀|从核心概念（n的含义）出发，按顶点-棱-面-内部位置层级推导数量规律| |例题讲解|2典例|正方体→长方体迁移，结合五阶魔方情境应用公式|通过具体棱长数值验证公式，体现从特殊到一般的推理过程| |专项训练|18题|涵盖选择、填空，涉及正方体、长方体、魔方等变式，强化公式逆用与实际情境应用|由基础棱长计算到综合情境分析，逐步提升空间想象与模型应用能力|

专题15：☆ 表面涂色的正方体（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、核心概念与前提 1 考点二、三面涂色的小正方体 2 考点三、两面涂色的小正方体 2 考点四、一面涂色的小正方体 2 考点五、没有涂色的小正方体 3 例题讲解 3 题型一、表面涂色的正方体 3 专项训练 4 练习一、表面涂色的正方体 4 考点梳理 考点一、核心概念与前提 1. 问题背景 把一个棱长为 厘米（ ）的大正方体表面涂上颜色，然后把它切成棱长为 1 厘米的小正方体。我们需要研究这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的各有多少个。 2. 关键变量 (1)：表示大正方体每条棱上切出的小正方体的个数（即大正方体的棱长数值，假设小正方体棱长为1）。 (2)总个数：切开后的所有小正方体总数为 （即 ）。 3. 位置决定涂色面数 小正方体在大正方体中的位置决定了它有几个面被涂色： (1)顶点处的小正方体 3面涂色 (2)棱中间的小正方体 2面涂色 (3)面中心的小正方体 1面涂色 (4)内部核心的小正方体 0面涂色 考点二、三面涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体的8个顶点处。 (2)无论 是多少（只要 ），顶点的位置是固定的。 2. 数量规律 (1)公式： 个 (2)记忆口诀：顶点八个角，三面跑不了。 3. 特殊情况 (1)如果 ，则只有1个小正方体，它是6面涂色（但在本单元通常讨论 的切割情况）。 (2)在 的情况下，三面涂色的小正方体数量恒为 8。 考点三、两面涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体的12条棱的中间部分。 (2)不包括两端的顶点（因为顶点是三面涂色）。 2. 数量推导 (1)每条棱上有 个小正方体。 (2)去掉两端的 2 个顶点，每条棱中间剩下 个两面涂色的小正方体。 (3)正方体共有 12 条棱。 3. 数量规律 (1)公式： (2)注意：当 时， ，即没有两面涂色的小正方体，这是正确的，因为 的正方体切开后，所有8个小块都在顶点上，都是三面涂色。 考点四、一面涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体6个面的中心区域。 (2)不包括棱上的和顶点上的小正方体。 2. 数量推导 (1)每个面是一个 的正方形网格。 (2)去掉最外圈的一层（属于棱或顶点），中间剩下的部分是一个边长为 的正方形。 (3)所以，每个面上有 个一面涂色的小正方体。 (4)正方体共有 6 个面。 3. 数量规律 (1)公式： (2)注意：当 时（如 ）， ，即没有一面涂色的小正方体。只有当 时，才会出现一面涂色的小正方体。 考点五、没有涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体的内部核心。 (2)被外层所有涂色的小正方体包裹在里面，完全接触不到表面。 2. 数量推导 (1)想象剥去大正方体最外面的一层皮（上下、左右、前后各剥去一层）。 (2)剩下的核心部分也是一个正方体。 (3)原棱长为 ，上下各减1，左右各减1，前后各减1，所以核心正方体的棱长为 。 3. 数量规律 (1)公式： (2)注意：只有当 时，才会有内部核心。 ①　若 ， ，无内部小块。 ②　若 ， ，正中心有1个。 例题讲解 题型一、表面涂色的正方体 【例题1】在一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的表面涂色，然后把它切成棱长为1cm的小正方体。在这些小正方体中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，三面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【答案】 52 36 8 24 【分析】三面涂色的在顶点，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；两面涂色的在棱上且不包含顶点，需要分别计算长、宽、高各棱去掉顶点后的数量再求和；一面涂色的在每个面的中间区域，要计算每个面去掉边缘后的面积对应的小正方体数量再求和；没有涂色的在长方体内部，用长、宽、高分别减去2后相乘即可得到内部未涂色的小正方体数量。 【详解】一面涂色：[（6－2）（5－2）＋（6－2）（4－2）＋（5－2）（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（个） 两面涂色：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（个） 三面涂色：8个 没有涂色：（6－2）（5－2）（4－2） ＝4×3×2 ＝24（个） 【练习1】如图是一个五阶魔方（每个面都是5行5列），它是由( )个小正方体拼接而成的，把每个面都涂上颜色，其中三面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 125 8 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算出小正方体个数；三面涂色的小正方体在魔方的顶点位置。 【详解】小正方体个数：5×5×5＝125（个） 正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8个。 专项训练 练习一、表面涂色的正方体 1．将一个表面涂色的大正方体切成27个小正方体，三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．15 D．27 【答案】A 【分析】 如图，三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8个。 【详解】将一个表面涂色的大正方体切成27个小正方体，根据分析，三面涂色的小正方体有8个。 故答案为：A 2．一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，平均分成若干个小正方体，那么其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】沿大正方体每条棱切三刀，每切一刀会将棱分成两段，切三刀后每条棱被分成的段数为切的刀数加，所以可以知道每条棱上有几个正方体。两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，但不包括顶点处的小正方体（顶点处的小正方体为三面涂色）。因此每条棱上有4个小正方体，减去两端的2个顶点处的小正方体，可得每条棱上两面涂色的小正方体个数。正方体有12条棱，因此两面涂色的小正方体总数为每条棱上的个数乘棱的数量。 【详解】（段） （个） 那么其中两面涂色的小正方体有24个。 3．一个表面涂色的大正方体，每条棱都被平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【分析】两面涂色的小正方体在大正方体非顶点处的棱上。每条棱被分成5份，涂两面的小正方体有5－2＝3个，正方体有12条棱，用3×12计算出涂两个面的小正方体的总数。 【详解】5－2＝3（个） 3×12＝36（个） 每条棱都被平均分成5份，两面涂色的小正方体个数是36个。 4．一个表面涂色的大正方体，每条棱都平均分成n份（n＞2）。其中，三面涂色的小正方体有8个、两面涂色的有24个，这个大正方体被平均分成了（    ）个小正方体。 A．27 B．64 C．125 D．216 【答案】B 【分析】两面涂色的小正方体在大正方体的棱上（除去顶点处的小正方体），每条棱上两面涂色的小正方体的个数为（n－2）个，正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体总个数＝每条棱上两面涂色的小正方体的个数×12，即12×（n－2）个。 据此通过两面涂色的小正方体个数求出大正方体每条棱被平均分成的份数，进而求出小正方体的总个数。 【详解】根据分析可知：12×（n－2）＝24 解：n－2＝24÷12 n－2＝2 n＝2＋2 n＝4 因为大正方体每条棱都平均分成n份，所以小正方体的总个数为n×n×n＝n3个。 把n＝4代入n3，可得： 43 ＝4×4×4 ＝64（个） 5．把一个棱长3cm的正方体表面涂上红色，再把它分割成27个棱长1cm的小正方体，这些小正方体中，（    ）的块数最多。 A．三面涂色 B．两面涂色 C．一面涂色 D．没有涂色 【答案】B 【分析】棱长为3cm，分割成27个棱长1cm的小正方体，则每条棱长上都能切出3个棱长1cm的小正方体，n＝3。 三面涂色均为红色的在各个顶点处的小正方体，共8个； 两面涂色：在各棱处，除去顶点处的小正方体的都有两面涂色，可以利用公式：（n－2）×12； 一面涂色：位于大正方体中心，利用公式：（n－2）×（n－2）×6； 再用小正方体总个数－3面涂色小正方体个数－两面涂色小正方体个数－一面涂色小正方体个数，再进行比较，即可解答。 【详解】棱长为3cm，分割成27个棱长1cm的小正方体，则每条棱长上都能切出3个棱长1cm的小正方体。 三面涂色有8个。 两面涂色： （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 一面涂色： （3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝1×6 ＝6（个） 没有涂色： 27－8－12－6 ＝19－12－6 ＝7－6 ＝1（个） 12＞8＞6＞1，两面涂色的块数最多。 把一个棱长3cm的正方体表面涂上红色，再把它分割成27个棱长1cm的小正方体，这些小正方体中，两面涂色的块数最多。 6．用棱长1cm的小正方体拼成如图的甲、乙两个大正方体，把它们的表面分别涂上颜色，下面表述不正确的是（    ）。 A．甲1面涂色的小正方体数是乙的4倍 B．甲和乙3面涂色的小正方体数相等 C．甲和乙2面涂色的小正方体数不相等 D．甲和乙没有涂色的小正方体数相等 【答案】D 【分析】3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，因为正方体顶点数量固定，所以可判断甲、乙3面涂色的小正方体数量关系。 2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不含顶点），利用公式（棱长－2）×12，可计算甲、乙2面涂色的小正方体数量并比较。 1面涂色的小正方体在大正方体的面中间（不含棱），利用公式（棱长－2）2×6，可计算甲、乙1面涂色的小正方体数量并比较倍数关系。 没有涂色的小正方体在大正方体内部，利用公式（棱长－2）3，所以可计算甲、乙没有涂色的小正方体数量并比较。 逐一验证选项中的表述，判断哪个选项不正确。 【详解】A．甲（n＝4）： 6×（4－2）2 ＝6×22 ＝6×4 ＝24 乙（n＝3）： 6×（3－2）2 ＝6×12 ＝6×1 ＝6 24÷6＝4，表述正确，不符合要求。 B．甲和乙的3面涂色小正方体都在顶点，都是8个，数量相等，表述正确，不符合要求。 C．甲：12×（4－2） ＝12×2 ＝24 乙：12×（3－2） ＝12×1 ＝12，24≠12，不相等，表述正确，不符合要求。 D．甲：（4－2）3 ＝23 ＝8 乙：（3－2）3 ＝13 ＝1，8≠1，数量不相等，表述错误，符合题目要求。 表述不正确的是甲和乙没有涂色的小正方体数相等。 7．用120块相同的小正方体拼成一个长是6块，宽是5块，高是4块的长方体，将长方体表面涂上红色，三个面被涂上红色的小正方体有( )块。 【答案】8 【分析】三个面被涂上红色的是长方体的八个顶点处，所以有8块。 【详解】根据分析得出：三个面被涂上红色的小正方体有（8）块。 8．如图，把一个表面涂成红色的长方体切成小正方体后，三面是红色的小正方体有( )个，仅有一面是红色的小正方体有( )个。 【答案】 8 4 【分析】三面是红色的小正方体都在长方体顶点的位置，数量与长方体顶点的数量相同。 仅有一面是红色的小正方体只存在于每个面的中心部分，且每个面分成3行3列以上时才会出现。 【详解】长方体共有8个顶点，因此三面是红色的小正方体有8个。 只有上面和下面的中心处有一面是红色的小正方体，上面有2个，下面有2个，共有4个。 9．把一个棱长4cm的正方体木块表面涂上红色，然后切成棱长为1cm的小正方体木块。两面涂色的小正方体有( )块。 【答案】24 【分析】一个大正方体被切成个小正方体后，涂色小正方体的数量与位置有关： 两面涂色的小正方体位于棱上（除顶点外），即位于每条棱的中间部分，每条棱有个小正方体，正方体有12条棱，所以总数为个。 【详解】12×（4÷1－2） ＝12×（4－2） ＝12×2 ＝24（个） 即两面涂色的小正方体有24个。 10．将一个棱长10厘米的正方体表面涂色，再把每条棱都平均分成5份，切成若干个棱长2厘米的小正方体，切成的小正方体中，只有2面涂色的有( )个，只有1面涂色的有( )个。 【答案】 36 54 【分析】把正方体每条棱平均分成5份，这样每条棱上就有5个小正方体。两面涂色的小正方体：两面涂色的小正方体只出现在正方体的棱上，并且不包括顶点处的小正方体。每条棱上有5个小正方体，去掉两端顶点的2个，中间剩下5－2＝3个两面涂色的小正方体。正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体总数是3×12＝36个。 一面涂色的小正方体：一面涂色的小正方体只出现在正方体每个面的中心区域，不包括棱上的小正方体。一个面有：3×3＝9个的小正方体，正方体有6个面，所以一共有：9×6＝54个。 【详解】（5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 3×3×6＝9×6＝54（个） 即两面涂色的小正方体有36个，一面涂色的小正方体有54个。 11．一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体木块，将它的表面涂色，然后切成棱长是1dm的正方体。其中三面涂色的正方体有( )个，两面涂色的正方体有( )个。 【答案】 8 24 【分析】三面涂色的小正方体在长方体的顶点位置，长方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定8个； 两面涂色的小正方体在长方体的棱上（顶点处除外），用每条棱上小正方体的个数减去2，长方体有4长、4宽、4高，分别求出长、宽、高棱上两面涂色的小正方体个数，再用长、宽、高棱上两面涂色的小正方体个数和乘4即可解答。 【详解】长方体有8个顶点，每个顶点对应1个三面涂色的小正方体，所以其中三面涂色的正方体有8个。 5－2＝3（个） 4－2＝2（个） 3－2＝1（个） （3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（个） 所以两面涂色的正方体有24个。 12．一个表面涂满了红色的正方体，切成了125个同样大的小正方体。这些小正方体中三个面涂红色的有( )块，两个面涂红色的有( )块。 【答案】 8 36 【分析】一个表面涂满了红色的正方体，切成了125个同样大的小正方体，5×5×5＝125，所以每条棱上有5块小正方体。 大正方体顶点处的小正方体是三面涂色，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定为8块；位于大正方体棱上（非顶点）的小正方体是两面涂色，每条棱上有5块小正方体，顶点处2块是三面涂色，所以每条棱上两面涂色的有5－2＝3块，正方体有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量是3×12＝36块。 【详解】5×5×5＝125 （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（块） 因此，这些小正方体中三个面涂红色的有8块，两个面涂红色的有36块。 【点睛】三面涂色的小正方体位于顶点位置，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8块；两面涂色的小正方体在棱上，正方体有12条棱，各去掉两块顶点处三面涂色的小正方体，所以两面涂色的小正方体有（n－2）×12块（n为每条棱上小正方体的个数）。 13．如图，同学们用自制的棱长1分米的小正方体拼成长方体，并将长方体表面涂成绿色，拆开后，两面绿色的小正方体有( )个。 【答案】24 【分析】两面绿色的小正方体在长方体的棱的中间，看图可知，两面绿色的小正方体，长有3个，宽有2个，高有1个，（长上的个数＋宽上的个数＋高上的个数）×4＝两面绿色的小正方体总个数。 【详解】（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（个） 两面绿色的小正方体有24个。 14．一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 36 54 【分析】见下图          我们先把正方体每条棱平均分成5份，这样每条棱上就有5个小正方体。 两面涂色的小正方体：两面涂色的小正方体只出现在正方体的棱上，并且不包括顶点处的小正方体。 每条棱上有5个小正方体，去掉两端顶点的2个，中间剩下5－2＝3个两面涂色的小正方体。 正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体总数是3×12＝36个。 一面涂色的小正方体：一面涂色的小正方体只出现在正方体每个面的中心区域，不包括棱上的小正方体，如上图篮框区域。 一个面有：3×3＝9个的小正方体 正方体有6个面，所以一共有：9×6＝54个。 【详解】（5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（个） 所以，两面涂色的小正方体有36个，一面涂色的小正方体有54个。 【点睛】利用画出图形，找出一个面满足涂色条件的个数，然后乘面数。 15．将长15厘米、宽12厘米、高9厘米的长方体木块表面涂色。再将它切成正方体，没有废料，至少可切( )块，其中六个面都没有涂上颜色的有( )块。 【答案】 60 6 【分析】根据题意，将长方体木块表面涂色，再将它切成正方体，没有废料，求至少切多少块，则切成的正方体的棱长应是长方体长、宽、高的最大公因数，再用长方体的长、宽、高分别除以正方体的棱长求出长、宽、高方向上切成的正方体的块数，再把长、宽、高方向上的块数相乘即可求出一共切成正方体的块数；六个面都没有涂上颜色的正方体在长方体的内部，内部也是一个长方体，这个长方体的长、宽、高上的正方体的块数分别是现在的长、宽、高上切出的小正方体的块数减去2（两端有2块涂色的），再把内部长方体的长、宽、高上的正方体的块数相乘即可求出六个面都没有涂上颜色的正方体的块数。 【详解】15的因数：1、3、5、15 12的因数：1、2、3、4、6、12 9的因数：1、3、9 所以15、12、9的最大公因数是3，即切成的正方体的棱长为3厘米； 15÷3＝5（块） 12÷3＝4（块） 9÷3＝3（块） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（块） （5－2）×（4－2）×（3－2） ＝3×2×1 ＝6×1 ＝6（块） 所以，将长15厘米、宽12厘米、高9厘米的长方体木块表面涂色。再将它切成正方体，没有废料，至少可切60块，其中六个面都没有涂上颜色的有6块。 【点睛】本题需明确通过求长、宽、高的最大公因数来确定棱长，总块数由各方向上切成的正方体块数相乘，内部没有涂色的块数需注意每边减2后相乘。 16．把一个棱长是20厘米的大正方体表面涂成红色，并切割成棱长是2厘米的小正方体。没有涂色的小正方体的个数是( )个；两面涂色的小正方体的个数是( )个。 【答案】 512 96 【分析】大正方体棱长20厘米，小正方体棱长2厘米，因此每条边被分成20÷2＝10份，即大正方体由10×10×10＝1000个小正方体组成。没有涂色的小正方体是内部完全未被涂色的小正方体，个数为个。两面涂色的小正方体位于棱上但不在顶点，每条棱上有个，12条棱的总个数为个。 【详解】每条边上小正方体的个数：20÷2＝10（个） 大正方体小正方体总个数：10×10×10＝1000（个） 没有涂色的小正方体个数： （个） 两面涂色的小正方体个数： （个） （个） 【点睛】这是一道典型的正方体分割涂色问题，解题关键是区分不同位置小正方体的涂色特征。 17．将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体（如图），在大正方体同一个面涂上相同的颜色，六个面上所涂颜色不同。在所有小正方体中，涂有3种不同颜色的小正方体有( )块，涂有2种不同颜色的小正方体占总数的( )。 【答案】 8 【分析】在大正方体中只有8个顶点处的小正方体会同时接触3个面，每个顶点处有1个小正方体涂有三种不同的颜色；大正方体中，每条棱上除去两个顶点的小正方体会接触2个面，正方体有12条棱，每条棱上有（4－2）块小正方体涂有2种不同颜色，用（4－2）×12列式求出涂有2种不同颜色的小正方体的块数，再除以大正方体中小正方体的总块数，大正方体中小正方体的块数＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【详解】大正方体中只有8个顶点处的小正方体会同时接触3个面，所以在所有小正方体中，涂有3种不同颜色的小正方体有8块。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（个） （4－2）×12÷64 ＝2×12÷64 ＝24÷64 ＝ 所以涂有2种不同颜色的小正方体占总数的。 18．一个正方体木块，棱长5厘米，现在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三个面有红色的小正方体是( )块；两个面有红色的小正方体是( )块；一个面有红色的小正方体是( )块；六个面都没有红色的小正方体是( )块，是( )立方厘米。 【答案】 8 36 54 27 27 【分析】先确定大正方体每条棱上小正方体的数量，即5÷1＝5（块）；再根据正方体顶点、棱、面、内部的位置特征，分别计算三个面、两个面、一个面有红色及六个面都没有红色的小正方体数量，最后计算未涂色小正方体的体积。 （1）三个面有红色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，每个顶点处有1个小正方体，所以数量为8块。 （2）两个面有红色的小正方体位于大正方体的棱上，且不包括顶点处的小正方体。每条棱上小正方体总数为5块，减去两端顶点处的2块，得到每条棱上两面涂色的小正方体个数为3块，再乘以正方体棱的条数12条，即3×12＝36块； （3）一个面有红色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分，不包括棱上的小正方体。每个面是边长为5的正方形，去掉四周棱上的小正方体后，中间部分是边长为5－2＝3的正方形，先计算一个面的数量为3×3＝9块，再乘以正方体面的个数6个，即6×9＝54块； （4）六个面都没有红色的小正方体位于大正方体内部，可看作是一个棱长为5－2＝3的小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出数量，每个小正方体体积为1×1×1=1立方厘米，用数量乘一个小正方体的体积即为所求总体积。 【详解】根据分析可知： （1）三个面有红色的小正方体是大正方体8个顶点处的小正方体，一共有8块； （2）大正方体每条棱上顶点处的2个小正方体有3面涂色，则剩下的3个小正方体有2个面涂色，12条棱就有3×12＝36块小正方体两面涂色； （3）一个面涂色的是每个面中间的部分，每个面中间有3×3＝9块小正方体1个面涂色，6个面一共有9×6＝54块； （4）六个面都没有红色的小正方体位于大正方体内部，数量为3×3×3＝27（块），体积为27×1×1×1＝27（立方厘米）。 一个正方体木块，棱长5厘米，现在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三个面有红色的小正方体是8块；两个面有红色的小正方体是36块；一个面有红色的小正方体是54块；六个面都没有红色的小正方体是27块，是27立方厘米。 第 2 页 共 14 页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15：☆ 表面涂色的正方体（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、核心概念与前提 1 考点二、三面涂色的小正方体 1 考点三、两面涂色的小正方体 2 考点四、一面涂色的小正方体 2 考点五、没有涂色的小正方体 3 例题讲解 3 题型一、表面涂色的正方体 3 专项训练 3 练习一、表面涂色的正方体 4 考点梳理 考点一、核心概念与前提 1. 问题背景 把一个棱长为 厘米（ ）的大正方体表面涂上颜色，然后把它切成棱长为 1 厘米的小正方体。我们需要研究这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的各有多少个。 2. 关键变量 (1)：表示大正方体每条棱上切出的小正方体的个数（即大正方体的棱长数值，假设小正方体棱长为1）。 (2)总个数：切开后的所有小正方体总数为 （即 ）。 3. 位置决定涂色面数 小正方体在大正方体中的位置决定了它有几个面被涂色： (1)顶点处的小正方体 3面涂色 (2)棱中间的小正方体 2面涂色 (3)面中心的小正方体 1面涂色 (4)内部核心的小正方体 0面涂色 考点二、三面涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体的8个顶点处。 (2)无论 是多少（只要 ），顶点的位置是固定的。 2. 数量规律 (1)公式： 个 (2)记忆口诀：顶点八个角，三面跑不了。 3. 特殊情况 (1)如果 ，则只有1个小正方体，它是6面涂色（但在本单元通常讨论 的切割情况）。 (2)在 的情况下，三面涂色的小正方体数量恒为 8。 考点三、两面涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体的12条棱的中间部分。 (2)不包括两端的顶点（因为顶点是三面涂色）。 2. 数量推导 (1)每条棱上有 个小正方体。 (2)去掉两端的 2 个顶点，每条棱中间剩下 个两面涂色的小正方体。 (3)正方体共有 12 条棱。 3. 数量规律 (1)公式： (2)注意：当 时， ，即没有两面涂色的小正方体，这是正确的，因为 的正方体切开后，所有8个小块都在顶点上，都是三面涂色。 考点四、一面涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体6个面的中心区域。 (2)不包括棱上的和顶点上的小正方体。 2. 数量推导 (1)每个面是一个 的正方形网格。 (2)去掉最外圈的一层（属于棱或顶点），中间剩下的部分是一个边长为 的正方形。 (3)所以，每个面上有 个一面涂色的小正方体。 (4)正方体共有 6 个面。 3. 数量规律 (1)公式： (2)注意：当 时（如 ）， ，即没有一面涂色的小正方体。只有当 时，才会出现一面涂色的小正方体。 考点五、没有涂色的小正方体 1. 位置特征 (1)位于大正方体的内部核心。 (2)被外层所有涂色的小正方体包裹在里面，完全接触不到表面。 2. 数量推导 (1)想象剥去大正方体最外面的一层皮（上下、左右、前后各剥去一层）。 (2)剩下的核心部分也是一个正方体。 (3)原棱长为 ，上下各减1，左右各减1，前后各减1，所以核心正方体的棱长为 。 3. 数量规律 (1)公式： (2)注意：只有当 时，才会有内部核心。 ①　若 ， ，无内部小块。 ②　若 ， ，正中心有1个。 例题讲解 题型一、表面涂色的正方体 【例题1】在一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的表面涂色，然后把它切成棱长为1cm的小正方体。在这些小正方体中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，三面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【练习1】如图是一个五阶魔方（每个面都是5行5列），它是由( )个小正方体拼接而成的，把每个面都涂上颜色，其中三面涂色的小正方体有( )个。 专项训练 练习一、表面涂色的正方体 1．将一个表面涂色的大正方体切成27个小正方体，三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．15 D．27 2．一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，平均分成若干个小正方体，那么其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 3．一个表面涂色的大正方体，每条棱都被平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．36 4．一个表面涂色的大正方体，每条棱都平均分成n份（n＞2）。其中，三面涂色的小正方体有8个、两面涂色的有24个，这个大正方体被平均分成了（    ）个小正方体。 A．27 B．64 C．125 D．216 5．把一个棱长3cm的正方体表面涂上红色，再把它分割成27个棱长1cm的小正方体，这些小正方体中，（    ）的块数最多。 A．三面涂色 B．两面涂色 C．一面涂色 D．没有涂色 6．用棱长1cm的小正方体拼成如图的甲、乙两个大正方体，把它们的表面分别涂上颜色，下面表述不正确的是（    ）。 A．甲1面涂色的小正方体数是乙的4倍 B．甲和乙3面涂色的小正方体数相等 C．甲和乙2面涂色的小正方体数不相等 D．甲和乙没有涂色的小正方体数相等 7．用120块相同的小正方体拼成一个长是6块，宽是5块，高是4块的长方体，将长方体表面涂上红色，三个面被涂上红色的小正方体有( )块。 8．如图，把一个表面涂成红色的长方体切成小正方体后，三面是红色的小正方体有( )个，仅有一面是红色的小正方体有( )个。 9．把一个棱长4cm的正方体木块表面涂上红色，然后切成棱长为1cm的小正方体木块。两面涂色的小正方体有( )块。 10．将一个棱长10厘米的正方体表面涂色，再把每条棱都平均分成5份，切成若干个棱长2厘米的小正方体，切成的小正方体中，只有2面涂色的有( )个，只有1面涂色的有( )个。 11．一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体木块，将它的表面涂色，然后切成棱长是1dm的正方体。其中三面涂色的正方体有( )个，两面涂色的正方体有( )个。 12．一个表面涂满了红色的正方体，切成了125个同样大的小正方体。这些小正方体中三个面涂红色的有( )块，两个面涂红色的有( )块。 13．如图，同学们用自制的棱长1分米的小正方体拼成长方体，并将长方体表面涂成绿色，拆开后，两面绿色的小正方体有( )个。 14．一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 15．将长15厘米、宽12厘米、高9厘米的长方体木块表面涂色。再将它切成正方体，没有废料，至少可切( )块，其中六个面都没有涂上颜色的有( )块。 16．把一个棱长是20厘米的大正方体表面涂成红色，并切割成棱长是2厘米的小正方体。没有涂色的小正方体的个数是( )个；两面涂色的小正方体的个数是( )个。 17．将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体（如图），在大正方体同一个面涂上相同的颜色，六个面上所涂颜色不同。在所有小正方体中，涂有3种不同颜色的小正方体有( )块，涂有2种不同颜色的小正方体占总数的( )。 18．一个正方体木块，棱长5厘米，现在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三个面有红色的小正方体是( )块；两个面有红色的小正方体是( )块；一个面有红色的小正方体是( )块；六个面都没有红色的小正方体是( )块，是( )立方厘米。 第 2 页 共 14 页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $