专题14：长方体和正方体的体积（容积）及应用（期末专项训练）五年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以体积公式为核心，通过“概念-公式-应用-拓展”四层逻辑构建方法体系，覆盖6大考点，提炼5类解题通法，培养空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|6个考点|体积公式（基本/通用）、逆运算、体积守恒（切拼）、等积变形（找不变量）、排水法/溢水法|从定义公式到生活应用，再到切拼/变形/不规则物体，层层递进| |例题讲解|6道例题|结合场景建模（沙坑/熔铸）、易错点警示（单位统一）|以题载法，覆盖核心考法与变式| |专项训练|6组练习|公式应用、实际问题解决、操作类问题（切拼/排水）|从基础计算到综合应用，强化知识迁移|

专题14：长方体和正方体的体积（容积）及应用（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体体积的计算 1 考点二、长方体和正方体体积的应用 2 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 2 考点四、体积的等积变形（长方体、正方体） 3 考点五、长方体、正方体的容积 3 考点六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 4 例题讲解 5 题型一、长方体和正方体体积的计算 5 题型二、长方体和正方体体积的应用 5 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 6 题型四、体积的等积变形（长方体、正方体） 7 题型五、长方体、正方体的容积 8 题型六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 9 专项训练 10 练习一、长方体和正方体体积的计算 10 练习二、长方体和正方体体积的应用 13 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 16 练习四、体积的等积变形（长方体、正方体） 20 练习五、长方体、正方体的容积 22 练习六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 26 考点梳理 考点一、长方体和正方体体积的计算 1. 长方体的体积公式 (1)基本公式：长方体的体积 = 长 宽 高 字母表示： (2)通用公式：长方体的体积 = 底面积 高 字母表示： （其中 为底面积， 为高） 2. 正方体的体积公式 (1)基本公式：正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长 字母表示： （读作“a的立方”，表示3个a相乘） (2)通用公式：正方体的体积 = 底面积 高 字母表示： 3. 易错点提示 (1) 与 的区别： ，而 。 (2)计算时务必注意单位统一，如果长、宽、高的单位不一致，必须先换算成相同单位再计算。 考点二、长方体和正方体体积的应用 1. 已知体积求未知量 利用逆运算解决实际问题： (1)已知长方体体积 、长 、宽 ，求高 ： 或 (2)已知正方体体积 ，求棱长 ：需思考哪个数的立方等于 （例如 ，则 ，因为 ）。 2. 生活中的应用场景 (1)修建水池/挖坑：计算需要挖出土方的体积，即求长方体体积。 (2)铺设路面/铺沙：已知铺路的长、宽和厚度（高），求所需沙子或混凝土的体积。 (3)集装箱装载：计算车厢或集装箱内部能容纳多少货物，通常忽略壁厚，按内部尺寸计算。 3. 表面积与体积的区别 (1)意义不同：表面积是物体表面的总面积；体积是物体所占空间的大小。 (2)计算方法不同：表面积涉及长、宽、高的两两组合；体积涉及长、宽、高的连乘。 (3)计量单位不同：表面积用面积单位（ ）；体积用体积单位（ ）。 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1. 切割问题 (1)体积变化：把一个长方体或正方体切成若干个小块，总体积不变。所有小块的体积之和等于原物体的体积。 (2)表面积变化：每切一刀，会增加 2个 切面的面积。 ①　平行于某个面切，增加的面积 = 该面的面积。 ②　切的刀数越多，增加的表面积越大。 2. 拼接问题 (1)体积变化：把几个小长方体或正方体拼成一个大长方体，总体积不变。大物体的体积等于所有小物体体积之和。 (2)表面积变化：每两个面拼接在一起，就会减少 2个 接触面的面积。 ①　为了使拼成后的长方体表面积最小，应将最大的面重合拼接。 ②　为了使拼成后的长方体表面积最大，应将最小的面重合拼接。 3. 核心结论 (1)无论怎么切、怎么拼，只要没有材料损耗或添加，体积守恒。 (2)解题关键：抓住“体积不变”这一核心，通过体积建立等量关系。 考点四、体积的等积变形（长方体、正方体） 1. 概念理解 (1)等积变形是指形状改变了，但物体所占空间的大小（体积）保持不变。 (2)常见场景：橡皮泥捏形、铁块熔铸、水倒入不同形状的容器。 2. 解题思路 (1)找不变量：确定变形前后的体积是相等的。 (2)列方程或算式： ①　 ②　即： （针对柱体变形） (3)求解未知量：根据已知条件求出新的长、宽、高或底面积。 3. 注意事项 (1)如果是熔铸问题，通常假设没有材料损耗。 (2)如果是液体流动问题，要注意容器的内壁尺寸（容积）而非外壁尺寸。 考点五、长方体、正方体的容积 1. 容积的概念 (1)定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 (2)区别： ①　体积是从物体外部测量长、宽、高。 ②　容积是从物体内部测量长、宽、高。 ③　对于有厚度的容器，体积 > 容积。 2. 容积单位 (1)专用单位：升 ( )、毫升 ( )。 (2)适用对象：主要用于计量液体（如水、油、药水）或松散物体（如粮食）。 (3)单位换算： ①　 ②　 （1升 = 1立方分米） ③　 （1毫升 = 1立方厘米） 3. 容积的计算方法 (1)计算方法与体积相同，但数据必须使用内部尺寸。 (2)公式： ①　长方体容积 = 内长 内宽 内高 ②　正方体容积 = 内棱长 内棱长 内棱长 考点六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1. 排水法（浸没法） 适用于完全浸没在水中且不吸水、不溶于水的不规则物体（如石头、铁块）。 (1)原理：物体浸没后，水面上升部分的体积 = 物体的体积。 (2)计算公式： ①　 ②　 ③　或者： 2. 溢水法 适用于容器已装满水，放入物体后水溢出的情况。 (1)原理：溢出水的体积 = 物体的体积。 (2)操作：收集溢出的水，测量其体积（用量筒或称重后换算）。 3. 注意事项 (1)完全浸没：物体必须全部没入水中，不能露出水面。 (2)单位统一：测量水面高度变化时通常用厘米( )，底面积用平方厘米( )，得出的体积单位是立方厘米( )，必要时需转换为毫升( )或升( )。 (3)特殊情况：如果物体漂浮，需用细针将其压入水中（针的体积忽略不计或单独扣除）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体体积的计算 【例题1】求体积。 【答案】2880；512 【分析】根据“”和“”分别求出长方体和正方体的体积。 【详解】12×12×20 ＝144×20 ＝2880（） 8×8×8＝512（） 【练习1】求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】196 【分析】如图所示，图形由上下两个长方体组成，根据“长方体体积＝长×宽×高”分别计算出两个长方体体积再相加即可。 【详解】8×4×5＋3×3×4 ＝160＋36 ＝196（） 题型二、长方体和正方体体积的应用 【例题2】朝阳小学操场上有一个沙坑长2.5米，宽1.5米，深0.6米，填满这个沙坑，需要多少立方米？ 【答案】2.25立方米 【分析】沙坑的形状可以看作一个长方体，填满沙坑所需沙子的体积即为该长方体的体积。根据“长方体体积＝长×宽×高”，将沙坑的长、宽、深（高）代入公式列式计算即可。 【详解】2.5×1.5×0.6 ＝3.75×0.6 ＝2.25（立方米） 答：需要2.25立方米。 【练习2】把一个棱长为6厘米的正方体铁块锻造成一个长9厘米，宽6厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积；长方体铁块的体积＝正方体铁块的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算长方体铁块的高。 【详解】6×6×6＝216（立方厘米） 216÷9÷6＝4（厘米） 答：这个长方体铁块的高是4厘米。 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例题3】一个正方体的棱长是4cm，用2个这样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 160 128 【分析】用2个这样的正方体拼成一个长方体，长方体的长为2个正方体的棱长相加，宽和高是正方体的棱长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】则这个长方体的长：4×2＝8（cm），宽为4cm，高为4cm。 （8×4＋8×4＋4×4）×2 ＝（32＋32＋16）×2 ＝（64＋16）×2 ＝80×2 ＝160（） 8×4×4 ＝32×4 ＝128（） 【练习3】一根长24厘米的长方体木料，把它锯成4段后，表面积增加30平方厘米，这根木料原来的体积是( )立方厘米。 【答案】 120 【分析】本题考查长方体体积的计算以及切割引起的表面积变化规律。把一根长方体木料锯成4段，需要锯3次，每锯一次会增加2个横截面，一共增加了6个横截面。增加的表面积除以6即可求出横截面的面积（即底面积），再根据长方体体积公式“体积＝底面积×长”求出原来的体积。 【详解】锯的次数：（次）；增加的横截面个数：（个）；木料的横截面面积：（平方厘米） ；木料原来的体积：（立方厘米） 题型四、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题4】把一个长是12cm，宽是6cm，高是3cm的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，这个正方体铁块的体积是( )cm3。 【答案】216 【分析】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，则它们的体积相等；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块铁块的体积。 【详解】12×6×3 ＝72×3 ＝216（cm3） 【练习4】一个装满水的长方体容器，长、宽、高分别是30厘米、16厘米、10厘米，把里面的水倒入一个棱长是40厘米的正方体容器里，水深多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【答案】3厘米 【分析】先根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，求出水的体积，再用水的体积除以正方体的底面积，即可求出水的高度。 【详解】30×16×10÷（40×40） ＝4800÷1600 ＝3（厘米） 答：水深3厘米。 题型五、长方体、正方体的容积 【例题5】一盒牛奶的包装盒上写着“净含量：300mL”，小婷实际测量了外包装盒，长是6厘米，宽是5厘米，高是10厘米，根据数据，你认为包装盒标注的净含量真实吗？( )（填“真实”或“虚假”）。说一说理由：( )。 【答案】 虚假 由于外包装盒有一定的厚度，内部容积必然小于外部体积，因此内部实际能容纳的牛奶体积小于300毫升。 【分析】先根据长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高，计算外包装盒的体积，体积表示物体所占空间大小，容积表示能容纳物体的体积。据此判断。 【详解】6×5×10 ＝30×10 ＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 因为外包装盒的体积是从外部测量得到的，而牛奶的净含量是指包装盒内部所能容纳牛奶的体积（即容积）。由于外包装盒有一定的厚度，内部容积必然小于外部体积，因此内部实际能容纳的牛奶体积小于300毫升，所以标注的“净含量300mL”不真实。 【练习5】腊八节是我国的传统节日。腊八节这天，妈妈用一个从里面量长20厘米、宽15厘米、高18厘米的无盖长方体玻璃容器泡腊八蒜，里面盛有12厘米高的醋。 (1)玻璃容器中有多少毫升的醋？ (2)若往容器里放入体积为2.1立方分米的腊八蒜（腊八蒜均浸没在醋中），容器里的醋会不会溢出？ 【答案】(1)3600毫升 (2)会溢出 【分析】（1）醋的形状是长20厘米、宽15厘米、高12厘米的长方体，用长方体体积＝长×宽×高算出体积，再把立方厘米换算成毫升（1立方厘米＝1毫升），即可求出醋的容积。 （2）先求出容器还能装多少空间（用长×宽×剩余高度），再把腊八蒜的2.1立方分米换算成立方厘米，比较两者大小：腊八蒜体积大于剩余空间，醋就会溢出，反之则不会。 【详解】（1）20×15×12 ＝300×12 ＝3600（立方厘米） 3600立方厘米＝3600毫升 答：玻璃容器中有3600毫升的醋。 （2）18－12＝6（厘米） 20×15×6 ＝300×6 ＝1800（立方厘米） 2.1立方分米＝2100立方厘米 2100＞1800 答：容器里的醋会溢出。 题型六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题6】在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 【答案】500 【分析】石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。 【详解】15－3＝12（厘米） 10×10×（12－10＋3） ＝10×10×（2＋3） ＝10×10×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 【练习6】一个长方体水槽，从里面量长20分米、宽10分米、水深6分米。放入一个铁块后（完全浸没），水面上升到8分米。这个铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】400立方分米 【分析】根据题意，铁块完全浸没在水中，铁块的体积等于水面上升部分水的体积。水面上升部分水的形状是长方体，其长和宽等于水槽内部的长和宽，高等于现在的水深减去原来的水深。再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出铁块的体积。 【详解】水面上升的高度：8－6＝2（分米） 铁块的体积：20×10×2＝400（立方分米） 答：这个铁块的体积是400立方分米。 专项训练 练习一、长方体和正方体体积的计算 1．一个正方体的棱长是6厘米，它的体积和表面积（    ）。 A．体积大 B．表面积大 C．相等 D．无法比较 【答案】D 【分析】表面积表示物体表面的大小，单位是平方厘米等面积单位；体积表示物体所占空间的大小，单位是立方厘米等体积单位。不同类型的量，不能直接比较大小。 【详解】体积和表面积所表示的意义不同，单位也不同，无法比较大小。 2．一个长方体的底面积是，如果它的高增加6cm，那么体积增加（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体体积公式：底面积×增加高，即是增加的体积，注意单位的转换。 【详解】6cm＝0.6dm 28×0.6＝16.8（dm3） 一个长方体的底面积是，如果它的高增加6cm，那么体积增加。 3．一个长方体的长是5dm，宽是3dm，高是4dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 94 60 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】长方体的表面积： （5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（dm2） 长方体的体积： 5×3×4 ＝15×4 ＝60（dm3） 4．一个长方体的体积是90立方分米，底面积是15平方分米，它的高是( )分米。 【答案】6 【分析】根据长方体体积＝底面积×高，已知长方体的体积和底面积，用除法计算高度。 【详解】90÷15＝6（分米） 5．一个正方体的棱长总和是48cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 96 64 【分析】先根据正方体棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值即可解答。 【详解】棱长：48÷12＝4（cm） 表面积：4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 6．一个正方体的底面积是16平方分米，这个正方体的体积是( )立方分米。 【答案】64 【分析】正方体6个面都是正方形，正方形的面积＝边长×边长，4乘4等于16，所以棱长是4分米，正方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式计算即可。 【详解】4×4＝16（平方分米） 16×4＝64（立方分米） 正方体的体积是64立方分米。 7．计算下面各立体图形的体积。 【答案】0.192；729 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】0.8×0.3×0.8＝0.192（） 9×9×9＝729（） 8．看图列式计算。 从一个图形一角挖去一个长方体，求剩余部分的体积。（单位：cm） 【答案】109cm3 【分析】观察图形可知，剩余部分的体积＝正方体的体积－长方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】5×5×5－4×2×2 ＝125－16 ＝109（cm3） 练习二、长方体和正方体体积的应用 1．一个长方体油箱，长5分米，宽4分米，高3分米。如果每升汽油重0.75千克，这个油箱可以装多少千克汽油？ 【答案】 45千克 【分析】先根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”求出油箱的容积，再根据立方分米等于升换算出汽油的升数。最后根据“总重量＝每升重量×容积”求出汽油的总重量。 【详解】 （立方分米） 立方分米升 （千克） 答：这个油箱可以装千克汽油。 2．一块棱长是6分米的正方体钢坯锻造成横截面积是8平方分米的长方体钢材，锻造成的钢材有多长？ 【答案】 27分米 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积；长方体钢材的体积＝正方体钢坯的体积，根据“长方体钢材的体积＝横截面积×钢材的长”计算长方体钢材的长。 【详解】6×6×6÷8 ＝36×6÷8 ＝216÷8 ＝27（分米） 答：锻造成的钢材有27分米长。 3．一个底面是正方形的长方体玻璃缸，从里面量底面周长36分米，高5分米，里面水深2分米。将一块铁放入玻璃缸中（完全浸没），里面水深4分米，这块铁的体积是多少立方分米？ 【答案】162立方分米 【分析】铁块完全浸没时，它的体积等于上升部分水的体积。底面是正方形，先根据底面周长求出底面边长和底面积，再用底面积乘上升的水深，即可得到铁块体积。 【详解】36÷4＝9（分米） 9×9×（4－2） ＝9×9×2 ＝81×2 ＝162（立方分米） 答：这块铁的体积是162立方分米。 4．某工厂去年生产了一个棱长为8厘米的正方体实心零件，现因组装需要，将这个正方体实心零件熔铸成一个宽为4厘米、高为8厘米的长方体实心零件。这个长方体实心零件的长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据题意，正方体零件和长方体零件的体积不变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体零件的体积，这也是熔铸后长方体的体积。用长方体的体积除以宽与高的积即可。 【详解】 ＝512÷32 （厘米） 答：这个长方体实心零件的长是16厘米。 5．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是10厘米、5厘米、6厘米，它们的体积相比，体积较大的是哪一个？请计算说明。 【答案】正方体；说明见详解 【分析】先根据“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”求出长方体的棱长总和，再根据“正方体的棱长＝棱长之和÷12”求出正方体的棱长，最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”分别求出长方体和正方体的体积并比较大小。 【详解】（10＋5＋6）×4 ＝21×4 ＝84（厘米） 84÷12＝7（厘米） 10×5×6＝300（立方厘米） 7×7×7＝343（立方厘米） 因为343立方厘米＞300立方厘米，所以正方体的体积较大。 答：体积较大的是正方体。 6．快递小哥要将500个棱长为5厘米的魔方发往外地，他用一个箱内长50厘米，宽40厘米，高32厘米的长方体纸箱进行打包。用这个纸箱能装下这500个魔方吗？ 【答案】不能 【分析】根据求一个数里面有几个另一个数，用一个数除以另一个数。分别计算沿纸箱的长、宽、高方向各能摆放多少个魔方（商是小数时用去尾法取整数部分），再将三个方向的数量相乘得到实际能装下的最大数量，最后与500进行比较，小于500不能装下，大于500则能装下。 【详解】沿长摆放的数量： 50÷5＝10（个） 沿宽摆放的数量： 40÷5＝8（个） 沿高摆放的数量： 32÷5＝6.4≈6（个） 最多能装的数量： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（个） 480＜500 答：用这个纸箱不能装下这500个魔方。 7．学校手工社团开展活动，王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块，让同学们尝试将其削成一个最大的正方体，在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块？ 【答案】85立方厘米 【分析】要从长方体中削出一个最大的正方体，正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。题目中已知长方体的长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米，最短棱长为5厘米，因此最大正方体的棱长为5厘米。削掉的塑料块体积等于原长方体体积减去正方体体积。根据长方体体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长进行计算。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：在这个过程中削掉了85立方厘米的塑料块。 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1．一个长7dm，宽6dm，高4dm的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长为2dm的正方体木块。 A．21 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】先求出每条棱长上最多能放的块数，再借助长方体的体积公式进行计算即可解答。 【详解】（个） （个） （个） （个） 所以最多能放个棱长为2dm的正方体木块。 2．把两个棱长为1.5dm的正方体拼成一个长方体。这个长方体的体积是( )dm3，表面积是( )dm2。 【答案】 6.75 22.5 【分析】把两个棱长为1.5dm的正方体拼成一个长方体，那么拼成的长方体的长是（1.5×2）dm，宽和高都是1.5dm；根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求出这个长方体的体积和表面积。 【详解】长方体的长：1.5×2＝3（dm） 长方体的体积： 3×1.5×1.5 ＝4.5×1.5 ＝6.75（dm3） 长方体的表面积： （3×1.5＋3×1.5＋1.5×1.5）×2 ＝（4.5＋4.5＋2.25）×2 ＝11.25×2 ＝22.5（dm2） 3．有10本同样的书，能够恰好叠成一个长为26cm，宽为18cm，高为7cm的长方体，每本书的体积是( )。 【答案】327.6 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值求出长方体的体积，再用长方体的体积除以10即可求出每本书的体积。 【详解】 （） （） 每本书的体积是327.6。 4．用5个棱长为1cm的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 22 5 【分析】用5个棱长为1cm的小正方体拼成的长方体的长是5cm，宽和高都是1cm，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（5×1＋5×1＋1×1）×2 ＝（5＋5＋1）×2 ＝11×2 ＝22（cm2） 5×1×1 ＝5×1 ＝5（cm3） 长方体的表面积是22cm2，体积是5cm3。 5．一根长3米的长方体钢材，沿横截面截成两段后，表面积增加12平方分米，这根长方体钢材的体积是( )立方分米。 【答案】180 【分析】截成两段后，增加了2个底面积，根据底面积×高＝体积计算，注意单位换算：1米＝10分米。 【详解】12÷2＝6（平方分米） 3米＝30分米 6×30＝180（立方分米） 6．把一段长20分米的木料，截下2个小正方体（如下图），这时表面积增加了16平方分米，原来整段木料的体积是( )立方分米。 【答案】80 【分析】截下2个小正方体，表面积增加了4个横截面的面积，用表面积增加的面积除以4求出横截面的面积，再利用长方体的体积＝横截面的面积×长，代入数值计算即可。 【详解】（平方分米） （立方分米） 原来整段木料的体积是80立方分米。 7．把一块长12米的长方体木料锯成完全相同的两个小长方体（如图所示），表面积增加了0.8平方米，这块木料原来的体积是多少立方米？ 【答案】4.8立方米 【分析】把长方体木料锯成完全相同的两个小长方体，增加的表面积等于2个横截面的面积，用增加的表面积除以2求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝横截面的面积×原长方体木料的长解答。 【详解】0.8÷2×12 ＝0.4×12 ＝4.8（立方米） 答：这块木料原来的体积是4.8立方米。 8．把如图的长方体木块平均分成三块后，木块的表面积增加多少平方厘米？每块长方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】木块的表面积增加200平方厘米；每块长方体木块的体积250立方厘米 【分析】观察可知，表面积增加的是4个长是10厘米，宽是5厘米的长方形的面积；每块长方体的长是10厘米，宽是厘米，高是5厘米。根据长方形的面积＝长×宽，，代入数据计算即可。 【详解】10×5×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） （15÷3）×10×5 ＝5×10×5 ＝250（立方厘米） 答：木块的表面积增加200平方厘米，每块长方体木块的体积是250立方厘米。 练习四、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．明明将一块棱长1.2分米的正方体橡皮泥，围成一个横截面积是0.6平方分米的长方体，这个长方体的长是( )分米。 【答案】2.88 【分析】已知正方体橡皮泥的棱长是1.2分米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出橡皮泥的体积； 将橡皮泥又围成一个横截面积是0.6平方分米的长方体，橡皮泥的体积不变，根据长方体的长h＝V÷S，求出这个长方体的长。 【详解】橡皮泥的体积： 1.2×1.2×1.2 ＝1.44×1.2 ＝1.728（立方分米） 长方体的长： 1.728÷0.6＝2.88（分米） 2．有一个工匠将一个棱长3dm的正方体钢铁材料熔铸成了一个长15dm，宽9dm的长方体钢板，且材料没有剩余，则这个长方体钢板的厚是( )dm。 【答案】0.2/ 【分析】正方体钢材熔铸成长方体钢板，体积不变。先根据正方体体积公式（V＝棱长×棱长×棱长）求出正方体体积，再根据长方体体积公式（V＝长×宽×高）求出长方体的高，即钢板的厚度。 【详解】3×3×3＝27（dm3） 27÷15÷9 ＝1.8÷9 ＝0.2（dm） 3．他们在长隆欢乐世界游玩时，看到一位魔术师把一个棱长为30厘米的正方体冰块，放进一个密闭的盒子里，瞬间变成了一个底面积是20平方厘米的长方体冰条，你知道长方体的冰条高多少米吗？ 【答案】13.5米 【分析】先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出冰块的体积，再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，用总体积除以底面积求出长方体的高，最后将求出的厘米单位换算成题目要求的米单位。 【详解】30×30×30＝27000（立方厘米） 27000÷20＝1350（厘米） 1350厘米＝13.5米 答：长方体的冰条高是13.5米。 4．把一个棱长是8厘米的正方体铁块放入一个长32厘米、宽16厘米、水深8厘米的长方体水池中，且水未溢出，水面上升了多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】根据题意：上升部分水的体积等于正方体铁块的体积。先根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长求出铁块的体积，再用长方体水池的长乘宽求出水池的底面积，最后用铁块的体积除以水池的底面积，求出水面上升的高度。 【详解】8×8×8÷（32×16） ＝64×8÷512 ＝512÷512 ＝1（厘米） 答：水面上升了1厘米。 5．一个密封的长方体容器如图①，长8分米、宽2分米、高4分米，里面水深3分米。如果把这个容器的左侧面放在桌上如图②，这时容器里水深多少分米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】6分米 【分析】先根据原来容器的长、宽和水深，利用长方体体积公式：体积＝长×宽×水深，求出水的体积；再利用左侧面的宽和高，求出新的底面积S＝宽×高；最后根据：水深＝水的体积÷新底面积，求出新的水深。 【详解】8×2×3＝48（立方分米）    48÷（4×2） ＝48÷8 ＝6（分米） 答：这时容器里水深6分米。 练习五、长方体、正方体的容积 1．一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.5千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.8 B．18 C．180 D．1800 【答案】D 【分析】长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出油箱的容积，将立方米换算为升（1立方米＝1000立方分米＝1000升）；然后用每升汽油行驶的路程乘油箱容积即可求出这辆卡车的油箱装满油后可行驶的路程。 【详解】0.8×0.6×0.5 ＝0.48×0.5 ＝0.24（立方米） 0.24立方米＝240立方分米＝240升 7.5×240＝1800（千米） 2．为推动厦门全国文明典范城市创建工作持续高效地开展，提升城市园林景观效果，公园的园艺师傅准备用彩色铁板制作一些花盆，有以下4种规格的长方形铁板（单位：dm），从中选取5张做成一个无盖长方体（正方体除外），这个长方体容积最小是（    ）立方分米。（焊接处不计） A．120 B．75 C．72 D．45 【答案】B 【分析】选取5张做成一个无盖长方体（正方体除外），因为长方体体积公式：长×宽×高，所以要让无盖长方体容积最小，其实就是让长宽高越小越好； 图中4种规格的四边形铁板，尺寸包含3dm、5dm、8dm。因为正方体除外，所以长宽高最多有两个相同； 所以我们选取3dm、5dm作为长宽高，因此选择第2种规格的长方形铁板4张和第4种规格的正方形铁板1张，做成一个无盖长方体，做成的无盖长方体长宽高分别为：5dm、5dm、3dm。 【详解】无盖长方体长宽高分别为：5dm、5dm、3dm。 5×5×3＝75（dm3） 3．一个蓄水池长1.1m，宽0.8m，高0.8m，用这个蓄水池最多蓄水( )L；若蓄水池的底部铺上2cm厚的沙子，沙子的体积是( )dm3。 【答案】 704 17.6 【分析】求蓄水池最多蓄水多少升，即求该长方体蓄水池的容积。根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”计算出体积，单位是立方米，再根据容积单位换算关系，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L将单位换算成升。求沙子的体积，沙子铺在底部，形状仍为长方体。长和宽与蓄水池相同，高为沙子的厚度。先将长、宽、高的单位统一换算成分米，再利用体积公式计算。 【详解】1.1×0.8×0.8＝0.704（m3） 0.704m3＝704dm3，704dm3＝704L，所以0.704m3＝704L。 2cm＝0.2dm 1.1m＝11dm 0.8m＝8dm 11×8×0.2＝17.6（dm3） 用这个蓄水池最多蓄水704L；若蓄水池的底部铺上2cm厚的沙子，沙子的体积是17.6dm3。 4．一个长方体水箱，长8dm，宽7dm，高6dm，水深5dm，当把一块棱长为4dm的正方体石块放入水箱后，水箱里的水会溢出吗？如果会溢出，会溢出多少升水？ 【答案】会溢出；溢出8L水 【分析】首先计算正方体石块的体积，根据公式“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算； 再用水箱的长乘宽乘剩余高度计算出水箱内剩余空间的容积，比较石块体积与剩余空间容积的大小；若石块体积大于剩余空间容积，则水会溢出。 石块体积减去水箱剩余空间的容积，即可求出溢出水的体积。 【详解】4×4×4＝16×4＝64dm3 56 dm3 64dm3 8 L 答：水箱里的水会溢出，会溢出8升水。 5．一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果每小时往游泳池里注水200立方米，多少小时可以把游泳池注满？ 【答案】 12.5小时 【分析】要把游泳池注满，所需水的体积等于游泳池的容积。根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，先求出游泳池的容积，再根据“时间＝总体积÷每小时注水体积”，即可求出注满水所需的时间。 【详解】50×25×2 ＝1250×2 ＝2500（立方米） 2500÷200＝12.5（小时） 答：12.5小时可以把游泳池注满。 6．一个汽车的油箱是一个长方体，长是0.8米，宽是0.5米，高是0.3米，如果这辆汽车每行驶100千米耗油7.5升，这箱汽油最多能行驶多少千米？ 【答案】1600千米 【分析】先根据“”求出油箱的容积，再根据“1立方米＝1000立方分米＝1000升”把体积单位转化为容积单位，然后用除法求出油箱的容积里面有几个7.5升，有几个7.5升汽车就可以行驶几个100千米，最后乘100求出这箱汽油最多能行驶的路程。 【详解】0.8×0.5×0.3 ＝0.4×0.3 ＝0.12（立方米） 0.12立方米＝120立方分米＝120升 120÷7.5×100 ＝16×100 ＝1600（千米） 答：这箱汽油最多能行驶1600千米。 7．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 【答案】2500立方厘米，950平方厘米 【分析】四个角各切掉边长5厘米的正方形，所以纸盒的长是35－5×2，宽是30－5×2，高是5厘米，再用长方体的体积公式求出它的容积。 用长方形原面积减去切掉的四个小正方形的面积即可得到纸盒的表面积。 【详解】纸盒的长： 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 纸盒的宽： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 高：5厘米 25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 35×30＝1050（平方厘米） 5×5×4＝100（平方厘米） 1050－100＝950（平方厘米） 答：这个纸盒的容积是2500立方厘米，表面积是950平方厘米。 练习六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．一个长方体容器的底面是正方形，放入1个马铃薯，通过下面信息（    ）就可以求出这个马铃薯的体积。 ①这个马铃薯的表面积。 ②放入前、后水面的高度差。 ③长方体容器的底面周长。 ④马铃薯的质量。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】我们用排水法求不规则马铃薯的体积，马铃薯的体积等于容器内上升部分水的体积，公式为：马铃薯体积＝容器底面积×水面上升的高度，求马铃薯体积，需要知道水面上升的高度和容器的底面积，逐一分析，看给出的信息能不能求出我们需要的条件。 【详解】①马铃薯的表面积与容器的各个量之间没有任何关系，不需要； ②放入前后水面的高度差，已知水面高度差，用水面高度差×容器底面积＝马铃薯体积，需要； ③因为容器底面是正方形，已知周长，周长÷4＝边长，边长×边长＝底面积，通过周长可以求出底面积，需要； ④马铃薯的质量与我们需要知道的条件没有任何关系，不需要。 综上，需要的条件是②③。 2．下面是小雨比较土豆和胡萝卜的体积时做的实验，长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。观察他的实验过程，下面说法正确的是（    ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】上升部分水的体积，就是放入的物体体积。放入土豆水面上升了（10.5－8）厘米，放入胡萝卜，水面上升了（13－10.5）厘米。哪个水面上升的高度大，放入的那个物体的体积就大。 【详解】10.5－8＝2.5（厘米） 13－10.5＝2.5（厘米） 土豆和胡萝卜让水面上升的高度一样，所以它们的体积一样大。 3．小伍用排水法求一个马铃薯的体积，他先在棱长为的正方体水槽中加水，水深，再将马铃薯放入，直至完全淹没，水面上升到8厘米，这个马铃薯的体积是( )。（水槽厚度忽略不计） 【答案】200 【分析】由题可知，马铃薯的体积等于水面上升部分水的体积，马铃薯的体积＝底面积乘上升水的高。 【详解】 （） 4．周星为了得到一块石头的体积，做了下面的实验：在一个长是16厘米，宽是15厘米，高是25厘米的长方体槽中注入一些水，测得水深是15厘米，然后把石块全部浸入水中，此时测得水的高度是18厘米。请你帮周星算一算，这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】720立方厘米 【分析】石头的体积等于水面上升部分的体积，先用放入石块后水的高度减去放入前水的高度求出水面上升的高度，再根据长方体体积＝长×宽×上升高度，求出上升水的体积，也就是石头的体积。 【详解】16×15×（18－15） ＝16×15×3 ＝240×3 ＝720（立方厘米） 答：这块石头的体积是720立方厘米。 5．华华想测量一个土豆的体积，他找来了一个装有水的容器，接着把土豆放进水里（完全浸没），在实验过程中他测量了一些数据。 (1)要求“这个土豆的体积”需要的数据是( )。（填序号） (2)我是这样计算土豆的体积的： 【答案】(1)①③④ (2)432立方厘米 【分析】把土豆完全浸没在水中且从图中可知水没有溢出时，此时土豆的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的底面积等于长方体容器的底面积，上升部分水的高度＝放入土豆后水面高度－放入土豆前的水面高度，且长×宽＝长方体容器的底面积，所以要求这个土豆的体积需要的数据是：容器里面的长、宽，放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，最后再根据：长×宽×（放入土豆后水面高度－放入土豆前的水面高度）＝土豆的体积，计算即可。 【详解】（1）要求“这个土豆的体积”需要的数据是容器里面的长、宽，放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，即①③④。 （2）18×12×（12－10） ＝18×12×2 ＝216×2 ＝432（立方厘米） 答：这个土豆的体积是432立方厘米。 第 2 页 共 24 页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14：长方体和正方体的体积（容积）及应用（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体体积的计算 1 考点二、长方体和正方体体积的应用 2 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 2 考点四、体积的等积变形（长方体、正方体） 3 考点五、长方体、正方体的容积 3 考点六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 4 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体体积的计算 4 题型二、长方体和正方体体积的应用 5 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 5 题型四、体积的等积变形（长方体、正方体） 6 题型五、长方体、正方体的容积 6 题型六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 7 专项训练 7 练习一、长方体和正方体体积的计算 7 练习二、长方体和正方体体积的应用 8 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 10 练习四、体积的等积变形（长方体、正方体） 11 练习五、长方体、正方体的容积 12 练习六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 13 考点梳理 考点一、长方体和正方体体积的计算 1. 长方体的体积公式 (1)基本公式：长方体的体积 = 长 宽 高 字母表示： (2)通用公式：长方体的体积 = 底面积 高 字母表示： （其中 为底面积， 为高） 2. 正方体的体积公式 (1)基本公式：正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长 字母表示： （读作“a的立方”，表示3个a相乘） (2)通用公式：正方体的体积 = 底面积 高 字母表示： 3. 易错点提示 (1) 与 的区别： ，而 。 (2)计算时务必注意单位统一，如果长、宽、高的单位不一致，必须先换算成相同单位再计算。 考点二、长方体和正方体体积的应用 1. 已知体积求未知量 利用逆运算解决实际问题： (1)已知长方体体积 、长 、宽 ，求高 ： 或 (2)已知正方体体积 ，求棱长 ：需思考哪个数的立方等于 （例如 ，则 ，因为 ）。 2. 生活中的应用场景 (1)修建水池/挖坑：计算需要挖出土方的体积，即求长方体体积。 (2)铺设路面/铺沙：已知铺路的长、宽和厚度（高），求所需沙子或混凝土的体积。 (3)集装箱装载：计算车厢或集装箱内部能容纳多少货物，通常忽略壁厚，按内部尺寸计算。 3. 表面积与体积的区别 (1)意义不同：表面积是物体表面的总面积；体积是物体所占空间的大小。 (2)计算方法不同：表面积涉及长、宽、高的两两组合；体积涉及长、宽、高的连乘。 (3)计量单位不同：表面积用面积单位（ ）；体积用体积单位（ ）。 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1. 切割问题 (1)体积变化：把一个长方体或正方体切成若干个小块，总体积不变。所有小块的体积之和等于原物体的体积。 (2)表面积变化：每切一刀，会增加 2个 切面的面积。 ①　平行于某个面切，增加的面积 = 该面的面积。 ②　切的刀数越多，增加的表面积越大。 2. 拼接问题 (1)体积变化：把几个小长方体或正方体拼成一个大长方体，总体积不变。大物体的体积等于所有小物体体积之和。 (2)表面积变化：每两个面拼接在一起，就会减少 2个 接触面的面积。 ①　为了使拼成后的长方体表面积最小，应将最大的面重合拼接。 ②　为了使拼成后的长方体表面积最大，应将最小的面重合拼接。 3. 核心结论 (1)无论怎么切、怎么拼，只要没有材料损耗或添加，体积守恒。 (2)解题关键：抓住“体积不变”这一核心，通过体积建立等量关系。 考点四、体积的等积变形（长方体、正方体） 1. 概念理解 (1)等积变形是指形状改变了，但物体所占空间的大小（体积）保持不变。 (2)常见场景：橡皮泥捏形、铁块熔铸、水倒入不同形状的容器。 2. 解题思路 (1)找不变量：确定变形前后的体积是相等的。 (2)列方程或算式： ①　 ②　即： （针对柱体变形） (3)求解未知量：根据已知条件求出新的长、宽、高或底面积。 3. 注意事项 (1)如果是熔铸问题，通常假设没有材料损耗。 (2)如果是液体流动问题，要注意容器的内壁尺寸（容积）而非外壁尺寸。 考点五、长方体、正方体的容积 1. 容积的概念 (1)定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 (2)区别： ①　体积是从物体外部测量长、宽、高。 ②　容积是从物体内部测量长、宽、高。 ③　对于有厚度的容器，体积 > 容积。 2. 容积单位 (1)专用单位：升 ( )、毫升 ( )。 (2)适用对象：主要用于计量液体（如水、油、药水）或松散物体（如粮食）。 (3)单位换算： ①　 ②　 （1升 = 1立方分米） ③　 （1毫升 = 1立方厘米） 3. 容积的计算方法 (1)计算方法与体积相同，但数据必须使用内部尺寸。 (2)公式： ①　长方体容积 = 内长 内宽 内高 ②　正方体容积 = 内棱长 内棱长 内棱长 考点六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1. 排水法（浸没法） 适用于完全浸没在水中且不吸水、不溶于水的不规则物体（如石头、铁块）。 (1)原理：物体浸没后，水面上升部分的体积 = 物体的体积。 (2)计算公式： ①　 ②　 ③　或者： 2. 溢水法 适用于容器已装满水，放入物体后水溢出的情况。 (1)原理：溢出水的体积 = 物体的体积。 (2)操作：收集溢出的水，测量其体积（用量筒或称重后换算）。 3. 注意事项 (1)完全浸没：物体必须全部没入水中，不能露出水面。 (2)单位统一：测量水面高度变化时通常用厘米( )，底面积用平方厘米( )，得出的体积单位是立方厘米( )，必要时需转换为毫升( )或升( )。 (3)特殊情况：如果物体漂浮，需用细针将其压入水中（针的体积忽略不计或单独扣除）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体体积的计算 【例题1】求体积。 【练习1】求下面图形的体积。（单位：cm） 题型二、长方体和正方体体积的应用 【例题2】朝阳小学操场上有一个沙坑长2.5米，宽1.5米，深0.6米，填满这个沙坑，需要多少立方米？ 【练习2】把一个棱长为6厘米的正方体铁块锻造成一个长9厘米，宽6厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例题3】一个正方体的棱长是4cm，用2个这样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。 【练习3】一根长24厘米的长方体木料，把它锯成4段后，表面积增加30平方厘米，这根木料原来的体积是( )立方厘米。 题型四、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题4】把一个长是12cm，宽是6cm，高是3cm的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，这个正方体铁块的体积是( )cm3。 【练习4】一个装满水的长方体容器，长、宽、高分别是30厘米、16厘米、10厘米，把里面的水倒入一个棱长是40厘米的正方体容器里，水深多少厘米？（容器厚度忽略不计） 题型五、长方体、正方体的容积 【例题5】一盒牛奶的包装盒上写着“净含量：300mL”，小婷实际测量了外包装盒，长是6厘米，宽是5厘米，高是10厘米，根据数据，你认为包装盒标注的净含量真实吗？( )（填“真实”或“虚假”）。说一说理由：( )。 【练习5】腊八节是我国的传统节日。腊八节这天，妈妈用一个从里面量长20厘米、宽15厘米、高18厘米的无盖长方体玻璃容器泡腊八蒜，里面盛有12厘米高的醋。 (1)玻璃容器中有多少毫升的醋？ (2)若往容器里放入体积为2.1立方分米的腊八蒜（腊八蒜均浸没在醋中），容器里的醋会不会溢出？ 题型六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题6】在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 【练习6】一个长方体水槽，从里面量长20分米、宽10分米、水深6分米。放入一个铁块后（完全浸没），水面上升到8分米。这个铁块的体积是多少立方分米？ 专项训练 练习一、长方体和正方体体积的计算 1．一个正方体的棱长是6厘米，它的体积和表面积（    ）。 A．体积大 B．表面积大 C．相等 D．无法比较 2．一个长方体的底面积是，如果它的高增加6cm，那么体积增加（    ）。 A． B． C． D． 3．一个长方体的长是5dm，宽是3dm，高是4dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 4．一个长方体的体积是90立方分米，底面积是15平方分米，它的高是( )分米。 5．一个正方体的棱长总和是48cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 6．一个正方体的底面积是16平方分米，这个正方体的体积是( )立方分米。 7．计算下面各立体图形的体积。 8．看图列式计算。 从一个图形一角挖去一个长方体，求剩余部分的体积。（单位：cm） 练习二、长方体和正方体体积的应用 1．一个长方体油箱，长5分米，宽4分米，高3分米。如果每升汽油重0.75千克，这个油箱可以装多少千克汽油？ 2．一块棱长是6分米的正方体钢坯锻造成横截面积是8平方分米的长方体钢材，锻造成的钢材有多长？ 3．一个底面是正方形的长方体玻璃缸，从里面量底面周长36分米，高5分米，里面水深2分米。将一块铁放入玻璃缸中（完全浸没），里面水深4分米，这块铁的体积是多少立方分米？ 4．某工厂去年生产了一个棱长为8厘米的正方体实心零件，现因组装需要，将这个正方体实心零件熔铸成一个宽为4厘米、高为8厘米的长方体实心零件。这个长方体实心零件的长是多少厘米？ 5．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是10厘米、5厘米、6厘米，它们的体积相比，体积较大的是哪一个？请计算说明。 6．快递小哥要将500个棱长为5厘米的魔方发往外地，他用一个箱内长50厘米，宽40厘米，高32厘米的长方体纸箱进行打包。用这个纸箱能装下这500个魔方吗？ 7．学校手工社团开展活动，王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块，让同学们尝试将其削成一个最大的正方体，在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块？ 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1．一个长7dm，宽6dm，高4dm的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长为2dm的正方体木块。 A．21 B．16 C．18 D．20 2．把两个棱长为1.5dm的正方体拼成一个长方体。这个长方体的体积是( )dm3，表面积是( )dm2。 3．有10本同样的书，能够恰好叠成一个长为26cm，宽为18cm，高为7cm的长方体，每本书的体积是( )。 4．用5个棱长为1cm的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 5．一根长3米的长方体钢材，沿横截面截成两段后，表面积增加12平方分米，这根长方体钢材的体积是( )立方分米。 6．把一段长20分米的木料，截下2个小正方体（如下图），这时表面积增加了16平方分米，原来整段木料的体积是( )立方分米。 7．把一块长12米的长方体木料锯成完全相同的两个小长方体（如图所示），表面积增加了0.8平方米，这块木料原来的体积是多少立方米？ 8．把如图的长方体木块平均分成三块后，木块的表面积增加多少平方厘米？每块长方体木块的体积是多少立方厘米？ 练习四、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．明明将一块棱长1.2分米的正方体橡皮泥，围成一个横截面积是0.6平方分米的长方体，这个长方体的长是( )分米。 2．有一个工匠将一个棱长3dm的正方体钢铁材料熔铸成了一个长15dm，宽9dm的长方体钢板，且材料没有剩余，则这个长方体钢板的厚是( )dm。 3．他们在长隆欢乐世界游玩时，看到一位魔术师把一个棱长为30厘米的正方体冰块，放进一个密闭的盒子里，瞬间变成了一个底面积是20平方厘米的长方体冰条，你知道长方体的冰条高多少米吗？ 4．把一个棱长是8厘米的正方体铁块放入一个长32厘米、宽16厘米、水深8厘米的长方体水池中，且水未溢出，水面上升了多少厘米？ 5．一个密封的长方体容器如图①，长8分米、宽2分米、高4分米，里面水深3分米。如果把这个容器的左侧面放在桌上如图②，这时容器里水深多少分米？（容器的厚度忽略不计） 练习五、长方体、正方体的容积 1．一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.5千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.8 B．18 C．180 D．1800 2．为推动厦门全国文明典范城市创建工作持续高效地开展，提升城市园林景观效果，公园的园艺师傅准备用彩色铁板制作一些花盆，有以下4种规格的长方形铁板（单位：dm），从中选取5张做成一个无盖长方体（正方体除外），这个长方体容积最小是（    ）立方分米。（焊接处不计） A．120 B．75 C．72 D．45 3．一个蓄水池长1.1m，宽0.8m，高0.8m，用这个蓄水池最多蓄水( )L；若蓄水池的底部铺上2cm厚的沙子，沙子的体积是( )dm3。 4．一个长方体水箱，长8dm，宽7dm，高6dm，水深5dm，当把一块棱长为4dm的正方体石块放入水箱后，水箱里的水会溢出吗？如果会溢出，会溢出多少升水？ 5．一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果每小时往游泳池里注水200立方米，多少小时可以把游泳池注满？ 6．一个汽车的油箱是一个长方体，长是0.8米，宽是0.5米，高是0.3米，如果这辆汽车每行驶100千米耗油7.5升，这箱汽油最多能行驶多少千米？ 7．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 练习六、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．一个长方体容器的底面是正方形，放入1个马铃薯，通过下面信息（    ）就可以求出这个马铃薯的体积。 ①这个马铃薯的表面积。 ②放入前、后水面的高度差。 ③长方体容器的底面周长。 ④马铃薯的质量。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．下面是小雨比较土豆和胡萝卜的体积时做的实验，长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。观察他的实验过程，下面说法正确的是（    ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．一样大 D．无法确定 3．小伍用排水法求一个马铃薯的体积，他先在棱长为的正方体水槽中加水，水深，再将马铃薯放入，直至完全淹没，水面上升到8厘米，这个马铃薯的体积是( )。（水槽厚度忽略不计） 4．周星为了得到一块石头的体积，做了下面的实验：在一个长是16厘米，宽是15厘米，高是25厘米的长方体槽中注入一些水，测得水深是15厘米，然后把石块全部浸入水中，此时测得水的高度是18厘米。请你帮周星算一算，这块石头的体积是多少立方厘米？ 5．华华想测量一个土豆的体积，他找来了一个装有水的容器，接着把土豆放进水里（完全浸没），在实验过程中他测量了一些数据。 (1)要求“这个土豆的体积”需要的数据是( )。（填序号） (2)我是这样计算土豆的体积的： 第 2 页 共 24 页 第 1 页 共 24 页 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