专题12：长方体和正方体的表面积及应用（期末专项训练）五年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以“面特征-公式推导-场景应用-切拼规律”为逻辑主线，融合画图辅助、单位统一等实用技巧，系统构建长方体和正方体表面积的计算与应用体系，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|3考点（计算/应用/切拼）|面特征分类、公式推导（整体/分步）、场景建模（5/4面）、切拼面增减规律|从面的构成特征到公式生成，延伸至生活场景与切拼变式，形成完整认知链| |例题讲解|3题型（基础计算/实际应用/切拼）|公式直接应用、画图标面法、切拼面分析技巧|对应考点设置典型例题，覆盖基础计算与易错场景（如通风管、粉刷扣除）| |专项训练|3练习（计算6题/应用10题/切拼8题）|计算强化（单位换算）、应用迁移（泳池/礼盒）、规律应用（多刀切割/多体拼接）|分层训练巩固公式应用与场景转化，强化空间想象与逻辑推理能力|

专题12：长方体和正方体的表面积及应用（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体表面积的计算 1 考点二、长方体和正方体表面积的应用 2 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 3 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体表面积的计算 4 题型二、长方体和正方体表面积的应用 6 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 7 专项训练 8 练习一、长方体和正方体表面积的计算 8 练习二、长方体和正方体表面积的应用 11 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 16 考点梳理 考点一、长方体和正方体表面积的计算 1. 长方体表面积的计算 (1)面的特征回顾： ①　长方体有3组相对的面，每组2个面完全相同。 ②　上、下面：长 宽 ③　前、后面：长 高 ④　左、右面：宽 高 (2)计算公式： ①　方法一（分别计算再求和）： ②　方法二（先算一组再乘2，推荐）： 字母公式：若长为 ，宽为 ，高为 ，则 。 3. 正方体表面积的计算 (1)面的特征回顾： ①　正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形。 ②　每个面的面积 = 。 (2)计算公式： ①　字母公式：若棱长为 ，则 。 ②　注意： 读作“a的平方”，表示两个 相乘，不要写成 （表示两个 相加）。 4. 计算前的关键步骤 (1)统一单位：检查长、宽、高的单位是否一致。如果不一致（如分米和厘米），必须先换算成同一单位。 (2)明确数据：准确识别题目中的长、宽、高对应哪条棱，避免张冠李戴。 考点二、长方体和正方体表面积的应用 在实际生活中，很多物体并不是完整的6个面，需要根据具体情况计算部分面的面积。 1. 常见生活场景模型 场景 涉及的面 计算思路 无盖鱼缸/水槽 5个面 少一个“上面”。 粉刷教室/房间 5个面 通常不刷地面，且要扣除门窗黑板面积。 通风管/烟囱 4个面 没有上、下两个底面，只有侧面。 或者： 礼盒包装纸 6个面 通常按完整表面积计算，但需注意接头处可能需要额外预留纸张（视题目要求而定）。 游泳池贴瓷砖 5个面 池底 + 四周池壁。 2. 解题策略与技巧 (1)“画图辅助”法： ①　遇到复杂的应用题，先在草稿纸上画出立体图形，标出长、宽、高。 ②　用阴影涂出需要计算的面，直观地看出是求几个面，分别是哪几个面。 (2)“去头去尾”法： ①　对于通风管等缺少底面的物体，可以直接用 侧面积公式： 。 ②　长方体侧面积 。 ③　正方体侧面积 。 (3)单位换算陷阱： ①　注意题目问的是“多少平方分米”还是“多少平方米”。 ②　进率记忆： 3. 易错点警示 (1)漏减门窗：粉刷墙壁时，务必记得减去门窗和黑板的面积，因为它们不需要粉刷。 (2)混淆概念：区分“占地面积”（通常指底面积 ）和“表面积”（所有面的总和）。 (3)近似值处理：在实际用料问题中（如做铁皮箱、买包装纸），如果计算结果有小数，通常采用“进一法”保留整数，因为材料宁多勿少。 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 当我们将立体图形切开或拼接时，表面积会发生变化。核心规律是：面的增减导致表面积的变化。 1. 切割问题（越切越大） (1)基本原理：把一个立体图形切成两部分，会多出 2个切面。 (2)表面积变化： (3)常见切法： ①　平行于底面切（横切）： 增加的两个面是 长 宽 的面。 增加面积 。 ②　平行于侧面切（纵切-前后）： 增加的两个面是 长 高 的面。 增加面积 。 ③　平行于端面切（纵切-左右）： 增加的两个面是 宽 高 的面。 增加面积 。 (4)切多刀的情况： ①　切1刀，增加2个面； ②　切2刀，增加4个面； ③　切 刀，增加 个面。 ④　注意：如果是沿不同方向切，需分别计算每个方向增加的面积。 2. 拼接问题（越拼越小） (1)基本原理：把两个立体图形拼在一起，会有 2个面重合，这两个面被隐藏在内部，不再属于表面积。 (2)表面积变化： (3)常见拼法： ①　最大面重合： 减少的面积最多，拼成后的新长方体表面积最小。 适合想要节省包装材料的情况。 ②　最小面重合：减少的面积最少，拼成后的新长方体表面积最大。 ③　一般面重合：减少的面积居中。 (4)多个正方体拼接： ①　2个正方体拼成长方体：减少 个面。 ②　3个正方体排成一排拼成长方体：有2个接触处，共减少 个面。 ③　 个正方体排成一排：减少 个面。 例题讲解 题型一、长方体和正方体表面积的计算 【例题1】计算下列各图形的表面积。 【答案】376cm²；294 cm² 【分析】长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，将长方体长10cm、宽8cm、高6cm，正方体棱长7cm，代入数值求解即可。 【详解】长方体： （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（cm²） 正方体： 7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm²） 【练习1】计算下面几何体的表面积。 【答案】112 【分析】据图，将正方体的一个面补充到长方体和正方体的连接处，这样长方体的表面积就可以用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算。则正方体按4个面计算表面积，表面积用棱长×棱长×4进行计算，最后将长方体表面积和正方体表面积相加。 【详解】 这个几何体的表面积是112。 题型二、长方体和正方体表面积的应用 【例题2】园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 【答案】 96平方分米 【分析】先根据正方体棱长总和（48dm）求出棱长：棱长之和除以12，再利用棱长计算正方体表面积，正方体表面积，即为所需彩纸面积。据此解答。 【详解】（分米） （平方分米） 答：至少要用96平方分米的彩纸。 【练习2】学校装修一间长7.5米、宽5.5米、高2.8米的教室，教室四面墙的下部刷了高1.2米的浅绿色油漆（开门处1平方米不刷）。如果刷1平方米的浅绿色油漆的价格是25元，那么一共要花多少元？ 【答案】755元 【分析】根据题意可知，刷油漆的面积就是一个长是7.5米，宽是5.5米，高是1.2米的长方体的侧面积，减去开门处的面积；刷油漆面积＝（长×高＋宽×高）×2－1，据此解答。 【详解】（7.5×1.2＋5.5×1.2）×2－1 ＝（9＋6.6）×2－1 ＝31.2－1 ＝30.2（平方米） 30.2×25＝755（元） 答：一共要花755元。 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例题3】用2个棱长5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（    ）平方分米。 A．150 B．200 C．250 D．125 【答案】C 【分析】计算拼成的长方体的表面积，先明确两个正方体拼成长方体后表面积的变化情况：两个正方体拼合时会有两个面重合，长方体的表面积等于两个正方体的表面积之和减去重合的两个面的面积。 正方体表面积公式S＝6a2计算单个正方体的表面积，再计算两个正方体的表面积之和。 【详解】 【点睛】 【练习3】一个正方体木块的表面积是144平方厘米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是多少？ 【答案】96平方厘米 【分析】正方体有6个完全相同的面，据此先求出一个面的面积。把正方体分成两个完全相同的长方体，会增加2个切面，这两个切面的面积等于正方体2个面的面积。因此，两个长方体的总表面积相当于正方体8个面的面积，因为两个长方体完全相同，所以每个长方体的表面积相当于正方体4个面的面积。据此列式计算。 【详解】144÷6×4 ＝24×4 ＝96（平方厘米） 答：每个长方体的表面积是96平方厘米。 专项训练 练习一、长方体和正方体表面积的计算 1．一个长方体的上面和右面如图所示这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．120 B．156 C．132 D．148 【答案】D 【分析】根据长方体的上面是由长和宽组成的面，则长是6厘米，宽是4厘米；长方体的右面是由宽和高组成的面，则宽是4厘米，高是5厘米。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算得出答案。 【详解】根据题意可得：长方体的长、宽、高分别为6厘米、4厘米、5厘米，则表面积为： （6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 故答案为：D 2．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大6倍。( ) 【答案】× 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，当正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大3×3＝9倍，据此解答。 【详解】正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大：3×3＝9倍，原题说法错误。 故答案为：× 3．一个长方体长8dm，宽是长的一半，高是3dm，这个长方体的棱长总和是( )dm，表面积是( )dm2。 【答案】 60 136 【分析】用8除以2算出长方体的宽，再根据公式解决。长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】8÷2＝4（dm） 棱长总和：（8＋4＋3）×4 ＝15×4 ＝60（dm） 表面积：（8×4＋8×3＋4×3）×2 ＝（32＋24＋12）×2 ＝68×2 ＝136（dm2） 4．用72m的铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )。 【答案】2160000 【分析】根据1m＝100cm，换算单位，铁丝的长度＝正方体棱长总和，用“棱长总和÷12”求出棱长，再用正方体表面积公式计算。 【详解】72m＝7200cm 7200÷12＝600（cm） 600×600×6 ＝360000×6 ＝2160000（） 5．求下面各图形的表面积（单位：分米）。 【答案】98平方分米；150平方分米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算求解。 【详解】长方体的表面积： （6×4＋6×2.5＋4×2.5）×2 ＝（24＋15＋10）×2 ＝49×2 ＝98（平方分米） 正方体的表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 6．计算下面图形的表面积。 【答案】（1）7200cm2；（2）290cm2 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 （2）正方体与长方体有重合的面，如下图，把长方体的右面如箭头所示向左平移，补给正方体的右面，这样正方体的表面积是完整的，长方体的表面积只需计算前后面和上下面； 那么图形的表面积＝正方体的表面积＋长方体4个面的面积之和，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体4个面的面积之和＝长×高×2＋长×宽×2，代入数据计算求解。 【详解】（1）（40×12＋40×60＋12×60）×2 ＝（480＋2400＋720）×2 ＝3600×2 ＝7200（cm2） （2）5×5×6＋10×4×2＋10×3×2 ＝150＋80＋60 ＝290（cm2） 7．求下面各图形的表面积。（单位：dm） 【答案】96dm2；376dm2 【分析】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6； （2）把上层长方体上底面补在重叠下底面处，将下层长方体的表面积补全，因此组合图形的表面积＝下层长方体的表面积＋上层长方体4个侧面的面积（4个4×6的长方形面积）；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 据此代入数据计算。 【详解】（1）4×4×6 ＝16×6 ＝96（dm2） （2）（10×10＋10×2＋10×2）×2＋4×6×4 ＝（100＋20＋20）×2＋24×4 ＝140×2＋96 ＝280＋96 ＝376（dm2） 8．聪聪用一根铁丝围成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，然后又改围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是多少？ 【答案】216平方厘米 【分析】铁丝围成长方体框架后又改围成正方体框架，说明铁丝的长度不变，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体棱长总和公式求出铁丝长度，再除以12求出正方体的棱长，最后利用正方体表面积公式计算即可。 【详解】（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 答：这个正方体的表面积是216平方厘米。 练习二、长方体和正方体表面积的应用 1．一个长方体游泳池长18m、宽100dm、高3m，这个游泳池的占地面积是( )m2。 【答案】180 【分析】根据1m＝10dm，把100dm换算成10m，再根据长方体的占地面积＝长×宽计算。 【详解】100dm＝10m 18×10＝180（m2） 2．制作一个棱长为30cm的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要( )cm2的玻璃。 【答案】4500 【分析】根据正方体的特征可知，正方体的六个面是完全一样的正方形。求制作正方体无盖玻璃鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求正方体五个面的面积之和（少上面），根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算求解。 【详解】30×30×5 ＝900×5 ＝4500（cm2） 3．做一个长方体饼干盒，长20厘米，宽15厘米，高30厘米。在它的四周贴上一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方厘米。 【答案】2100 【分析】围着它的四周贴一圈商标纸就是贴这个长方体四个面，也就是左右和前后四个面。则这张商标纸的面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。 【详解】 （平方厘米） 至少需要商标纸2100平方厘米。 4．每年的4月1日为“国际爱鸟日”，护鸟小组制作了一个正方体形状的鸟笼，棱长总和是60厘米，那么这个鸟笼的占地面积是( )平方厘米；表面积是( )平方厘米。 【答案】 25 150 【分析】正方体的棱长总和÷12＝正方体的棱长。据此算出这个鸟笼的棱长。 鸟笼的占地面积是一个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，代入计算。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入计算即可。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5＝25（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 所以，这个鸟笼的占地面积是25平方厘米，表面积是150平方厘米。 5．王师傅要做10节长1.1米，宽和高都是1.2分米的通风管（接头处忽略不计），至少需要多少平方米铁皮？ 【答案】5.28平方米 【分析】先统一单位，将分米换算成米，通风管没有左右两个面，用长×宽×2＋长×高×2，求出一节通风管的表面积，再乘通风管节数即可。 【详解】1.2分米＝0.12米 （1.1×0.12×2＋1.1×0.12×2）×10 ＝1.1×0.12×4×10 ＝0.528×10 ＝5.28（平方米） 答：至少需要5.28平方米铁皮。 6．冬天到了，王爷爷要在长8米，宽6米，高2米的长方体育苗棚的顶部和四周覆盖一层塑料薄膜，每平方米塑料薄膜需要2元。王爷爷购买塑料薄膜至少需要多少钱？ 【答案】208元 【分析】塑料薄膜只覆盖长方体育苗棚的顶部和四周，不覆盖底面，所以只需计算长方体的1个顶面与4个侧面的面积之和，再乘每平方米的价格即可。 【详解】8×6＋（8×2＋6×2）×2 ＝8×6＋（16＋12）×2 ＝8×6＋28×2 ＝48＋56 ＝104（平方米） 104×2＝208（元） 答：王爷爷购买塑料薄膜至少需要208元。 7．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 【答案】625平方米 【分析】根据题意，安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积＝长×宽，前后两个面的面积＝长×高×2，左右两个面的面积＝宽×高×2。 【详解】20×0.5＋20×15×2＋0.5×15×2 ＝10＋600＋15 ＝625（平方米） 答：安装散热装置的面积是625平方米。 8．建一个长50米，宽40米，深2米的游泳池。如果在游泳池的四壁和底部抹水泥，每平方米需水泥8千克，一共需要多少水泥？ 【答案】18880千克 【分析】游泳池没有盖，抹水泥的地方只有底部和四壁，因此只需要计算5个面的面积，即1个底面和4个侧面。先计算需要抹水泥的5个面的总面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再用总面积乘每平方米需要水泥的质量，即可求出需要水泥的总质量。 【详解】抹水泥的总面积： 50×40＋（50×2＋40×2）×2 ＝2000＋（100＋80）×2 ＝2000＋180×2 ＝2000＋360 ＝2360（平方米） 需要水泥的总质量： 2360×8＝18880（千克） 答：一共需要18880千克水泥。 9．数学课上，王老师带来一个玩具。这个玩具是由一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下面的中心位置各挖去一个棱长为1厘米的小正方体后做成的（如图）。这个玩具的表面积是多少？ 【答案】174平方厘米 【分析】每个面挖去小正方体后，原正方体每个面的面积减少1个小正方形面的面积，同时会增加5个小正方形面的面积，相当于增加4个小正方形面的面积。一共挖去6个小正方体，一共增加4×6＝24个小正方形面的面积，用原正方体的表面积（正方体的表面积＝棱长×棱长×6）加上24个小正方形的面积，即可得到这个玩具的表面积。 【详解】（5－1）×6 ＝4×6 ＝24（个） 1×1×24 ＝1×24 ＝24（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 150＋24＝174（平方厘米） 答：这个玩具的表面积是174平方厘米。 10．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 【答案】（1）14个 （2）21个；21平方分米 【分析】（1）数小正方体的个数可分为上、中、下三层，分别数出每层个数，上层有1个，中间层有5个，下层有8个，再相加。 （2）这个几何体露在外面的部分包括从上面、前面和右面这三个方向看到的图形，从上面可以看到8个小正方形，从前面可以看到7个小正方形，从右面可以看到6个小正方形，再相加。已知棱长为1分米，先根据棱长×棱长求出一个面的面积，再乘总数量，即可求出露在外面的总面积。据此解答。 【详解】（1）1＋5＋8 ＝6＋8 ＝14（个） 答：墙角一共堆放了14个小正方体。 （2）8＋7＋6 ＝15＋6 ＝21（个） 1×1×21 ＝1×21 ＝21（平方分米） 答：这些小正方体露在外面的小正方形一共有21个，露在外面的总面积是21平方分米。 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 1．一个长方体按下图所示的三种分法分割成两个小长方体，表面积分别增加了24平方厘米、48平方厘米、16平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．72 B．64 C．44 D．88 【答案】D 【分析】 看图可知，这种分法增加了两个宽×高的面，即增加的表面积＝宽×高×2；这种分法增加了两个长×高的面，即增加的表面积＝长×高×2；这种分法增加了两个长×宽的面，即增加的表面积＝长×宽×2；因为长方体的表面积＝宽×高×2＋长×高×2＋长×宽×2，所以，原来长方体的表面积就等于这三种分法增加的表面积之和。 【详解】24＋48＋16 ＝72＋16 ＝88（平方厘米） 原来长方体的表面积是88平方厘米。 2．一根长是2米，宽是0.4米，厚3分米的长方体木料，把它截成3段，表面积最少增加（    ）平方分米。 A．12 B．4.8 C．48 D．320 【答案】C 【分析】锯成3段，需要锯2次，每锯1次就增加两个面，所以一共增加4个面；要使增加的表面积最少，那么这个截面要平行于最小面切割，由此即可解答，注意单位统一。 【详解】2米＝20分米；0.4米＝4分米 20×4＝80（平方分米） 20×3＝60（平方分米） 4×3＝12（平方分米） 80＞60＞12，最小的截面面积是12平方分米。 12×4＝48（平方分米） 表面积最少增加48平方分米。 3．一个横截面是正方形的长方体，其表面积是250平方厘米，它刚好分成两个同样大小的正方体，这两个正方体的表面积都是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】一个长方体刚好能分成两个同样大小的正方体，说明这个长方体是由两个完全相同的正方体拼接而成的。且有两个相对的面是正方形。一个正方体有6个面，两个独立的正方体一共有12个面。当它们拼接成一个长方体时，中间重合了两个面，这两个面在长方体内部，不属于表面积。因此，这个长方体的表面积相当于两个正方体表面积之和减去2个面的面积，也就是相当于10个正方体面的面积。 即可以先根据长方体的表面积求出正方体一个面的面积，再根据正方体表面积公式（一个面的面积×6）求出其中一个正方体的表面积。 【详解】250÷10＝25（平方厘米） 25×6＝150（平方厘米） 则这两个正方体的表面积都是150平方厘米。 4．一根长80厘米、宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少( )平方厘米。 【答案】576 【分析】锯下的最大正方体棱长是12厘米，锯完后，钢材两端的正方形截面面积不变，减少的部分其实是正方体4个侧面的面积，也就是4个边长为12厘米的正方形。 【详解】12×12×4 ＝144×4 ＝576（平方厘米） 5．一个正方体与一个长方体拼成了一个新长方体，这个新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了100 cm2，这个正方体的表面积是( ) cm2。 【答案】150 【分析】一个正方体与一个长方体拼成了一个新长方体，则可推断长方体有一组相对的面是正方形，且与正方体的所有面是完全一样的正方形。拼组后的新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了正方体的4个面的面积，则正方体的一个面的面积是100 cm2除以4，再用正方体的一个面的面积乘6，就是原正方体的表面积。 【详解】100÷4×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 6．把两个长18厘米、宽12厘米、高2厘米的长方体礼盒用纸打包到一起，最少需要多少包装纸？（忽略折叠的包装纸损耗） 【答案】672平方厘米 【分析】要把两个长方体礼盒打包到一起，且使用的包装纸最少，即拼成的新长方体的表面积最小。将两个长方体最大的面重叠在一起，拼成的长方体面积最小。已知原来长方体的长18厘米、宽12厘米、高2厘米则新的长方体的长、宽、高分别是18厘米、12厘米、2＋2＝4（厘米），根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求得最少需要的包装纸面积。 【详解】2＋2＝4（厘米） 答：最少需要 672平方厘米包装纸。 7．把一个表面积是516平方厘米的正方体切割成8个相同的小正方体（无剩余，损耗不计），切割后的8个小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积增加多少？ 【答案】 516平方厘米 【分析】把一个大正方体切割成 8 个相同的小正方体（无剩余、损耗不计），需要沿长、宽、高方向各切割 1 次，一共切割 3 次。每切割 1 次，就会增加 2 个原大正方体的面的面积，切割 3 次一共增加 6 个原大正方体的面。原大正方体的表面积就是 6 个相同面的面积之和，因此增加的表面积数值等于原大正方体的表面积。 【详解】原正方体一个面的面积： （平方厘米） 增加的面数： 切割成 8 小正方体需切 3 刀，每刀增加 2 个面，共增加 （个） 增加的表面积： （平方厘米） 答：切割后的 8 个小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积增加 516平方厘米。 8．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 【答案】432平方厘米 【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据“”求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。 【详解】（1＋2）×2 ＝3×2 ＝6（个） 6×6×6＋6×6×6 ＝216＋216 ＝432（平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12：长方体和正方体的表面积及应用（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体表面积的计算 1 考点二、长方体和正方体表面积的应用 2 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 3 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体表面积的计算 4 题型二、长方体和正方体表面积的应用 5 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 5 专项训练 6 练习一、长方体和正方体表面积的计算 6 练习二、长方体和正方体表面积的应用 7 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 9 考点梳理 考点一、长方体和正方体表面积的计算 1. 长方体表面积的计算 (1)面的特征回顾： ①　长方体有3组相对的面，每组2个面完全相同。 ②　上、下面：长 宽 ③　前、后面：长 高 ④　左、右面：宽 高 (2)计算公式： ①　方法一（分别计算再求和）： ②　方法二（先算一组再乘2，推荐）： 字母公式：若长为 ，宽为 ，高为 ，则 。 3. 正方体表面积的计算 (1)面的特征回顾： ①　正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形。 ②　每个面的面积 = 。 (2)计算公式： ①　字母公式：若棱长为 ，则 。 ②　注意： 读作“a的平方”，表示两个 相乘，不要写成 （表示两个 相加）。 4. 计算前的关键步骤 (1)统一单位：检查长、宽、高的单位是否一致。如果不一致（如分米和厘米），必须先换算成同一单位。 (2)明确数据：准确识别题目中的长、宽、高对应哪条棱，避免张冠李戴。 考点二、长方体和正方体表面积的应用 在实际生活中，很多物体并不是完整的6个面，需要根据具体情况计算部分面的面积。 1. 常见生活场景模型 场景 涉及的面 计算思路 无盖鱼缸/水槽 5个面 少一个“上面”。 粉刷教室/房间 5个面 通常不刷地面，且要扣除门窗黑板面积。 通风管/烟囱 4个面 没有上、下两个底面，只有侧面。 或者： 礼盒包装纸 6个面 通常按完整表面积计算，但需注意接头处可能需要额外预留纸张（视题目要求而定）。 游泳池贴瓷砖 5个面 池底 + 四周池壁。 2. 解题策略与技巧 (1)“画图辅助”法： ①　遇到复杂的应用题，先在草稿纸上画出立体图形，标出长、宽、高。 ②　用阴影涂出需要计算的面，直观地看出是求几个面，分别是哪几个面。 (2)“去头去尾”法： ①　对于通风管等缺少底面的物体，可以直接用 侧面积公式： 。 ②　长方体侧面积 。 ③　正方体侧面积 。 (3)单位换算陷阱： ①　注意题目问的是“多少平方分米”还是“多少平方米”。 ②　进率记忆： 3. 易错点警示 (1)漏减门窗：粉刷墙壁时，务必记得减去门窗和黑板的面积，因为它们不需要粉刷。 (2)混淆概念：区分“占地面积”（通常指底面积 ）和“表面积”（所有面的总和）。 (3)近似值处理：在实际用料问题中（如做铁皮箱、买包装纸），如果计算结果有小数，通常采用“进一法”保留整数，因为材料宁多勿少。 考点三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 当我们将立体图形切开或拼接时，表面积会发生变化。核心规律是：面的增减导致表面积的变化。 1. 切割问题（越切越大） (1)基本原理：把一个立体图形切成两部分，会多出 2个切面。 (2)表面积变化： (3)常见切法： ①　平行于底面切（横切）： 增加的两个面是 长 宽 的面。 增加面积 。 ②　平行于侧面切（纵切-前后）： 增加的两个面是 长 高 的面。 增加面积 。 ③　平行于端面切（纵切-左右）： 增加的两个面是 宽 高 的面。 增加面积 。 (4)切多刀的情况： ①　切1刀，增加2个面； ②　切2刀，增加4个面； ③　切 刀，增加 个面。 ④　注意：如果是沿不同方向切，需分别计算每个方向增加的面积。 2. 拼接问题（越拼越小） (1)基本原理：把两个立体图形拼在一起，会有 2个面重合，这两个面被隐藏在内部，不再属于表面积。 (2)表面积变化： (3)常见拼法： ①　最大面重合： 减少的面积最多，拼成后的新长方体表面积最小。 适合想要节省包装材料的情况。 ②　最小面重合：减少的面积最少，拼成后的新长方体表面积最大。 ③　一般面重合：减少的面积居中。 (4)多个正方体拼接： ①　2个正方体拼成长方体：减少 个面。 ②　3个正方体排成一排拼成长方体：有2个接触处，共减少 个面。 ③　 个正方体排成一排：减少 个面。 例题讲解 题型一、长方体和正方体表面积的计算 【例题1】计算下列各图形的表面积。 【练习1】计算下面几何体的表面积。 题型二、长方体和正方体表面积的应用 【例题2】园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 【练习2】学校装修一间长7.5米、宽5.5米、高2.8米的教室，教室四面墙的下部刷了高1.2米的浅绿色油漆（开门处1平方米不刷）。如果刷1平方米的浅绿色油漆的价格是25元，那么一共要花多少元？ 题型三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例题3】用2个棱长5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（    ）平方分米。 A．150 B．200 C．250 D．125 【练习3】一个正方体木块的表面积是144平方厘米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是多少？ 专项训练 练习一、长方体和正方体表面积的计算 1．一个长方体的上面和右面如图所示这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．120 B．156 C．132 D．148 2．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大6倍。( ) 3．一个长方体长8dm，宽是长的一半，高是3dm，这个长方体的棱长总和是( )dm，表面积是( )dm2。 4．用72m的铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )。 5．求下面各图形的表面积（单位：分米）。 6．计算下面图形的表面积。 7．求下面各图形的表面积。（单位：dm） 8．聪聪用一根铁丝围成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，然后又改围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是多少？ 练习二、长方体和正方体表面积的应用 1．一个长方体游泳池长18m、宽100dm、高3m，这个游泳池的占地面积是( )m2。 2．制作一个棱长为30cm的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要( )cm2的玻璃。 3．做一个长方体饼干盒，长20厘米，宽15厘米，高30厘米。在它的四周贴上一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方厘米。 4．每年的4月1日为“国际爱鸟日”，护鸟小组制作了一个正方体形状的鸟笼，棱长总和是60厘米，那么这个鸟笼的占地面积是( )平方厘米；表面积是( )平方厘米。 5．王师傅要做10节长1.1米，宽和高都是1.2分米的通风管（接头处忽略不计），至少需要多少平方米铁皮？ 6．冬天到了，王爷爷要在长8米，宽6米，高2米的长方体育苗棚的顶部和四周覆盖一层塑料薄膜，每平方米塑料薄膜需要2元。王爷爷购买塑料薄膜至少需要多少钱？ 7．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 8．建一个长50米，宽40米，深2米的游泳池。如果在游泳池的四壁和底部抹水泥，每平方米需水泥8千克，一共需要多少水泥？ 9．数学课上，王老师带来一个玩具。这个玩具是由一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下面的中心位置各挖去一个棱长为1厘米的小正方体后做成的（如图）。这个玩具的表面积是多少？ 10．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 练习三、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 1．一个长方体按下图所示的三种分法分割成两个小长方体，表面积分别增加了24平方厘米、48平方厘米、16平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．72 B．64 C．44 D．88 2．一根长是2米，宽是0.4米，厚3分米的长方体木料，把它截成3段，表面积最少增加（    ）平方分米。 A．12 B．4.8 C．48 D．320 3．一个横截面是正方形的长方体，其表面积是250平方厘米，它刚好分成两个同样大小的正方体，这两个正方体的表面积都是( )平方厘米。 4．一根长80厘米、宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少( )平方厘米。 5．一个正方体与一个长方体拼成了一个新长方体，这个新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了100 cm2，这个正方体的表面积是( ) cm2。 6．把两个长18厘米、宽12厘米、高2厘米的长方体礼盒用纸打包到一起，最少需要多少包装纸？（忽略折叠的包装纸损耗） 7．把一个表面积是516平方厘米的正方体切割成8个相同的小正方体（无剩余，损耗不计），切割后的8个小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积增加多少？ 8．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $