专题11：长方体和正方体的认识及展开图（期末专项训练）五年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以空间观念为核心，通过“特征-棱长-展开图”三级递进体系，融合分类记忆法与排除技巧，构建从概念认知到实践应用的完整解题链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|3大考点|特征分类记忆（面/棱/顶点）、棱长公式及变形、展开图11类口诀+排除法（田/凹/7字形）|从长方体与正方体包含关系切入，形成“概念（特征）-原理（棱长计算）-应用（展开图判断）”逻辑链条| |例题讲解|3类题型|框架制作求棱长总和、展开图还原相对面|典例覆盖核心考法，如特殊长方体棱长计算、展开图类型识别| |专项训练|3组练习|折叠还原标记法、棱长单位统一技巧|通过辨析题强化空间想象，结合生活场景（包装丝带）提升应用意识|

专题11：长方体和正方体的认识及展开图（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 2 考点三、长方体和正方体的展开图 3 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体的认识及特征 4 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 5 题型三、长方体和正方体的展开图 6 专项训练 7 练习一、长方体和正方体的认识及特征 7 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 8 练习三、长方体和正方体的展开图 11 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1. 长方体的特征 (1)面： ①　长方体有 6个面。 ②　每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。 ③　相对的面完全相同（形状相同，面积相等）。 (2)棱： ①　长方体有 12条棱。 ②　相对的棱长度相等。 ③　棱可以分为3组，每组4条，分别对应长、宽、高。 (3)顶点： ①　长方体有 8个顶点。 ②　相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。 (4)特殊长方体：如果有两个相对的面是正方形，那么其余4个面是完全相同的长方形，且这4个面的面积相等。 2. 正方体的特征 (1)定义：长、宽、高都相等的长方体叫做正方体（也叫立方体）。 (2)面： ①　正方体有 6个面。 ②　每个面都是完全相同的正方形。 ③　6个面的面积都相等。 (3)棱： ①　正方体有 12条棱。 ②　12条棱的长度都相等。 (4)顶点：正方体有 8个顶点。 3. 长方体与正方体的关系 (1)包含关系：正方体是特殊的长方体。 (2)集合图表示：如果把长方体看作一个大集合，正方体就是其中的一个小集合。 (3)变化规律：当长方体的长、宽、高变得相等时，它就变成了正方体。 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1. 棱长总和的概念 (1)定义：围成长方体或正方体的12条棱的长度之和。 (2)单位：长度单位（如厘米、分米、米）。 2. 计算公式 (1)长方体棱长总和： ①　公式： ②　理解：因为长、宽、高各有4条，所以先算出一组长宽高的和，再乘4。 ③　变形公式： (2)正方体棱长总和： ①　公式： ②　变形公式： 3. 常见应用场景与解题思路 (1)框架制作问题： ①　场景：用铁丝焊接一个长方体或正方体框架。 ②　关键：求铁丝的长度，即求棱长总和。 ③　注意：如果接头处需要额外长度，最后要加上接头的长度。 (2)已知总和求边长： ①　场景：已知一根铁丝长多少，做成一个正方体框架，求棱长。 ②　方法：直接用总长度除以12。 4. 易错点提醒 (1)混淆概念：不要将“棱长总和”与“表面积”或“体积”混淆。棱长总和是线的长度，单位是长度单位（cm）；表面积是面的大小，单位是面积单位（cm²）。 (2)漏乘系数：计算长方体棱长总和时，忘记乘4；计算正方体时，忘记乘12。 (3)单位统一：如果题目中长、宽、高的单位不一致（如分米和厘米），必须先统一单位再计算。 考点三、长方体和正方体的展开图 1. 正方体展开图的类型（重点） 正方体展开图共有 11种 基本形态，可分为四类，记忆口诀如下： (1) “1-4-1”型（共6种）： ①　中间一行4个面，上下各1个面。 ②　特点：上下的面可以在中间4个面的任意位置，只要不重叠。 ③　记忆：中间四个连一串，两边各一随便放。 (2) “2-3-1”型（共3种）： ①　中间一行3个面，上面2个，下面1个（或反之）。 ②　特点：“2”和“1”必须在“3”的两侧，且“2”的两个面必须相连。 ③　记忆：二三紧连错一个，三一相连一随便。 (3) “2-2-2”型（共1种）： ①　像楼梯一样，每层2个面。 ②　记忆：两两相连各错一。 (4) “3-3”型（共1种）： ①　两行各3个面，错开排列。 ②　记忆：三个两排一对齐。 排除法技巧： (1)“田”字形：如果出现“田”字格形状，一定不是正方体展开图。 (2)“凹”字形：如果出现“凹”字形状，一定不是正方体展开图。 (3)“7”字形长条：如果一行超过4个面（如5个连在一起），一定不是正方体展开图。 3. 长方体展开图的特征 (1)相对面不相邻：在展开图中，相对的面通常中间隔着一个面，或者呈现“Z”字形两端。 (2)形状对应： ①　长方体有三组相对的面，每组两个面完全相同。 ②　在展开图中，找到两个完全相同的长方形，它们通常是相对的面（除非是特殊长方体，需结合位置判断）。 (3)还原技巧： ①　想象折叠过程：选定一个面作为“底面”，然后将周围的面折起来，最后盖上“顶面”。 ②　标记法：在展开图的面上标出“上、下、左、右、前、后”，帮助判断相对位置。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体有( )个面，相对的面( )，有( )条棱，相对的棱长度( )。 【答案】 6 完全相同 12 相等 【分析】长方体特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同。长方体有条棱，分别为条长，条宽，条高。相对的棱长度相等。 【详解】长方体有个面，相对的面完全相同，有条棱，相对的棱长度相等。　　　　　　。 【练习1】下图是一个用小棒和橡皮泥小球做成的棱长为8厘米的正方体框架，一共需要( )个橡皮泥小球和( )根小棒，这些小棒的长度和是( )厘米。 【答案】 8 12 96 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有8个顶点，12条棱长，即一共需要8个橡皮泥小球和12根小棒，再根据正方体棱长总和公式＝棱长×12，代入数据即可计算解答。 【详解】正方体有8个顶点，需要8个橡皮泥小球；正方体有12条棱长，需要12根小棒。 小棒的长度和：8×12＝96（厘米） 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】用铁丝焊接一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm。如果用同样长的铁丝焊接一个正方体框架，它的棱长是( )cm。 【答案】 60 5 【分析】求需要多少铁丝，就是求棱长总和，长方体的长、宽、高各有4条，棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；正方体有12条棱，用棱长总和除以12，可以求出正方体的棱长。 【详解】铁丝长度：（6＋5＋4）×4 ＝（11＋4）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 棱长：60÷12＝5（cm） 【练习2】杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 【答案】90厘米 【分析】用总长度减去打结部分的长度算出捆扎正方体（不含打结部分）的丝带长度。用捆扎的丝带长度除以丝带经过正方体棱长的数量，算出正方体的棱长。再根据正方体的棱长总和＝棱长×12解决。 【详解】76－16＝60（厘米） 60÷8＝7.5（厘米） 7.5×12＝90（厘米）   答：正方体礼品盒棱长总和是90厘米。 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】下面这些图形沿虚线折叠后，能围成正方体的是( )，能围成长方体的是( )。（填字母） 【答案】 C F 【分析】根据长方体的展开图以及长方体的特征进行逐一判断。据此解答。 【详解】选项A、B、D：该图折叠时，会出现面与面重叠的情况，无法围成封闭的正方体，所以排除； 选项C：该图形属于正方体展开图的“1-4-1”结构（中间一行4个面，上下各1个面），沿虚线折叠后，能够顺利围成正方体，六个面可一一对应，无重叠和空缺。 选项E、G、H：该图折叠时，会出现面与面重叠的情况，不符合长方体展开图的特征，不能围成长方体，所以排除； 选项F：该图形属于长方体展开图的“2-3-1”结构，沿虚线折叠后，能够顺利围成长方体，六个面可一一对应，无重叠和空缺。 所以，下面这些图形沿虚线折叠后，能围成正方体的是C，能围成长方体的是F。 【练习3】在正方体的6个面上各写一个字，展开后如图。“生”与“( )”相对，“命”与“( )”相对，“在”与“( )”相对。 【答案】 运 于 动 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。 【详解】观察图片结合正方体展开图的相对面辨别方法可知：“生”与“运”相对，“命”与“于”相对，“在”与“动”相对。 专项训练 练习一、长方体和正方体的认识及特征 1．下面四组小棒中，可以搭成一个长方体框架的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体有12条棱，分为3组（4条长、4条宽、4条高），特殊情况是“有两个相对的面是正方形的长方体”，此时只有2种长度的棱：8条棱长度相等，（长和宽相等），4条棱长度相等（高）。 【详解】 A．，符合“有两个相对面是正方形的长方体”的棱的特征，能搭成长方体。 B．，4＋4＝8（根），不是12根，无法搭成长方体。 C．，7cm的棱有7根（非4的倍数），3cm的棱有5根（非4的倍数），无法组成棱组，不能搭成长方体。 D．，6cm的棱有9根（非4的倍数），5cm的棱有3根（非4的倍数），无法组成棱组，不能搭成长方体。 2．( )图是长方体，( )图是正方体。 【答案】 A，D C 【分析】长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。观察四个选项的立体图形，如果图形的6个面都是完全相同的正方形，那么它就是正方体；如果图形的面是长方形或有两个相对面是正方形的长方形组合，那么它就是长方体。 【详解】图A是由6个长方形围成的立体图形，它是长方体； 图B有两个面是梯形，不是长方体，也不是正方体； 图C是由6个正方形围成的立体图形，它是正方体； 图D是由4个长方形，2个正方形围成立体图形，它是长方体； 所以图A，图D是长方体，图C是正方体。 3．长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点，正方体所有的面都( )。 【答案】 6 12 8 完全相同 【详解】 由长方体和正方体的特征可知，长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，正方体所有的面都完全相同。 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 1．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的棱长是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】根据正方体的特征，正方体一共有12条棱，用棱长总和除以数量，求得棱长。 【详解】48÷12＝4（厘米） 2．一个长方体有两个相对的面是正方形，正方形的边长是6cm，这个长方体的棱长总和是96cm，它的长是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．8 D．10 【答案】B 【分析】因为长方体有两个相对的面是正方形，正方形边长6cm，所以长方体的高和宽都是6cm。长方体棱长总和（长＋宽＋高），已知棱长总和，可以反求出长。 【详解】 （厘米） 它的长是厘米。 3．一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】48 【分析】根据公式：长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 4．一个长方体的棱长总和是48厘米，从一个顶点出发的三条棱的长度之和( )厘米。 【答案】12 【分析】长方体有12条棱，四条长，四条宽，四条高，从一个顶点出发的三条棱正好就是长宽高各一条，那就将这12条棱平均分成四份，每份正好就是一条长，一条宽和一条高的和，据此用长方体的棱长总和除以4列式解答即可。 【详解】48÷4＝12（厘米） 5．一个正方体棱长为4cm，它的棱长总和为( )cm；如果把两个这样的正方体拼成一个大长方体，则该长方体的棱长总和为( )cm。 【答案】 48 64 【分析】①正方体的棱长总和＝棱长×12； ②先计算大长方体的长，再根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”计算。 【详解】正方体棱长总和：4×12＝48（cm） 长方体棱长总和： （4×2＋4＋4）×4 ＝（8＋4＋4）×4 ＝（12＋4）×4 ＝16×4 ＝64（cm） 6．一个长方体的棱长总和是52厘米，其中长是6厘米，宽是4厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，先求出长、宽、高的和，再减去已知的长和宽，即可求出高。 【详解】52÷4－6－4 ＝13－6－4 ＝7－4 ＝3（厘米） 答：这个长方体的高是3厘米。 7．用彩带包装下面的长方体礼品盒，接头处长20厘米，一共用彩带多少厘米？ 【答案】340厘米 【分析】看图可知彩带由2条长、2条宽、4条高和打结处组成，因此，长×2＋宽×2＋高×4＋打结处的长度＝彩带总长度。 【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝320＋20 ＝340（厘米） 答：一共用彩带340厘米。 8．李叔叔要用铁丝做8个棱长是0.5米的正方体鸟笼框架，一共需要铁丝多少米？ 【答案】 48米 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，求出一个正方体的棱长总和，再乘8即可求出一共需要的铁丝长度。 【详解】0.5×12＝6（米） 6×8＝48（米） 答：一共需要铁丝48米。 练习三、长方体和正方体的展开图 1．下面图形中，可以折成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方体展开图是将长方体的6个面沿棱剪开后，平铺在一个平面上得到的图形，它必须满足“对面不相邻”的核心规则，且不能出现“田”字格、“7”字形状和“凹”字格等无法折叠的结构。 【详解】A．出现 “田字格”，无法折叠成长方体； B．长方体有6个面，图中有7个面，无法折成长方体； C．对面相邻，不能折成长方体； D．对面不相邻，且是2-3-1结构，能折成长方体。 2．下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种标准结构，包括1－4－1型、2－3－1型、2－2－2型、3－3型，只要符合这些类型就能折成正方体；如果出现“田”字形结构，或折叠时会出现面重叠的结构，就不能折成正方体，据此逐一判断即可。 【详解】A．属于1－4－1型，是正方体的标准展开图，可以折成正方体。 B．属于1－4－1型，是正方体的标准展开图，可以折成正方体。 C．不属于11种标准展开图，折叠时会出现面重叠的情况，不能折成正方体。 D．属于2－3－1型，是正方体的标准展开图，可以折成正方体。 所以不能折成正方体的是。 3．如图，小丽给一个正方体的2个面涂上了颜色，那么它的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原正方体的两个涂色面是相邻面（有一条公共边），不是相对面（无公共边）。正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻；而相邻的面在展开图中要么直接相连，要么通过折叠后形成公共边。 【详解】A．两个涂色面折叠后是相对面，不是相邻面，不符合条件； B．选项的结构是“凹”字形，无法折叠成正方体，直接排除； C．两个涂色面在展开图中直接相邻，折叠后会成为有公共边的相邻面，完全符合原正方体的涂色情况； D．两个涂色面折叠后是相对面，不符合条件。 4．下图是某正方体的展开图，如果图中的“建”在这个正方体的左面，那么这个正方体的右面是（    ）字。 A．美 B．丽 C．校 D．园 【答案】B 【分析】正方体展开图中的“2－2－2”型，从上往下，第一行的第一个面与第二行的第二个面是相对的面，第一行的第二个面与第三行的第一个面是相对的面，第二行的第一个面与第三行的第二个面是相对的面，且在同一个正方体中左面与右面相对，前面和后面相对，上面和下面相对，据此可以判断。 【详解】看图可知与“建”相对的面是“丽”，与“设”相对的面是“校”，与“美”相对的面是“园”，且左面与右面是相对的面，所以这个正方体的右面是“丽”字。 5．仔细观察下边的长方体展开图，①号面是长方体的( )面。 【答案】左 【分析】从图中可以看出，①号面与前面相邻，合成长方体并按方位摆放后，①号面也会与下面相邻，且①号面在前面的左边。 【详解】根据分析：①号面是长方体的左面。 6．如下图，①是一个正方体，它的展开图有6个面，图中给出了其中的5个面。从ABCD中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图。这个面是( )。 【答案】D 【分析】正方体展开图有11种基本类型，可围成正方体的类型有“1－4－1”型、“2－3－1”型、“3－3”型、“2－2－2”型，这个展开图属于正方体展开图中的“1－4－1”型，从上往下，中间一行的四个面，第一行的一个面与第三行一个面是相对的面，据此判断。 【详解】根据分析可知，展开图是正方体展开图中“1－4－1”型，第6个面的位置在从上往下第三行，这个面是D。 7．把下面的物体和相应的展开图用线连起来。 【答案】图见详解 【分析】根据题意，需区分正方体与长方体展开图的核心特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，因此展开图的6个面也必须是完全相同的正方形； 长方体的展开图由对应立体图形长宽高的长方形组成，展开图的面的大小、排列方式与长方体的高矮、长宽一一对应，据此匹配对应的立体图形与展开图。 【详解】 8．如图是一个正方体展开图的其中5个面，若在图中补上1个同样大小的正方形，使其能围成一个完整的正方体，你有几种补法？请先补充完整正方体展开图，再在方格中画出其他补法。 【答案】4种；图见详解 【分析】正方体展开图共有11种基本类型，无论哪种类型，都必须满足以下关键规则： 1、不能出现田字形结构（会导致折叠时面重叠，无法围成正方体）。 2、不能出现凹字形结构（同样会导致面重叠）。 3、一条直线上最多只能有4个正方形，否则会超出正方体的面数限制。 题目给出了正方体展开图的5个面，需要补上1个面，使它成为一个完整的、能围成正方体的展开图。 第一步，先判断这5个面的排列结构，排除会形成田、凹字的位置。 第二步，根据正方体展开图的常见类型（1-4-1型、2-3-1型、3-3型、2-2-2型），找出所有能匹配的补位。 第三步，逐一验证每个位置补全后，是否能折叠成正方体，排除会导致面重叠的位置。 【详解】这道题一共有4种补法，补位的位置如下： 9． (1)如图1，先在展开图上找出左、前、下面相对的面，并用上、后、右标出，再在括号里填上m、n、h。 (2)如图2，将上面的展开图围成正方体后，( )与“天”相对，( )与“雨”相对，( ) 与“长空”相对。 【答案】(1)见详解 (2) 地 风 大陆 【分析】（1）长方体展开图相对面的辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个面的两个面是长方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个面是长方体的相对面，据此标出上、后、右；“后面”的横边是长方体的长，“下面”的竖边是长方体的宽，“右面”的竖边是长方体的高，分别在括号里填上m、n、h。 （2）正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形面的两个正方形面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。 【详解】（1）如图： （2）将展开图围成正方体后，“地”与“天”相对，“风”与“雨”相对，“大陆”与“长空”相对。 10．如图，下面涂色部分是一个长方体纸箱展开后的4个面。（每个小方格的面积表示1dm2） (1)请你将这个长方体纸箱的展开图补充完整。 (2)下面有两张包装纸，用其中一张包装纸，你认为哪张更合适？写出理由。 【答案】(1)见详解 (2)B更合适，具体理由见详解 【分析】（1）由每个小方格的面积表示1dm2，可得每个小格的边长为1dm，观察涂色部分的4个面，能确定这个长方体的长是5dm，宽是3dm，高是1dm。长方体展开图需要6个面，我们需要补充另外2个面：两个“宽×高”对应的面（3dm×1dm），把它们补在合适的位置即可（比如补在现有面的旁边，保证展开图的结构符合长方体展开的特征）。 （2）合适的包装纸需要根据长方体展开图的长、宽来确定，把展开图的长的最大值以及展开图宽的最大值与包装纸的长款作比较，包装纸的长、宽应大于或等于展开图长、宽的最大值，如若都满足则选与展开图长、宽最大值最相近的，以节省包装用料。 【详解】（1）完整展开图： （2）B更合适，理由如下： 因为长方体宽为3dm，高为1dm。 根据展开图可知，包装纸大小需满足长大于或等于3＋1＋3＋1＝8（dm）（展开图长的最大值），宽（展开图宽的最大值）大于或等于5＋1＋1＝7（dm）。 A中12＞8，10＞7，B中 8＝8，8＞7。 A、B两张包装纸都能包，但包装纸B更合适，因为这样更节约包装纸。 第 2 页 共 14 页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11：长方体和正方体的认识及展开图（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 2 考点三、长方体和正方体的展开图 3 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体的认识及特征 4 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 4 题型三、长方体和正方体的展开图 5 专项训练 5 练习一、长方体和正方体的认识及特征 5 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 6 练习三、长方体和正方体的展开图 7 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1. 长方体的特征 (1)面： ①　长方体有 6个面。 ②　每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。 ③　相对的面完全相同（形状相同，面积相等）。 (2)棱： ①　长方体有 12条棱。 ②　相对的棱长度相等。 ③　棱可以分为3组，每组4条，分别对应长、宽、高。 (3)顶点： ①　长方体有 8个顶点。 ②　相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。 (4)特殊长方体：如果有两个相对的面是正方形，那么其余4个面是完全相同的长方形，且这4个面的面积相等。 2. 正方体的特征 (1)定义：长、宽、高都相等的长方体叫做正方体（也叫立方体）。 (2)面： ①　正方体有 6个面。 ②　每个面都是完全相同的正方形。 ③　6个面的面积都相等。 (3)棱： ①　正方体有 12条棱。 ②　12条棱的长度都相等。 (4)顶点：正方体有 8个顶点。 3. 长方体与正方体的关系 (1)包含关系：正方体是特殊的长方体。 (2)集合图表示：如果把长方体看作一个大集合，正方体就是其中的一个小集合。 (3)变化规律：当长方体的长、宽、高变得相等时，它就变成了正方体。 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1. 棱长总和的概念 (1)定义：围成长方体或正方体的12条棱的长度之和。 (2)单位：长度单位（如厘米、分米、米）。 2. 计算公式 (1)长方体棱长总和： ①　公式： ②　理解：因为长、宽、高各有4条，所以先算出一组长宽高的和，再乘4。 ③　变形公式： (2)正方体棱长总和： ①　公式： ②　变形公式： 3. 常见应用场景与解题思路 (1)框架制作问题： ①　场景：用铁丝焊接一个长方体或正方体框架。 ②　关键：求铁丝的长度，即求棱长总和。 ③　注意：如果接头处需要额外长度，最后要加上接头的长度。 (2)已知总和求边长： ①　场景：已知一根铁丝长多少，做成一个正方体框架，求棱长。 ②　方法：直接用总长度除以12。 4. 易错点提醒 (1)混淆概念：不要将“棱长总和”与“表面积”或“体积”混淆。棱长总和是线的长度，单位是长度单位（cm）；表面积是面的大小，单位是面积单位（cm²）。 (2)漏乘系数：计算长方体棱长总和时，忘记乘4；计算正方体时，忘记乘12。 (3)单位统一：如果题目中长、宽、高的单位不一致（如分米和厘米），必须先统一单位再计算。 考点三、长方体和正方体的展开图 1. 正方体展开图的类型（重点） 正方体展开图共有 11种 基本形态，可分为四类，记忆口诀如下： (1) “1-4-1”型（共6种）： ①　中间一行4个面，上下各1个面。 ②　特点：上下的面可以在中间4个面的任意位置，只要不重叠。 ③　记忆：中间四个连一串，两边各一随便放。 (2) “2-3-1”型（共3种）： ①　中间一行3个面，上面2个，下面1个（或反之）。 ②　特点：“2”和“1”必须在“3”的两侧，且“2”的两个面必须相连。 ③　记忆：二三紧连错一个，三一相连一随便。 (3) “2-2-2”型（共1种）： ①　像楼梯一样，每层2个面。 ②　记忆：两两相连各错一。 (4) “3-3”型（共1种）： ①　两行各3个面，错开排列。 ②　记忆：三个两排一对齐。 排除法技巧： (1)“田”字形：如果出现“田”字格形状，一定不是正方体展开图。 (2)“凹”字形：如果出现“凹”字形状，一定不是正方体展开图。 (3)“7”字形长条：如果一行超过4个面（如5个连在一起），一定不是正方体展开图。 3. 长方体展开图的特征 (1)相对面不相邻：在展开图中，相对的面通常中间隔着一个面，或者呈现“Z”字形两端。 (2)形状对应： ①　长方体有三组相对的面，每组两个面完全相同。 ②　在展开图中，找到两个完全相同的长方形，它们通常是相对的面（除非是特殊长方体，需结合位置判断）。 (3)还原技巧： ①　想象折叠过程：选定一个面作为“底面”，然后将周围的面折起来，最后盖上“顶面”。 ②　标记法：在展开图的面上标出“上、下、左、右、前、后”，帮助判断相对位置。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体有( )个面，相对的面( )，有( )条棱，相对的棱长度( )。 【练习1】下图是一个用小棒和橡皮泥小球做成的棱长为8厘米的正方体框架，一共需要( )个橡皮泥小球和( )根小棒，这些小棒的长度和是( )厘米。 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】用铁丝焊接一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm。如果用同样长的铁丝焊接一个正方体框架，它的棱长是( )cm。 【练习2】杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】下面这些图形沿虚线折叠后，能围成正方体的是( )，能围成长方体的是( )。（填字母） 【练习3】在正方体的6个面上各写一个字，展开后如图。“生”与“( )”相对，“命”与“( )”相对，“在”与“( )”相对。 专项训练 练习一、长方体和正方体的认识及特征 1．下面四组小棒中，可以搭成一个长方体框架的是（    ）。 A． B． C． D． 2．( )图是长方体，( )图是正方体。 3．长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点，正方体所有的面都( )。 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 1．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的棱长是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．12 D．16 2．一个长方体有两个相对的面是正方形，正方形的边长是6cm，这个长方体的棱长总和是96cm，它的长是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．8 D．10 3．一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，它的棱长总和是( )厘米。 4．一个长方体的棱长总和是48厘米，从一个顶点出发的三条棱的长度之和( )厘米。 5．一个正方体棱长为4cm，它的棱长总和为( )cm；如果把两个这样的正方体拼成一个大长方体，则该长方体的棱长总和为( )cm。 6．一个长方体的棱长总和是52厘米，其中长是6厘米，宽是4厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 7．用彩带包装下面的长方体礼品盒，接头处长20厘米，一共用彩带多少厘米？ 8．李叔叔要用铁丝做8个棱长是0.5米的正方体鸟笼框架，一共需要铁丝多少米？ 练习三、长方体和正方体的展开图 1．下面图形中，可以折成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 3．如图，小丽给一个正方体的2个面涂上了颜色，那么它的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． D． 4．下图是某正方体的展开图，如果图中的“建”在这个正方体的左面，那么这个正方体的右面是（    ）字。 A．美 B．丽 C．校 D．园 5．仔细观察下边的长方体展开图，①号面是长方体的( )面。 6．如下图，①是一个正方体，它的展开图有6个面，图中给出了其中的5个面。从ABCD中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图。这个面是( )。 7．把下面的物体和相应的展开图用线连起来。 8．如图是一个正方体展开图的其中5个面，若在图中补上1个同样大小的正方形，使其能围成一个完整的正方体，你有几种补法？请先补充完整正方体展开图，再在方格中画出其他补法。 9． (1)如图1，先在展开图上找出左、前、下面相对的面，并用上、后、右标出，再在括号里填上m、n、h。 (2)如图2，将上面的展开图围成正方体后，( )与“天”相对，( )与“雨”相对，( ) 与“长空”相对。 10．如图，下面涂色部分是一个长方体纸箱展开后的4个面。（每个小方格的面积表示1dm2） (1)请你将这个长方体纸箱的展开图补充完整。 (2)下面有两张包装纸，用其中一张包装纸，你认为哪张更合适？写出理由。 第 2 页 共 14 页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $