热点07 三角形与四边形性质判定（热点专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点07 三角形与四边形性质判定 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 三角形及边角关系 题型02 与三角形有关的重要线段 题型03 等腰三角形 题型04 等边三角形 题型05 直角三角形 题型06 全等三角形的判定与性质 题型07 比例线段 题型08 相似图形 题型09 多边形及其性质 题型10 平行四边形的判定与性质 题型11 矩形的判定与性质 题型12 菱形的判定与性质 题型13 正方形的判定与性质 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：三角形与四边形性质判定安徽中考必考内容，题型分布，选择填空：考查基础性质、边角计算、判定；解答题：难度中等偏上，围绕三角形全等、相似、特殊四边形性质判定。抓住选择送分题，熟练运用三角形及四边形的性质判定稳定中档题，重推理轻计算，逻辑要严谨是得分关键。 预测2026年：2026 年将继续保持稳定，稳定求新、增加新情景：传统文化、生活几何、图案设计等。基础必背不丢分，三角形的三边关系、内角和、全等/相似判定、勾股定理；四边形中平行四边形、特殊的平行四边形的性质与判定熟练掌握会举一反三。 题型01 三角形及边角关系 解｜题｜策｜略 1、 两边之和大于第三边； 2、 两边之差小于第三边； 3、 内角和定理：三角形内角和为1800； 4、 三角形外角定理 一个外角=与它不相邻的两个内角之和； 例1（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 例2（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 题型02 与三角形有关的重要线段 解｜题｜策｜略 核心性质： 高线：垂直对边，夹角90度； 角平分线：平分内角，到角的两边距离相等； 中线：平分底边，重心分中线2:1 中位线：平行第三边，长度等于第三边一半； 解题策略： 遇高线：抓互余； 遇角平分线：抓 等角＋距离相等； 遇中线：重要模型 倍长中线； 遇中点：构中位线。 例1（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D为中点，连接．点E为上一点，连接交于F．若，，，则______．    【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，E是边的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为D，连接，若，，则_____． 【变式2】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 题型03 等腰三角形 解｜题｜策｜略 1、 分类讨论：所有等腰题目，只要没规定腰、顶角，必须分类讨论； 2、 优先使用三线合一； 3、 角度求解：方程思想； 4、 转化边角关系：大边对大角； 5、 结合重要线段综合套路：（1）等腰加角平分线，直接出等角；（2）等角加中点，三线合一；（3）等腰加直角，等腰直角三角形；（4）等腰加斜中线，直角三角形斜中线相等，构造等腰。 例1（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 例2（2026九年级下·安徽·学业考试）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点P在边的延长线上，交的延长线于点，点在边上，，连接交于点D，结论①，②，③，④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 题型04 等边三角形 解｜题｜策｜略 1、 性质：（1）三边相等，三个角都为600；（2）兼具等腰三角形所有性质；（3）每条边上中线、高线、 角平分线重合；（4）每个外角1200； 2、 解题策略： （1） 直接套用固定角度； （2） 边全部相等，秒转线段相等； （3） 活用三线合一； （4） 构造全等——手拉手模型； （5） 含300角组合转化； 例1（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，_________． 例2（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为______． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在等边的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，． （1）____________； （2）的长为__________； 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则_____． 题型05 直角三角形 解｜题｜策｜略 1、 核心性质： （1）两锐角互余；（2）勾股定理；（3）斜中半；（4）30度角所对直角边等于斜边一半；（5）边角关系，三角函数； 2、 解题策略： （1） 遇直角，优先用互余； （2） 已知边长求边长，勾股定理； （3） 遇中点、斜边，牢记斜边中线定理； （4） 特殊角（30度、45度、60度）直接套边长比例； （5） 求边长、求角度，三角函数统一模版； （6） 非直角三角形，构造直角。 例1（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点在边上，点在的平分线上，于点，且，则线段的长度为（） A．6 B．5 C．4 D．3 例2（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，垂足为，是的角平分线，分别交，于点P，E．下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（   ） A．9 B． C． D． 【变式2】（2026九年级下·安徽·学业考试）如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（   ） A．B．C．D． 题型06 全等三角形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1、找条件三步走 ①先找题目已知条件②再找图形隐藏条件：对顶角相等、公共角、公共边③最后补缺少一组条件，选判定方法 2、边角优先匹配技巧 （1） 已知两边 → 找夹角(SAS) 或找第三边(SSS)（2）已知两角 → 找任意一组边(ASA/AAS) （3） 已知一边一角 → 再找一组角(AAS/ASA)（4）直角三角形 → 优先考虑HL 3、等量代换 1. 线段同加同减：AB+BC=CD+BC AC=BD 2. 角度同加同减： 4、平行线转化角：题干有平行内错角、同位角相等 5、垂直互余倒角：遇多个直角，利用同角的余角相等 例1（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，点分别是的中点，点在线段上，，连接交于点，若，则的长为______ ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为12，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型07 比例线段 解｜题｜策｜略 1、 交叉相乘转化： 2、 设k法：题干出现： 3、 平行线分线段成比例 4、 等积转化法：转化成 例1（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 例2（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为________． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形纸片，使点落在边上的点处．折痕为．若的面积为，则的面积为_____． 题型08 相似图形 解｜题｜策｜略 1、 线段比例转化，衔接比例线段 2、 熟记相似模型：A字型，8字型，母子型，一线三等角 例1（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个矩形 例2（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【变式2】（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 题型09 多边形及其性质 解｜题｜策｜略 1、 求外角永远优先用外角和，计算最简单； 2、 已知一个内角/外角，求边数：（1）先求外角 ；（2）列方程 例1（2025·四川雅安·中考真题）正六边形的外角和是______度． 例2（25-26九年级上·重庆·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，要用三种正多边形的木板铺设地面，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两种木板的边数分别是和，则第三种木板的边数应是______． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 题型10 平行四边形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1：利用性质求边长、角度 （1）看到平行四边形，优先想：对边相等、对角相等、邻角互补 （2）角度题：邻角相加1800，直接列方程 （3）边长题：对边相等，周长公式 题型2：证明四边形是平行四边形 做题固定思路，优先选最简单条件优先级排序（做题按这个选最快）： ① 有边平行+相等，首选 一组对边平行且相等 ② 已知线段相等多，证两组对边分别相等 ③ 有对角线交点、线段平分，证对角线互相平分 ④ 角度条件多，证两组对角相等 题型3：平行四边形+全等三角形综合 套路 （1）平行四边形提供条件：对边相等、对边平行，内错角相等 （2）找全等条件（AAS、ASA、SAS） （3）全等得边/角相等，再回去证平行四边形 题型4：动点题、中点题 技巧 （1）中点，线段相等 （2）中点连线、对角线平分，多用对角线互相平分判定 （3） 动点设时间t，用含t式子表示边长，利用「一组对边平行且相等」列式解方程 例1（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点在上，且，连接交点，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 例2（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点是上的点，交于点，交延长线于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，为中点，延长至点，使，连接，取中点，连接并延长交于点，交于．若，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 题型11 矩形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1、 看清已知：是不是平行四边形 2、 已知矩形，抓直角、对角线相等平分、等腰三角形 3、 证矩形，先看：证直角或证对角线相等 4、 求长度角度，等腰对等角加勾股定理 例1（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 题型12 菱形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1、 已知菱形，抓四边相等、对角线垂直平分、平分内角 2、 证菱形，先看是不是平行四边形，是，证邻边相等/对角线垂直；不是，证四边相等 3、 计算，对角线分割直角三角形，勾股定理；面积套对角线公式 例1（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 例2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为______． 【变式2】（24-25九年级上·重庆万州·期末）如图，在中，，，，为边上一点，把沿对折后得到，交于点，若，则的长为__________． 题型13 正方形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1.已知正方形：抓四边相等、四角直角、对角线相等垂直、45°角 2.证正方形：先矩形再菱形，先菱形再矩形 3.计算：等腰直角三角形比例、勾股定理 4.证明：利用正方形边角条件证三角形全等 例1（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（   ）    A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）的值为_______； （2）若恰为中点，连接交于点，则的长为______． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______． （40分钟限时练） 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．是等腰直角三角形 2．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．7 C． D． 6．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 8．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知，，，则的值（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________． 11．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是等边内一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为_________． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 13．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在矩形和矩形中，与相交于点M，与相交于点N，连接，并延长与相交于点P，若，则下列结论正确的是___． ①；②；③；④连接，若，四边形与四边形的面积之比为． 14．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点07 三角形与四边形性质判定 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 三角形及边角关系 题型02 与三角形有关的重要线段 题型03 等腰三角形 题型04 等边三角形 题型05 直角三角形 题型06 全等三角形的判定与性质 题型07 比例线段 题型08 相似图形 题型09 多边形及其性质 题型10 平行四边形的判定与性质 题型11 矩形的判定与性质 题型12 菱形的判定与性质 题型13 正方形的判定与性质 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：三角形与四边形性质判定安徽中考必考内容，题型分布，选择填空：考查基础性质、边角计算、判定；解答题：难度中等偏上，围绕三角形全等、相似、特殊四边形性质判定。抓住选择送分题，熟练运用三角形及四边形的性质判定稳定中档题，重推理轻计算，逻辑要严谨是得分关键。 预测2026年：2026 年将继续保持稳定，稳定求新、增加新情景：传统文化、生活几何、图案设计等。基础必背不丢分，三角形的三边关系、内角和、全等/相似判定、勾股定理；四边形中平行四边形、特殊的平行四边形的性质与判定熟练掌握会举一反三。 题型01 三角形及边角关系 解｜题｜策｜略 1、 两边之和大于第三边； 2、 两边之差小于第三边； 3、 内角和定理：三角形内角和为1800； 4、 三角形外角定理 一个外角=与它不相邻的两个内角之和； 例1（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分情况讨论腰长，验证三边能否构成三角形后计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长为6和4， ∴分两种情况分析： ①当腰长为6，底边长为4时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ②当腰长为4，底边长为6时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ∴该等腰三角形的周长为16或14． 例2（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数． 【详解】解：∵，，于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三边能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， ∵等腰的周长为10， ∴底边长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； ②当3为底边长时， ∵等腰的周长为10， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； 综上，“优美比”是或． 题型02 与三角形有关的重要线段 解｜题｜策｜略 核心性质： 高线：垂直对边，夹角90度； 角平分线：平分内角，到角的两边距离相等； 中线：平分底边，重心分中线2:1 中位线：平行第三边，长度等于第三边一半； 解题策略： 遇高线：抓互余； 遇角平分线：抓 等角＋距离相等； 遇中线：重要模型 倍长中线； 遇中点：构中位线。 例1（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 过点作、、的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为， ∵是的三条角平分线， ∴． ∵的面积为，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 例2（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D为中点，连接．点E为上一点，连接交于F．若，，，则______．    【答案】10 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，根据，以及列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，E是边的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为D，连接，若，，则_____． 【答案】4 【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形中位线有关的求解问题、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证明，得出，，再根据中位线的判定与性质定理得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：4． 【变式2】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得继而得出的度数，即可判断①；推出根据证明即可，即可判断②；证明， 得 ，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④；证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ， ， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故结论③错误； 又∵， ∴，即， 故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选： B． 题型03 等腰三角形 解｜题｜策｜略 1、 分类讨论：所有等腰题目，只要没规定腰、顶角，必须分类讨论； 2、 优先使用三线合一； 3、 角度求解：方程思想； 4、 转化边角关系：大边对大角； 5、 结合重要线段综合套路：（1）等腰加角平分线，直接出等角；（2）等角加中点，三线合一；（3）等腰加直角，等腰直角三角形；（4）等腰加斜中线，直角三角形斜中线相等，构造等腰。 例1（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2（2026九年级下·安徽·学业考试）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】先证明是等边三角形，得到，再根据外角得到，得到，，过作于，中，根据直角三角形的性质得到，，再证明是等腰直角三角形，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵中，，， ∴， ∵中，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点P在边的延长线上，交的延长线于点，点在边上，，连接交于点D，结论①，②，③，④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过P作交延长线于F，证明是等边三角形，则，再证明得到，，，进而逐项判断即可得到结论． 【详解】解：过P作交延长线于F，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 故选项②错误，不符合题意； 过Q作交于G， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选项③正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项①正确，符合题意； ∵不一定是直角， ∴不一定是直角， 故选项④错误，不符合题意， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】取的中点，连接，连接，如图，先根据菱形的性质得到，则为等边三角形，所以，，再根据旋转的性质得到，，接着证明得到，所以，于是可判断点在过的中点且与平行的定直线上，过点作于，于点，如图，接着求出，从而得到的长，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：取的中点，连接，连接，如图， ∵菱形的边长为2，点为边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点在过的中点且与平行的定直线上， 过点作于，于点，如图， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质． 题型04 等边三角形 解｜题｜策｜略 1、 性质：（1）三边相等，三个角都为600；（2）兼具等腰三角形所有性质；（3）每条边上中线、高线、 角平分线重合；（4）每个外角1200； 2、 解题策略： （1） 直接套用固定角度； （2） 边全部相等，秒转线段相等； （3） 活用三线合一； （4） 构造全等——手拉手模型； （5） 含300角组合转化； 例1（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，_________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形 【分析】利用“”证明，根据全等三角形对应角相等，得出，根据三角形外角的性质求出，根据含30度的直角三角形的性质，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为______． 【答案】7 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，证，推出，求出，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在等边的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，． （1）____________； （2）的长为__________； 【答案】 60°/60度 / 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由等边三角形得和，可证明，则，则； (2)由和，证明，有，求得，作，垂足为，则，求得，解得和，利用勾股定理和即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， (2)，， ， ， ，， ， ， 作，垂足为，如图， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：60°， 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质得和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉三角形的性质结合全等和相似解答． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则_____． 【答案】4 【知识点】等边三角形的性质、根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的判定 【分析】连接，延长交于D，由等边三角形的性质推出，，由角平分线定义得到，推出，因此点O、A在的垂直平分线上，由等边三角形的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定，得到，同理：，即可求出的长． 【详解】解：连接，延长交于D， ∵为等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点O、A在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出，． 题型05 直角三角形 解｜题｜策｜略 1、 核心性质： （1）两锐角互余；（2）勾股定理；（3）斜中半；（4）30度角所对直角边等于斜边一半；（5）边角关系，三角函数； 2、 解题策略： （1） 遇直角，优先用互余； （2） 已知边长求边长，勾股定理； （3） 遇中点、斜边，牢记斜边中线定理； （4） 特殊角（30度、45度、60度）直接套边长比例； （5） 求边长、求角度，三角函数统一模版； （6） 非直角三角形，构造直角。 例1（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点在边上，点在的平分线上，于点，且，则线段的长度为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，平行线的性质，含的直角三角形的性质等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过点作，利用角平分线性质得，由推出，从而得到，在中，利用角的性质求出，进而得到． 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 例2（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，垂足为，是的角平分线，分别交，于点P，E．下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由条件可得，得到；由条件可以证明，推出是等边三角形；由，推出；由∠PBD=30°，得到，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 在中，斜边大于直角边，即， ∴，故选项A不符合题意； ∵垂足为D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B不符合题意； 在中，， ∴， ∴， 故选项C不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，且使，连接，，证明得出，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：， 取的中点，连接， ， 如图，过点作，且使，连接，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 的最大值为， 故选：B． 【变式2】（2026九年级下·安徽·学业考试）如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形、特殊三角形的三角函数 【分析】延长，使,连接，延长，交于，过点作，可知是等边三角形，根据两个角对应相等证明，进而根据相似三角形的性质可用来表示的长度，即可得到，可推导出，求出，即可表示出y关于x的函数． 【详解】解：延长，使,连接，延长，交于，过点作， ∵，，， ∴,, ∴是等边三角形， ,， ∵ ∴ ∴, ∴, , , ∵， ∴， ∵， ∴,, , ∴， ∴， ∴， ， ， 则y关于x的函数为反比例函数， ∴只有B选项满足条件． 题型06 全等三角形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1、找条件三步走 ①先找题目已知条件②再找图形隐藏条件：对顶角相等、公共角、公共边③最后补缺少一组条件，选判定方法 2、边角优先匹配技巧 （1） 已知两边 → 找夹角(SAS) 或找第三边(SSS)（2）已知两角 → 找任意一组边(ASA/AAS) （3） 已知一边一角 → 再找一组角(AAS/ASA)（4）直角三角形 → 优先考虑HL 3、等量代换 1. 线段同加同减：AB+BC=CD+BC AC=BD 2. 角度同加同减： 4、平行线转化角：题干有平行内错角、同位角相等 5、垂直互余倒角：遇多个直角，利用同角的余角相等 例1（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、对顶角相等 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 例2（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，点分别是的中点，点在线段上，，连接交于点，若，则的长为______ ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，由四边形是正方形，得，，由点分别是的中点，所以，，再利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，，再利用面积法求出，然后通过勾股定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为12，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中线的性质和三角形面积的计算，利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系是解题的关键．首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和，再利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系即可得到的面积． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴C为线段的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 延长至点，使，连接，证明，得出相等的边和角，根据线段垂直平分线的性质得出相等边和，根据同角的余角相等得出，证明，得出相等边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵垂直平分线段， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型07 比例线段 解｜题｜策｜略 1、 交叉相乘转化： 2、 设k法：题干出现： 3、 平行线分线段成比例 4、 等积转化法：转化成 例1（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】分式化简求值、比例的性质 【分析】本题考查比例的性质和分式的化简，正确掌握比例的性质是解题的关键． 根据比值为3，可得，，，再代入原式的倒数，化简为1，即可求解． 【详解】解： ，，， ， 与互为倒数， 的值为1． 故选：A． 例2（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为________． 【答案】2 【知识点】成比例线段、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，掌握矩形的性质是解题的关键，由矩形的性质可得，由平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形纸片，使点落在边上的点处．折痕为．若的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【知识点】折叠问题、比例的性质 【分析】本题考查了折叠的性质、比例的性质和同底等高的三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 由题意得，设，，，由折叠得，即可求出，则根据同底等高的三角形面积相等进行求解即可． 【详解】解：由题意，设，，， 由折叠得， ∴ ， 由图可得，与等高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积 ， ∴的面积为： ， 故答案为：． 题型08 相似图形 解｜题｜策｜略 1、 线段比例转化，衔接比例线段 2、 熟记相似模型：A字型，8字型，母子型，一线三等角 例1（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个矩形 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，因此不一定相似，故此选项不符合题意； B、两个等腰三角形的对应角不一定相等，因此不一定相似，故此选项不符合题意； C、 两个等边三角形的所有角均为，且对应边成比例，因此一定相似，故此选项符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，因此不一定相似，故此选项不符合题意． 故选：C． 例2（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似图形、位似图形的识别、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【知识点】相似多边形、相似图形 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 题型09 多边形及其性质 解｜题｜策｜略 1、 求外角永远优先用外角和，计算最简单； 2、 已知一个内角/外角，求边数：（1）先求外角 ；（2）列方程 例1（2025·四川雅安·中考真题）正六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【知识点】正多边形的外角问题 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴正六边形的外角和是度． 例2（25-26九年级上·重庆·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，要用三种正多边形的木板铺设地面，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两种木板的边数分别是和，则第三种木板的边数应是______． 【答案】 【知识点】正多边形的外角问题、平面镶嵌 【分析】先求出正四边形和正三角形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三种正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解． 【详解】解：正四边形和正三角形每个内角的度数分别为和， 第三种正多边形的每个内角度数为， 第三种木板的边数应是． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 题型10 平行四边形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1：利用性质求边长、角度 （1）看到平行四边形，优先想：对边相等、对角相等、邻角互补 （2）角度题：邻角相加1800，直接列方程 （3）边长题：对边相等，周长公式 题型2：证明四边形是平行四边形 做题固定思路，优先选最简单条件优先级排序（做题按这个选最快）： ① 有边平行+相等，首选 一组对边平行且相等 ② 已知线段相等多，证两组对边分别相等 ③ 有对角线交点、线段平分，证对角线互相平分 ④ 角度条件多，证两组对角相等 题型3：平行四边形+全等三角形综合 套路 （1）平行四边形提供条件：对边相等、对边平行，内错角相等 （2）找全等条件（AAS、ASA、SAS） （3）全等得边/角相等，再回去证平行四边形 题型4：动点题、中点题 技巧 （1）中点，线段相等 （2）中点连线、对角线平分，多用对角线互相平分判定 （3） 动点设时间t，用含t式子表示边长，利用「一组对边平行且相等」列式解方程 例1（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点在上，且，连接交点，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明，可以判定选项A，C错误，若，则，显然，推出选项B 错误，证明选项D正确即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∴，故选项C错误，不符合题意； 若，即， ∵， ∴， ∴， 显然，故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 例2（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点是上的点，交于点，交延长线于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据得到，继而得到，得到；根据得到，继而得到，可以推出，由，继而得到即，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据得， 故， 故； 根据得， 故， 故， 由， 故即， 故， 故． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，为中点，延长至点，使，连接，取中点，连接并延长交于点，交于．若，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等，三角形相似是解题的关键．延长于点，根据平行四边形的性质易证，再证明，求出，最后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长于点， ∵， ∴， 设， ∵为中点，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ∴， ， ， ，即， ． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 题型11 矩形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1、 看清已知：是不是平行四边形 2、 已知矩形，抓直角、对角线相等平分、等腰三角形 3、 证矩形，先看：证直角或证对角线相等 4、 求长度角度，等腰对等角加勾股定理 例1（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 例2（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，， ， 的最小值为． 故选：C． 题型12 菱形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1、 已知菱形，抓四边相等、对角线垂直平分、平分内角 2、 证菱形，先看是不是平行四边形，是，证邻边相等/对角线垂直；不是，证四边相等 3、 计算，对角线分割直角三角形，勾股定理；面积套对角线公式 例1（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 例2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为______． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，三线合一，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点M，过点E作点P，证明四边形是菱形，继而证明，则，，由折叠，得，可证是的高，根据，，可得，即可解答． 【详解】解：延长交于点M，过点E作点P，延长到点N，使得，连接，如图， 有， ∵中，，，点E是的中点，， ∴四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，， 由折叠，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·重庆万州·期末）如图，在中，，，，为边上一点，把沿对折后得到，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据菱形的性质与判定求线段长、勾股定理与折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】根据勾股定理可得，由折叠的性质得到，是的垂直平分线，即，根据，，则有平分，即，再证，，，得到四边形是菱形，则，所以有，则，设，则，列式得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接，交于点， ∵折叠， ∴，，且， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，且 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型13 正方形的判定与性质 解｜题｜策｜略 1.已知正方形：抓四边相等、四角直角、对角线相等垂直、45°角 2.证正方形：先矩形再菱形，先菱形再矩形 3.计算：等腰直角三角形比例、勾股定理 4.证明：利用正方形边角条件证三角形全等 例1（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题了考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，连接交于点，由四边形是正方形，得，，且，，再由，得，由证明，得，推出从而可证，根据性质得，，可证四边形是正方形，所以，，再由勾股定理即可求解，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，连接交于点，    ∵四边形是正方形， ∴，，且，， ∴，，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 例2（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）的值为_______； （2）若恰为中点，连接交于点，则的长为______． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、因式分解法解一元二次方程、二次根式的应用 【分析】（1）如图，作于，于．证明，易证矩形是正方形，再证明，可得即可解决问题； （2）如图，作于，作于K，求出，间的关系，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，作于，于． 四边形是正方形， ， 于，于， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ∵，， ， 在和中， ， ， 由勾股定理得，， ； （2）如图，作于H，作于K， 四边形是正方形， ，， 是中点， ， ， ∵， ∴， 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质． 作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （40分钟限时练） 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．是等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形三边关系的应用 【分析】先证明是等腰直角三角形，结合三线合一，得到，，，接着可证明，从而判断C；接着可证明是等腰直角三角形，从而判断D；通过，，可判断A；通过可判断B． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴，故C选项正确， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故D选项正确， ∵，， ∴，故A选项正确， ∵，， ∴，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于点，由直角三角形的性质得，即得，再根据勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 5．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义、用勾股定理解三角形、最短路径问题 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ， ， ∴ 解得， ， 的最小值为． 故选：D． 6．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 7．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 8．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的内角问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 9．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知，，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，根据题意得出四边形是平行四边形，则，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∵，则 ∴ ∴ 故选：C． 10．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】 连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ． 11．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是等边内一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为_________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵等边， ∴， 绕点逆时针旋转 ，得到， ∴，， 是等边三角形， ； 故答案为： 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理的应用．关键是通过矩形的性质将的长度转化为的长度，将求最小值的问题转化为求点到直线的最短距离，再利用面积法求解该垂线段长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 根据垂线段最短的性质，当时，的长度最小，此时的长度即为点到的距离； 设点到的距离为， ∵，又， ∴，解得， ∴的最小值为； 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在矩形和矩形中，与相交于点M，与相交于点N，连接，并延长与相交于点P，若，则下列结论正确的是___． ①；②；③；④连接，若，四边形与四边形的面积之比为． 【答案】①②/②① 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】①根据矩形性质得，，，再根据得，由此可判定，进而可对结论①进行判断； ②先证四边形为平行四边形，根据得，则平行四边形为菱形，进而得，则，然后根据，得，由此可对结论②进行判断； ③假设，则，根据得，则，由此可得，再根据得，即当时，，由此可对结论③进行判断； ④连接交于点O，根据及菱形的性质，矩形的性质得，，设，进而利用直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，，，，进而得，，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形和矩形都是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵四边形和矩形都是矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 故结论②正确； ③假设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 故结论③不正确； ④连接交于点O，如图所示： 若， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∵， 在中，设，则， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， 在中，，，则， 在中，，， 则，由勾股定理得：， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，理解矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算时解决问题的难点． 14．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $